把握立體幾何問題的本質 培養與發展直觀想象能力

李子超

[摘 要]高中立體幾何是提升直觀想象核心素養的重要載體.文章以棱錐的外接球問題為例，分析解決立體幾何問題的本質：以長（正）方體模型為基礎、以立體圖形平面化為核心、以幾何問題代數化為手段，而促進學生突破問題難點，培養與發展學生的直觀想象能力.

[關鍵詞]立體幾何問題; 直觀想象能力;棱錐;外接球

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0027-03

一、問題的提出

高中數學課程標準確定了高中數學核心素養的6個要素：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析[1].直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.立體幾何是培養和發展學生的幾何直觀能力、運用圖形語言進行交流的能力、空間想象能力與一定的推理論證能力的很好的素材[2].而棱錐的外接球問題，更能全方位、多角度、深層次地培養與發展學生的直觀想象能力.

在實際教學中發現，很多學生在學習“棱錐的外接球問題”這一內容后，感覺問題抽象難以理解.究其原因是，這類問題結合多個幾何要素，空間位置關系較為復雜，加上學生對曲面圖形的直觀感覺較差，所以覺得問題抽象難以解決.

本文以棱錐的外接球（如果一個棱錐的所有頂點都在同一個球面上，那么這個球就叫作棱錐的外接球）問題為例，分析解決立體幾何問題的本質，從而促進學生突破問題難點，培養與發展學生的直觀想象能力.

二、立體幾何問題的解題本質

立體幾何主要研究現實世界中物體的形狀、大小與位置的關系. 通常采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質[2].下面以“棱錐的外接球問題”為例，分析立體幾何問題的解題本質.

1.長（正）方體模型是解決立體幾何問題的本質基礎

普通高中課程標準實驗教科書數學必修2教師教學用書中指出：“……以長方體為載體，使學生在直觀感知的基礎上，認識空間中點、線、平面之間的位置關系……”[2]由此可見，長（正）方體模型是學習立體幾何的基礎，對理解立體幾何的關系起著重要的作用，尤其是解決棱錐的外接球問題. 由長方體和球的對稱性容易得到結論1：

如果棱錐的頂點與長（正）方體的幾個頂點重合，那么這個棱錐的外接球與長（正）方體的外接球相同， 可以把棱錐補成相對應的長（正）方體，轉化為求對應的長（正）方體的外接球半徑.這種方法就是立體幾何中常用的“補形法”.

分析：該三棱錐的三組對棱兩兩相等，恰好與長方體的三組對面的對角線等價，可以三組對棱分別為長方體的三組對面的對角線補成長方體.

另外，常見的可以補成長（正）方體的棱錐還有：

長（正）方體作為最基本的多面體，所含的線線、線面、面面位置關系十分豐富，通過構造長（正）方體模型，幾何直觀性強，思路自然，方法簡捷.在解決立體幾何問題時把握好“長（正）方體模型”這個本質，巧用補形法，能起到化繁為簡、一目了然的作用.

2.立體圖形平面化是解決立體幾何問題的核心思想

平面圖形可以組合成立體圖形，而立體圖形又可以分解抽取出平面圖形.當在立體圖形中不便直觀觀察、想象時，可從立體圖形中分解抽取出部分平面圖形，從而方便直觀觀察、推理論證、計算等.這就是立體圖形平面化（即降維）的思想.

用一個平面去截球面，截面是圓面.把棱錐的底面多邊形或側面三角形的外接圓看成截面圓（即小圓），則球心與截面圓的圓心的連線垂直于截面圓，過兩心的連線且與截面圓垂直的截面是球的軸截面（即大圓）.牢牢把握住“小圓”和“大圓”這兩個平面圖形，在平面圖形中求出小圓的半徑[r]和小圓的圓心與球心的距離[d]，利用[R2=d2+r2]得到外接球的半徑[R].這樣，通過“截面”把立體圖形轉化為平面圖形，化繁為簡，更為直觀.

通過“截面”把立體幾何問題轉化為平面問題，利用截面的性質，轉化為解三角形的外接圓半徑問題.通過平面化“降維”來解決立體幾何問題，是立體幾何問題的解題核心思想.我們再用這種思想來推導一個一般性結論（結論2）：

3.幾何問題代數化是解決立體幾何問題的有效手段

“數”和“形”是不可分割的統一體，數、形相互溝通、相互印證.以“數”研究“形”，把復雜、抽象的幾何問題轉化為有序可算的代數問題，使得問題有路可循，易于解決.而坐標是幾何問題代數化重要的工具，對于許多抽象的立體幾何問題，借助坐標轉化為代數計算，可實現空間幾何代數化，簡化復雜抽象的幾何關系，從而使問題易于解決.

分析：直線[MN]與球[O]的關系難找，從圖形的角度解題較難.根據正四面體的對稱性，可嘗試把正四面體補成正方體，通過建立空間直角坐標系簡化幾何關系，從而化解難點.

三、把握立體幾何問題的本質，培養與發展學生的直觀想象能力

高中立體幾何是培養與發展學生直觀想象能力的重要載體，在處理這個模塊的相關問題時，教師要把握好“以長（正）方體模型為基礎”“以立體圖形平面化為核心”“以幾何問題代數化為手段”這幾個立體幾何問題的本質，通過轉化與化歸，培養與發展學生的直觀想象能力.

長方體是立體幾何最基本的幾何體，它不但全面展現了空間點、線、面的位置關系，而且學生較為熟悉，理解掌握得較好，是展開空間想象的重要依托，是研究立體幾何問題最基礎的模型.在日常立體幾何的教學中，教師要把握住“長方體模型”這個基礎，通過聯想、類比、構造長方體模型，把問題轉化為熟知的、形象的、直觀的模型，培養與發展學生的直觀想象能力.例如，在處理線面、面面平行（垂直）有關定理、性質時，教師要善于引導學生通過長方體模型，把抽象、復雜的位置關系簡化在典型、熟知的長方體空間中，以顯露內在聯系，以簡馭繁，培養與發展學生的直觀想象能力.

立體幾何是平面幾何的延伸與拓展，兩者相互轉化實現內容的補充和問題的解決.選取或構造恰當的平面，使得問題在這個平面上獲得突破性進展，甚至全部解決[3]，這就是立體幾何平面化思想，是研究立體幾何問題的核心本質.把握這一本質，教師在立體幾何的教學中要有目的地、系統性地滲透立體幾何平面化思想，不斷強化學生對平面圖形的認識和運用，以培養與發展學生的直觀想象能力.其實，立體圖形的“直觀圖”就是平面化的一種成果，很多教師在平常的教學中喜歡用“多媒體”等工具讓學生“眼觀”“空想”，而從不讓學生動手畫圖，這對于學生空間想象能力的培養與發展幫助有限.教師應切實讓學生自己動手操作，引導學生在“平面”上體現出“空間”，從而深刻體悟空間關系，培養與發展直觀想象能力.

向量和坐標是用代數方式來研究立體幾何問題的重要工具，當立體幾何問題由于條件隱晦、圖形關系復雜、技巧性強、處理難度較大時，可通過向量或坐標系將幾何條件轉化為坐標的數量關系，通過計算加以解決，使得解決問題的思路變得清晰簡單.向量和坐標的運用，既簡化了復雜抽象的幾何關系，又為解決問題提供了更為靈活的思路和途徑，簡捷明快，化難為簡[4].

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 史寧中.高中數學課程標準修訂中的關鍵問題[J].數學教育學報，2018（1）：8-10.

[2]? 劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學必修2教師教學用書[M].北京：人民教育出版社，2015.

[3]? 謝曉強.立體幾何中的平面化思考[J].數學教學研究，2004（6）：13-15.

[4]? 陳晨， 沈楓， 宋憶寧，等.用代數方法解決平面幾何問題[J].科海故事博覽·科技探索， 2014（1）：35.

（責任編輯 陳 昕）