立體幾何問題教學之我見

丁偉偉

[摘 要]立體幾何是高中數學的重要知識，是高考的必考內容.相關習題復雜多變，解題方法千差萬別.為提高學生的解題能力，教師應做好相關題型的總結，分析各題型特點，做好解題思路以及解題細節的分析.

[關鍵詞]立體幾何;高中數學;教學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0011-02

立體幾何不僅包括很多的概念，還包括一些定理.筆者在教學該部分知識時發現，很多學生能夠正確敘述概念、定理，但是在解題時卻出現很多的問題.因此，教學中教師應圍繞具體例題多給予學生解題指導，使其掌握不同題型的解題方法，并鼓勵學生做好解題總結.

一、“球”問題教學

二、“截面”問題教學

截面問題是高中立體幾何的重要題型之一.很多習題并不會在圖形中繪制出截面，需要學生結合所學知識以及自身的經驗判斷截面的形狀，進而求解有關截面的相關參數.為提高學生解答該題型的能力，教師應注意運用多媒體技術，為學生展示常見立體幾何圖形不同角度下截面的形狀.同時，為學生講解相關的解題技巧.根據題干給出的圖形，嘗試著繪制出截面的形狀，而后運用已知條件進一步對截面的形狀進行判斷.另外，求解有關截面的最值問題，則需要設出合理的參數.結合設出的參數表示出一些線段的具體長度，最后根據點線面之間的關系，建立函數模型，借助函數知識進行求解.需要注意的是，為保證解題的正確性，應明確所設參數的取值范圍.例如，已知正四棱錐的[P-ABCD]的底面是邊長為3的正方形，O為P點在底面上的射影，PO=6，Q為AC上一點，過點Q且與PA、BD都平行的截面為正五邊形EFGHL，求該截面面積的最大值.

解答該題需要根據題意繪制出對應的圖形，先大致確定截面與立體幾何之間的位置關系.根據題意可繪制如圖2所示的圖形.題目要求截面面積的最大值，則需要表示出截面面積的表達式.顯然根據所學的立體幾何知識不難證明GEFQ與GHLQ為兩個全等的直角梯形.通過設出AE的長度，需要注意的是AE的長度取值范圍為（0，3）.另外，運用比例關系不難表示出EF、QG的長，問題也就迎刃而解.

三、“翻折”問題教學

一些學生不會繪制翻折后的圖形，搞不清翻折前后邊與不變的關系，導致不會解題.為幫助學生更好地解決該類問題，教師講解立體幾何知識時，應圍繞所學設計相關的實踐任務，鼓勵學生親自動手進行折紙訓練.要求學生先思考、想象一些折疊后的形狀，然后使用白紙進行折疊驗證，加深對翻折問題的認識與理解.另外，運用多媒體技術為學生動態展示一些折疊操作，幫助學生了解平面與立體圖形之間的聯系，尤其引導學生根據題干描述進行折疊操作，以便更好地找到解題思路.如：在直角三角形ABC中，[AC=1]，[BC=x]，D為斜邊AB的中點，將三角形BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得[CB⊥AD]，則x的取值范圍為_____________.

該題目具有一定難度，教學中，要求學生準備一張白紙，根據題干描述先進行翻折操作，直觀感受翻折過程，找到不變的量，然后對比翻折前后各個點，嘗試著繪制出翻折后的立體幾何圖形.經過學生的認真感受，成功地繪制出了翻折后的立體圖形，并且取BC的中點為E，得到[DE=12AC=12]，[AD=CD=BD]等量關系.最終通過設出BC的長度，借助三角形的三邊關系以及立體幾何知識，求出了x的取值范圍為[0，3 ].

四、“軌跡”問題教學

高中立體幾何軌跡問題一般難度較大，學生在各類測試中的失分率較高.為提高學生解題的正確率，一方面，向學生講解軌跡問題的類型，使其對該類問題有個整體的認識.立體幾何軌跡問題一般包括判斷軌跡的形狀、求解軌跡的長度兩類.其中軌跡形狀主要為所學的幾何圖形，如圓、線段等.要求軌跡長度，其形狀一般較為特殊，要么為某一線段，要么是某一圓弧;另一方面，教學中既要注重為學生講解相關例題，又要組織學生開展相關的訓練，使其真正的理解、掌握相關的解題方法.訓練后要求學生做好總結.例如，如圖3所示為棱長為1的正方體[ABCD-A1B1C1D1]，E、F、P分別為B1C1，C1D1，CD的中點，Q為正方形BCC1B1內的動點，若PQ∥平面AEF，則Q點的軌跡長度為_______________.

為使學生切實打牢基礎，能夠靈活運用所學知識解答相關習題，實現解題能力的提高，立體幾何教學中，教師應結合自身教學經驗以及具體教學內容靈活采用多種教學方法，鼓勵學生積極開展自學活動，將相關知識徹底搞清楚.另外，做好相關題型的分析，使學生掌握不同題型的解題方法.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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[6]? 吳爽.關于高中數學立體幾何的有效教學策略研究[J].數學學習與研究，2018（13）：37.

（責任編輯 黃桂堅）