中考概率考查的幾個方向

董馬芳

[摘 要]縱觀近幾年各市中考數學試題，探析中考概率考查的幾個方向，即概率意義的考查、概率公式的考查、幾何概率的考查、利用頻率估計概率、用列表法或樹狀圖法求概率等，可以提高學生分析與解決概率問題的能力.

[關鍵詞]概率;中考;考查;方向

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0015-02

新課標指出，學生不僅要體會聯系，包括數學知識之間、數學與生活之間的，而且要學會思考，用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.概率要求學生運用數學的方式對隨機事件進行思考，體現了數學與生活之間的聯系.同時，要求學生能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能的結果，了解事件的概率;知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率.

一、概率意義的考查

概率反映了大量重復試驗的結果，它可以用來評估隨機事件在一次試驗中發生可能性的大小，但隨機事件都有可能發生和可能不發生兩種情況.當概率大于50%時，我們就說此事件發生的可能性較大;當概率小于50%時，我們就說此事件發生的可能性較小.

[例1]文化中學在春季運動會中，小剛同學參加了羽毛球比賽，有人預測小剛進入決賽的可能性為90%，則對該同學的說法理解最合理的是（）.

A.小剛奪冠的可能性較大

B.如果小剛和他的對手比賽10局，他一定會贏9局

C.小剛奪冠的可能性較小

D.小剛肯定會贏

解析：有人預測小剛奪冠的可能性是90%，說明小剛奪冠的可能性較大，故選項A正確.

小剛和他的對手比賽10局時，他可能贏9局，不是一定贏9局，故B選項錯誤;因為90%>50%，所以小剛奪冠的可能性較大，故C選項錯誤;小剛可能會贏，也有可能會輸，故D選項錯誤.

評注：事件A發生的概率即使為99.9%，在一次試驗中事件A也可能不發生，只是不發生的可能非常小.同理，事件A發生的概率即使為0.01%，事件A也有可能發生，只是發生的可能非常小.

二、概率公式的考查

若在一次試驗中有n種等可能的結果，事件A的發生有m種等可能的結果，那么在一次試驗中，事件A發生的概率為[P（A）=mn]，利用概率公式可以直接求出一步完成事件的概率，也可以利用概率公式建立方程求出某些未知量.

[例2]一個黑色的容器中裝有5張黃卡片、15張黑卡片和20張紅卡片，它們除顏色外都相同.

（1）求從容器中摸出一張卡片是黃卡片的概率;

（2）現從容器中取出若干張黑卡片，并放入相同數量的黃卡片，攪拌均勻后，使從容器中摸出一張卡片是黃卡片的概率是[14]，問取出了多少張黑卡片？

評注：因為這些卡片除顏色外都相同，所以從不透明的容器中摸卡片，它們摸到的可能性是均等的，因此就有40種等可能的結果，只要我們找到某事件可能發生的結果數，這些可能的結果數除以40就是事件發生的概率.

三、幾何概率的考查

幾何概率的考查方式有兩種，一種是一個平面幾何圖形被等分成n份，其中有一種圖形包含了m份，則投中所求圖形的概率就是[mn];另一種是一個平面圖形的面積為a，其中一部分圖形的面積為b，則投中這部分圖形的概率為[ba].

[例3]“十一黃金周”期間，某超市為了擴大銷售，設立了一個有獎銷售，將一個轉盤平均分成16等份，消費者只要購買的商品滿100元，就可以進行抽獎，抽獎的方法是轉動轉盤（如圖1），轉盤停下來時，指針指向的扇形，消費者就可以獲得相應的獎品.王聰購買了132元的商品，請你回答以下問題：

（1）王聰獲得獎品的概率是多少？

（2）王聰獲得童話書的概率是多少？

評注：本題在求概率時，實際上仍是利用概率公式，只不過等可能的結果是16塊等面積的扇形，所求事件也是幾塊等面積的扇形.實際上比非幾何概率問題更直觀，更易于理解.

四、利用頻率估計概率

概率的求法有多種，可以利用枚舉法求得所有等可能的結果，然后利用概率公式求得.也可以用頻率估計概率.大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，且擺動的幅度越來越小，這個位置就是頻率的集中趨勢，這時就用這個固定的近似值作為這個事件的概率.什么情況下使用頻率估計概率呢？當試驗的結果是無限個或者個數很多時，或者結果發生的可能性不是等可能性時，一般利用頻率估計概率.

[例4]李愛數同學發現操場中有一個不規則的封閉圖形ABC（如圖2所示），為了知道它的面積，他在封閉圖形內畫出了一個半徑為1米的圓，在附近向圓內投石子，其結果是這樣的：

請根據以上信息，回答問題：

（1）求石子落在圓內的頻率;

（2）估計封閉圖形ABC的面積.

評注：這是利用概率求不規則圖形面積的典型事例.不僅可以利用概率求幾何型問題的概率，而且還可以反過來利用概率求出幾何圖形的面積，概率的價值可見一斑.

五、用列表法或樹狀圖法求概率

當隨機事件需要兩步完成時，用列表法或樹狀圖法表示出所有可能的結果;當隨機事件需要三步或三步以上完成時，用樹狀法表示出所有可能的結果，它像樹的枝丫，最末端的枝丫個數就是所有等可能的結果.列表法與樹狀圖法都是為了不重不漏地列舉出所有可能的結果，需要再從中選出符合事件A結果的個數，才能求出概率.

[例5]重慶的晚點品種多樣，某晚餐店提供第一類食品有“熱干面”“面窩”“生煎包”“鍋貼餃”（分別記為A、B、C、D）;第二類食品有“米粑粑”“燒梅”“歡喜坨”“發糕”（分別記為E、F、G、H），共八種美食.甲同學和乙同學同時去品嘗美食，甲同學準備在“熱干面”“面窩”“米粑粑”“燒梅”（即A、B、E、F）這四種美食中選擇一種，乙同學準備在“生煎包”“鍋貼餃”“歡喜坨”“發糕”（即C、D、G、H）這四種美食中選擇一種，用列舉法求甲同學和乙同學同時選擇的美食都為第一類食品的概率.

解析：根據題意畫樹狀圖如下.

評注：在列表法和樹狀圖法中，樹狀圖法較為常用.本題就是一個兩步完成的事件，第一步是甲同學選擇，它有四種可能的結果，第二步是乙同學選擇，甲同學每選擇一個，乙同學就可能有四種選擇，所以結果有16種結果.

概率是一門與數據打交道的科學，要學好它，一方面要加強理論分析與學習，另一方面要多動手操作，在試驗中感知事件的隨機性、發生的可能性.在實際生活中，我們主動去做的事情，一般都為成功率較高的事件，而不去做或小心翼翼去做的事件，都是成功率較低的事情.

（責任編輯 黃桂堅）