自組望遠鏡測量凹透鏡焦距*

施洋，呂佩偉，馬靖

（福州大學 物理與信息工程學院，福建 福州 350116）

凹透鏡焦距測量方法多種多樣，常見的測量凹透鏡焦距的方法有：物距像距法[1]、二次成像法[2]、自準直法[3]等。這些方法都是使用一塊凸透鏡作為輔助測量工具，根據凹透鏡所放位置的不同，可以分為凹透鏡后置（凸透鏡前置）[4]與凹透鏡前置（凸透鏡后置）[5]兩種情況。其中物距像距法與二次成像法在判斷像的位置時，由于光源對成像的像差、色差的影響[6]雖然在景深、焦深[7]的范圍內一般都能成清晰的像，但其測量準確度卻受到人眼主觀觀察判斷能力的限制而導致測量的相對誤差較大；自準直法的成像由于受透鏡多次反射影響，能量衰減嚴重，往往成像較暗、不清晰，因此無法做到準確測量。鑒于存在的上述問題，本文對現有的方法進行研究改進，在測量過程中引入自組望遠鏡系統，減小傳統自準直法由于透鏡多次反射而造成的成像暗淡問題，可有效地提高測量精度。

1 傳統自準直法測量凹透鏡焦距

自準直法測量凹透鏡焦距與自準直法測量凸透鏡焦距類似，都要使用一塊平面反射鏡。以凹透鏡后置（凸透鏡前置）為例，如圖1所示，當物點O經過凸透鏡所成的像即凹透鏡的虛物P位于凹透鏡的焦平面時，虛物P所發出的光通過凹透鏡后將成為一束平行光。利用平面鏡把這束平行光反射回去（反射光也是一束平行光），反射的平行光再次通過凹透鏡將會聚成像于凹透鏡的焦平面上，該像又經凸透鏡再次成像在原先物屏上。通過調整凹透鏡與其虛物P之間的距離使得在物屏上能看到物體等大倒立清晰的像，那么凹透鏡與其虛物P之間的距離就是凹透鏡的焦距f。

圖1 自準直法測量凹透鏡焦距

使用焦距為200.0 mm的凸透鏡和焦距為-150.0 mm的凹透鏡進行了實驗測量，數據記錄在表1中。通過實驗測量，可以看出自準直法測量凹透鏡焦距的優點在于計算簡單，通過測出凹透鏡位置以及虛物P點位置，兩者之間的距離即為凹透鏡焦距的絕對值。其缺點在于成像較暗，人眼觀察成像的清晰度上存在較大誤差。從物點O發出的光，通過凸透鏡和凹透鏡時，分別在它們的表面發生反射從而光強衰減；被平面鏡反射后，又再次通過這2個透鏡，光強進一步衰減；經歷了多次衰減后，最終在物屏上只能看到暗淡的成像，這給人眼判斷清晰像造成嚴重影響，導致形成較大的測量誤差。

2 自組望遠鏡法測量凹透鏡焦距

望遠鏡是用來觀察、瞄準和測量遠處物體的助視儀器，其構造的類型較多。比較簡單的有兩種：由2個凸透鏡組成的開普勒型望遠鏡和由一個凸透鏡與一個凹透鏡組成的伽利略型望遠鏡。以開普勒型望遠鏡為例，如圖2所示，2個凸透鏡L1和L2組成開普勒型望遠鏡，當望遠鏡對焦無窮遠時，這2個凸透鏡之間的距離正好等于它們焦距之和。用構造好的開普勒型望遠鏡，替代傳統自準直法測量凹透鏡焦距實驗中的觀察屏，經由凹透鏡出射的平行光，此時入射望遠鏡系統，觀察者在望遠鏡視場中可以看到清晰的物像。因此，與傳統自準直法類似，通過調整凹透鏡與其虛物P之間的距離使得在望遠鏡視場中能看到物體的倒立清晰的像，那么凹透鏡與其虛物P之間的距離就是凹透鏡的焦距f。

圖2 自組望遠鏡法測量凹透鏡焦距

同樣使用焦距為200.0 mm的凸透鏡和焦距為-150.0 mm的凹透鏡進行了實驗測量，在開普勒型望遠鏡系統中，分別使用一塊焦距為150.0 mm的凸透鏡與另一塊焦距為100.0 mm的凸透鏡作為物鏡與目鏡，數據記錄在表2中。通過實驗測量，可以看出自組望遠鏡法測量凹透鏡焦距的優點同樣在于計算簡單，通過測出凹透鏡位置以及虛物P點位置，兩者之間的距離即為凹透鏡焦距的絕對值；另外，從物點O發出的光，通過4個不同的透鏡時，分別在它們的表面發生反射從而光強同樣經歷了多次衰減，但是由于望遠鏡可以使得遠處物體對人眼所張的視角放大，觀察者依舊能夠清晰的看到物像，提高了測量的精度。其缺點在于光路中透鏡偏多，對所有元件的共軸要求較高，因此在實驗測量過程中會產生一定的測量誤差。

表1 自準直法測量凹透鏡焦距的實驗數據（單位：mm）

表2 自組望遠鏡法測量凹透鏡焦距的實驗數據（單位：mm）

3 結論

⑴ 2組實驗測量數據測得凹透鏡焦距值都比標定值小，一方面可能是由系統誤差造成的；另一方面是該凹透鏡的標定值存在誤差。但從測量結果的相對誤差來看，自組望遠鏡法測量凹透鏡焦距誤差更小，說明這種方法比傳統自準直法測量凹透鏡焦距更有優勢。

⑵ 2種方法使用的儀器元件基本相同，光強同樣經歷了多次衰減，但是實驗的結果不同。傳統自準直的方法，觀察到的是暗淡、不太清晰的成像；而自組望遠鏡的方法，觀察到的是明亮、清晰的成像。從這2種實驗現象的對比中，也能直觀的體現出自組望遠鏡測量凹透鏡焦距方法的優點。

⑶ 自組望遠鏡測量凹透鏡焦距的方法，原理簡單，操作方便，測量結果精確。該方法不僅能夠使用自組開普勒型望遠鏡，還能夠使用自組伽利略型望遠鏡進行測量。而且，凹透鏡前置與凹透鏡后置對實驗結果的影響不大，使用望遠鏡系統，2種放置方法同樣都能觀察到明亮、清晰的成像。