簡諧振動實驗中彈簧有效質量的測量及誤差分析*

呂佩偉，王小貞，馬靖

（福州大學 物理與信息工程學院，福建 福州 350116）

1 引言

氣墊導軌是一種現代化的力學實驗儀器，導軌表面與滑塊之間有一層很薄的氣墊使得滑塊可以浮在氣墊層上，與導軌軌面脫離接觸，極大地減小了以往在力學實驗中由于摩擦力引起的誤差，因此大學物理實驗中也通常采用氣墊導軌系統來研究簡諧振動[1,2]。簡諧振動的理想模型是光滑水平面上的彈簧振子，可以忽略一切阻力和彈簧的質量[3]。但實際的簡諧振動運動中的彈簧并不是無質量的理想彈簧，振動周期會受到彈簧質量的影響。文獻[3-5]中均推導出彈簧的有效質量為其質量的1/3，滑塊的簡諧振動周期公式中需要把彈簧質量的1/3加到滑塊的質量上。本實驗主要分析彈簧有效質量對振動周期的影響，通過實驗測量不同質量滑塊所對應的振動周期大小，利用Origin軟件輔助進行線性擬合，計算得到彈簧的有效質量，并分析彈簧的有效質量偏大的原因。

2 實驗儀器及測量

實驗儀器包括氣墊導軌，氣泵，滑塊，平板形擋光片，數字測時器，光電門，2個相同質量和勁度系數的輕質彈簧，5個相同質量的配重塊，簡諧振動示意圖如圖1所示。

圖1 簡諧振動示意圖

表1 實驗測量數據表（單位：ms）

在水平氣墊導軌的兩端連接相同勁度系數的兩個彈簧組成振動系統，平衡位置放置光電門來測量滑塊做簡諧振動的周期。在實驗測量過程中，保持氣源的氣壓穩定，滑塊每次振動的振幅為1 cm左右[6]，振幅通過氣墊導軌上附帶的毫米刻度尺來確定，每次測量10組振動周期。每次在滑塊上添加1個配重塊來改變滑塊質量，依次測量不同質量滑塊所對應的周期大小，測量數據如表1所示。滑塊、配重塊及輕質彈簧的質量用精度為0.1 g的電子天平進行測量，滑塊質量M=128.0 g，每個配重塊質量m=12.5 g，輕質彈簧m0=6.4 g。

3 實驗結果及討論

在實驗過程中，利用光電門及數字測時器測量不同質量滑塊所對應的振動周期大小，實驗測量的不同質量滑塊所對應的振動周期及周期平方大小如表2所示。

表2 實驗測量的不同質量滑塊大小所對應的振動周期及周期平方大小

考慮彈簧的質量對滑塊振動周期的影響，滑塊做簡諧振動的周期公式[3，7]應當修正為：

式子中的c為彈簧的有效質量系數。對于同一滑塊和彈簧所組成的振動系統，c、m0和k都是常量，因此Ti2與Mi為線性關系。

利用Origin軟件對表格2中的實驗數據進行線性擬合，所得到的擬合直線及擬合的線性方程如圖2所示。

圖2 不同質量滑塊與周期平方的關系曲線及其線性擬合方程

由圖2所擬合得到的直線方程的斜率可以計算得到彈簧的勁度系數大小，而擬合直線的截距與斜率直接的比值大小則是彈簧的有效質量，計算得到的有效質量大小為2.24 g。因此彈簧的有效質量系數c為：

對于輕質彈簧而言，彈簧的有效質量為其質量的1/3，這與相關文獻[3-5]的推導是一致的。只有把彈簧質量的1/3加到滑塊的質量上，我們才能把滑塊的簡諧振動視為理想的振動系統。因此，在實驗教學中，我們不能忽略彈簧有效質量對滑塊振動周期的影響，學生在處理數據過程中必須考慮到彈簧有效質量的大小。而實際實驗測量得到的彈簧有效質量會偏大，這是由于滑塊與氣墊導軌之間存在黏滯阻力以及滑塊在簡諧振動運動過程中受空氣阻力的作用[2,8]，都會使得滑塊振動過程中的振幅慢慢減小，從而影響到滑塊的振動周期。另外，彈簧受重力的影響會使得彈簧的中部稍微有所下垂，會使彈力稍微偏離水平方向，導致振動周期的誤差[9]。因此，實驗過程中要保證氣源穩定，防止氣墊導軌上的出氣孔被堵塞，同時實驗中需要用輕質彈簧來進行簡諧振動實驗，盡量減小彈簧受重力的影響。

4 結論

在簡諧振動實驗中，測量不同質量的滑塊所對應的振動周期，再利用Origin軟件對數據進行線性擬合，可以便捷快速地計算得出彈簧的有效質量大小。由于滑塊受黏滯阻力、空氣阻力以及彈簧受重力的影響，使得測量得到的彈簧的有效質量偏大。