理解等積變形的轉(zhuǎn)化思想

文|田秋月

平面圖形總復習時，會遇到無法利用常規(guī)方法計算面積的復雜圖形，怎樣利用等積變形將復雜問題變簡單？教師可設(shè)計以下學習活動。

一、情境中找方法

出示“曹沖稱象”的圖片，請學生敘述操作要點。

引導學生發(fā)現(xiàn)，借助水中的船，將無法分割的大象轉(zhuǎn)化成同等質(zhì)量的石頭，啟發(fā)學生將這一方法應(yīng)用于數(shù)學問題的解決中。

二、轉(zhuǎn)化中尋策略

1.利用底高關(guān)系進行轉(zhuǎn)化。

圖1

方法2：轉(zhuǎn)化法。將兩個小三角形進行等積變形，陰影部分轉(zhuǎn)化為底是12cm、高是8cm 的大三角形。學生發(fā)現(xiàn)借助平行線“軌道”，可以將三角形作等底等高的等積變形，轉(zhuǎn)化成已知底與高的三角形來計算面積。

圖2

2.利用等量代換進行轉(zhuǎn)化。

出示問題2，組織學生思考并交流。

圖3

本題對于部分學生來說可能會有困難，無法直接運用面積公式，也無法通過總面積減部分面積來求平行四邊形的面積。

教師可以引導學生觀察圖中各部分之間的面積關(guān)系（圖4），因為A、C 兩點將圓分成兩段相等的弧，可以判斷線段AC 通過圓心，所以S①=S③，S②=S④；又因為S①=S②，所以S①=S②=S③=S④。從圖中可知S平行四邊形=S①+S③+S⑤, 等量代換后可得S平行四邊形=S②+S④+S⑤=S圓，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為簡單的圓面積計算了。

圖4

3.利用等式關(guān)系進行轉(zhuǎn)化。

出示問題3（圖5），組織學生思考并交流。

啟發(fā)學生思考，S△BEF-S△ADF=6cm2，如果這兩個三角形都補上梯形BCDF，則分別得到了三角形ECD 和正方形ABCD，且這兩個圖形的面積也相差6cm2，所以S△ECD=S正方形+6=6×6+6=42cm2。求得了△ECD 的面積，可根據(jù)DC 的長度求出EC 的長度，從而求得BE 的長度。

學生在本題中利用等式構(gòu)建了新的面積關(guān)系，轉(zhuǎn)化得出未知三角形的面積，從而解決相關(guān)問題。

三、聯(lián)系中悟思想

梳理三個問題的解題思路（圖6），引導學生感悟不同解題策略和方法間的聯(lián)系與區(qū)別。

圖6

建立聯(lián)系：學生發(fā)現(xiàn)，正如“曹沖稱象”，將所求圖形的面積（大象）轉(zhuǎn)化成可計算的、易操作的常規(guī)圖形（石頭）的面積。

尋找區(qū)別：不同問題所采用的轉(zhuǎn)化策略不盡相同，根據(jù)解題需要靈活選擇等積變形的方法。

在平面圖形的復習中，利用等積變形的轉(zhuǎn)化思想，可以更好地發(fā)展學生的空間觀念和思維能力。