教學生“帶得走”的數學知識
——兼評兩則《圓的面積》教學設計

文|周衛東（特級教師）

“圓的面積”是“圖形與幾何”領域中最后一個求平面圖形面積的內容。其教學目標一般定位于：了解圓面積的概念，理解和掌握圓面積的計算公式，能正確計算圓的面積；通過剪圓、拼圓等動手操作過程，讓學生的直觀想象、動手操作、抽象概括能力得到發展；深入理解圓的面積公式，體會圖形變化中無限逼近的極限數學思想；了解歷史上數學家推導圓面積公式的方法，體會數學知識背后的數學文化，體現數學的應用價值。

仔細閱讀兩位教師的教學設計，收獲頗多。難能可貴的是，方芳老師的設計——《在數學史中啟迪數學思想》與王小波老師的設計——《聚焦本質，多元探索》，都能在上述基礎性目標達成的前提下，還能著眼學生未來成長的需要，教學生“帶得走”的數學知識，盡可能地讓基礎性目標“增值”。

一、主動學習，享學習“過程”之樂

數學是系統化了的常識（弗賴登塔爾語）。小學數學中很多概念所蘊涵的數學思想是樸素的，基本上都來源于學生的生活經驗，有豐富的“生活概念”。理論上說，學生對這些樸素思想的認識應該很容易接受，但為什么學生學習“課本上的數學”就有很多困難呢？一方面，這是由數學的“學科定義”導致的，數學的學科定義高度概括、抽象，不符合小學生的思維水平與認知特點；另一方面是由于教師不恰當的教學設計（例如沒有“過程”的教學，不顧及學生的已有“經驗”和認知發展水平的教學）導致的。

難能可貴的是，這兩則教學設計都能在教學的“過程”上下功夫。

1.經驗積累的過程。

“新知識的建構必須來源于已有知識，對這一教學觀的合理引申就是教師需要關注學習者在學習給定主題時隨之帶來的不完整理解、錯誤觀念和對概念的天真解釋。教師還需要依據這些概念來幫助每個學生達到更成熟的理解。如果忽視學生的初始概念、觀點，他們獲得的理解可能與教師預期的想法大相徑庭。”（《人是如何學習的》〔美〕約翰·D·布蘭思福特）“圓的面積”這一內容相對于平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積而言，小學生會感到更為抽象、更加難以理解，因此，教學中必須要面向學生的生活實際和理解水平，為他們的經驗世界抹上一定的“底色”。兩則教學設計都很好地體現了這一點。王小波老師在教學中安排了一個前置性學習，讓學生圍繞“你能想辦法求出圓的面積嗎？把你的方法記錄下來”“在嘗試的過程中，你遇到了什么困難？”兩個問題先行嘗試和思考，課前學習為課中的交流與分享厚積了寶貴的經驗。而方芳老師則在課始設計了一個“感受”性學習環節，出示了半徑是4、5、8 的三個圓，請學生數一數、填一填，求出圓的面積大約是正方形面積的幾倍，初步形成“圓的面積是正方形面積的3 倍與4 倍之間”的認識，為進一步推導圓面積的公式做好了知識上和思想上的準備。

2.知識理解的過程。

讓學生知道“圓的面積”是怎么來的、為什么用πr 來計算，這是本節課的“概念性水平”，是對概念本質的把握。這種理解與把握不是教師告知的，而是在沖突的狀態下，因迫切需要產生一種新的方法而形成的。王小波老師在教學中，引導學生在大量的“前經驗”的基礎上提煉出許多有價值的問題，而這些問題恰恰使學生對概念的本質理解帶來了可以依托的“抓手”。“我想到了轉化成長方形，因為平行四邊形、三角形等圖形的面積都是轉化成長方形的”“我發現圓是曲線圖形，外面的部分沒法數。所以我就想，怎么把圓轉化成規則圖形呢？”“我們分得份數越多，就會越接近一個平行四邊形。那這個平行四邊形的面積要怎么求呢？底和高分別是什么？”這些核心問題的追問和研究，讓圓面積公式的推導“呼之欲出”。方芳老師的教學設計則更加關注了公式的推導過程，讓學生在嚴密的推理過程中領會公式的由來。圍繞“轉化前的圖形和轉化后的圖形之間有什么聯系？”“長為什么等于圓周長的一半？寬為什么是圓的半徑？”“長方形的面積用長乘寬計算，那圓的面積該怎么計算呢？”等問題的討論，將圓面積公式的來龍去脈層層導出，真正使學生既知其然，又知其所以然。

3.知識應用的過程。

在社會對數學的需求越來越強烈的背景下，數學課程改革重視數學應用的教育，勢在必行。數學的應用包括內部應用和外部應用，數學的內部應用即運用數學解決本理論或自身在某一領域內的問題；數學的外部應用即應用數學解決生活、生產、科研等方面的實際問題。兩則案例都能加強數學的應用。王小波老師的設計加強了數學的外部應用。在課末的練習中，設計了“兩個半徑1 分米的披薩換一個半徑2 分米的披薩合理嗎？”引導學生理解“半徑擴大2 倍，并不意味著面積就擴大2 倍”這一特殊的規律；而方芳老師則在教學中強化了數學內部的應用，設計了一道選擇題：“將一個圓沿半徑剪開，平均分成若干個完全相同的小扇形，割拼成近似的長方形”，圍繞周長與面積兩個維度，讓學生對轉化后的長方形和圓相比，體會其中“變與不變”的規律。

二、逐漸感悟，品數學“思想”之美

弗利德曼認為，“數學的邏輯結構的一個特殊的和最重要的要素就是數學思想，整個數學科學就是建立在這些思想的基礎上，并按照這些思想發展起來的……數學的各種方法是數學最重要的部分。”顯性的知識技能，終究會被慢慢淡忘，而隱性的數學活動經驗、數學思想方法，更易于促進終身受益的素養的形成。所以，我們的數學教學要努力從“雙基”走向“四基”。而數學思想是對數學知識和數學方法更為精華的概括。

1.有所思考：核心思想的分析。

兩位執教者都深諳其道。就圓的面積的計算來說，無論是阿基米德的窮竭法，還是劉徽的割圓，以及開普勒的無限分割，都在設法逼近圓的共同特點，這幾個方法間沒有質的區別，都把握了圓的面積是以圓半徑為邊長的正方形面積的3 倍多，有區別的是得到面積計算辦法的思考過程。縱觀數學發展史，圓的面積計算公式至今沒有發生本質的變化，不斷變化的是圓面積計算公式的推導方法，從有限分割到無限分割，再到利用定積分的方法。在割裂的歷史片斷中，每種方法都曾經在一定的歷史時期得到推崇，體現出其存在的價值，但在完整的歷史長河中，在數學科學豐富發展的大背景中，我們看清“無限分割，化曲為直”才是對后續數學學習最具有價值的，也是我們教學中最應該鋪墊的。

2.有所側重：極限思想的滲透。

在不同的階段面對不同的學習內容，對同一種數學思想的感悟應該有不同的側重。圓面積的探索過程可謂是一個思想的“富礦”，蘊含了很多的數學思想方法，比如轉化思想、極限思想、化曲為直等等。就平面圖形面積計算方法的推導而言，從教學平行四邊形面積的計算方法時就提轉化，到三角形和梯形的面積計算方法的推導時又提轉化，那到圓面積計算，其核心的思想還是轉化嗎？顯然不是。無論是方芳老師的設計還是王小波老師的設計，教學的邏輯主線顯然都沒有放在圓面積的計算方法，而在于曲邊圖形向直邊圖形的轉化，教學的重點都放在了體會“隨著分割次數的增加、由面變線、由曲化直的數學過程”。都能讓學生認識到，無論是把圓轉化為平行四邊形，還是三角形或梯形，都要體現“把彎曲的部分變成直的”，到“折著折著，弧度就有點變直了”，再到“分的份數越多，每個圖形越來越像一條線段，是線的話就沒有弧度了”，根據不斷細分后拼成圖形的變化趨勢去想象它們的終極狀態，這個無限圖形序列的終極狀態，也就是無窮系列的極限。

3.有所延展：不同方法的感受。

學生的數學思想與數學思維需要教師適時的“點撥”，兩則教學設計都用到了數學史中數學家探索圓面積的故事。特別是方芳老師的設計，別出心裁地用三個數學故事串起了整節課，三則小故事分別對應三個數學家對于圓面積的計算方法的推導過程。劉徽的故事引導學生去探索圓面積和圓周率之間的關系，再在兩次實踐操作中深入思考劉徽割圓術的原理和可行性，真正調動學生數學思考的能力，發展學生的想象能力；開普勒的“分割變形法”，引導學生從分割變形的角度去進行深入的數學思考，自主探索不同的“變形”方法，讓學生的數學思考能力更上一個臺階；最后阿基米德的方法再次激起學生的思考，不斷地創新方法，提升思維。每一個數學家的方法中都有明顯的數學思想方法痕跡，學生循著這些痕跡進行再想象、再探索，特別是極限思想的貫穿，讓所有的學生都能徜徉在極限思想的海洋里，充分想象和創造，深入體會極限思想方法的價值和應用，讓學生在對極限思想認識的寬度和深度上都得到拓展。