網狀結構讓空間觀念可視化
——《圖畫還原》課中結構化習題的有效使用

文|張永輝

《數學課程標準（2011年版）》中關于空間觀念的描述是：根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。這段文字中，強調了一種轉換——二維與三維的轉換，指出了一些關鍵詞——抽象、想象、描述。因此，在教學中突出空間觀念的培養要在轉換、抽象、想象、描述等方面用力。由于這些學習行為的落實（思維能力的培養），對小學生而言都是有難度的，對教師教學而言也極具挑戰性，因此這也成了圖形與幾何教學研究的難點。分解“難點”，用包含多個知識點的題目既能調動起學生的興趣，又能幫助學生加深對知識的理解、完善其知識結構，此時培養學生的空間觀念、提升思維能力就顯得尤為必要。針對“空間觀念培養難”的問題，我們著重在六年級“圖形的變換”方面進行了嘗試，通過對習題的改編，學生課堂上興致盎然、思維活躍、解題方法多樣，取得了良好的效果。

【習題設計的理念】

學生已經分別在四年級、五年級學習了軸對稱、平移和旋轉三種不同的圖形運動，因知識點分布零散，學生對知識聯系的認識不夠，對知識的結構也不能很好地進行完善。翻看《數學課程標準（2011年版）》，一道題目引起了我們的關注。

簡單有趣的素材，學生一定會喜歡。以拼圖將圖畫還原的形式，對平移、旋轉進行練習，對學生知識結構的形成和空間觀念的培養都很有幫助。于是我們對此題的教學展開了討論：習題說明中，只要求使用平移和旋轉，那么把當前學生已經學過的圖形運動的知識全部納入，是不是更合理，也更容易完善相關知識結構？原題中打亂的有兩張圖片，怎樣更好地引導學生饒有興致的進行還原呢？在運用多種方式進行還原的過程中，怎么更好地利用這道題幫助學生對圖形運動的知識形成網狀結構并加以內化，從而發展學生的空間觀念？……討論中教學方向逐漸明晰，實踐中更覺網狀結構讓看不見的空間觀念清晰可見。

一、習題素材便于網狀結構

的知識回顧，引發主動想象

師：同學們，我們對圖形的運動已經不陌生了。你還記得我們都學過了哪些關于圖形運動的知識嗎？

生：平移。

生：旋轉。

生：軸對稱。

師：（出示下圖左）你看到了什么？

生：笑臉！

師：是啊，完整的笑臉我們都愿意看到。這個笑臉由四塊積木組成。現在它有兩塊積木被打亂了（出示上圖右）。1 號要回到原來的位置，可以怎么運動呢？

生：平移兩格。

師：平移要關注方向和距離。

師：還有別的方法嗎？

生：還可以進行旋轉。

（請學生詳細講解并演示，強調中心點、旋轉方向、旋轉角度）

師：除了這兩種方法，你有其他方法嗎？

學生想不出，教師引導還可以通過軸對稱還原。課件演示還原過程。

這道題，學習素材是“笑臉拼圖”。笑臉學生見過，拼圖學生玩過，圖形又很簡單，學生比較喜歡，后續的環節也是針對這個笑臉展開設計，增強了探究的趣味性，為想象提供了有效的支撐。在還原1 號的過程中，學生通過觀察和想象，感受到了還原同一圖形的不同運動方式，完成了對已知關于“圖形的運動”的知識點的回顧。

選擇貼近學生空間認知基礎的學習素材，挖掘普通素材中適合學生觀察、操作和想象的元素，有助于學生在頭腦中建立圖形的模型，有效喚起學生對知識的記憶，促使學生在腦海中初步形成知識點的網狀結構，加深對知識的理解和運用，促進空間想象能力的發展，培養空間觀念。

二、教學手段便于網狀結構的知識運用，促使有效想象

師：2 號要回到原來的位置，可以怎么運動？

（學生僅憑觀察，難以直接回答，放手讓學生借助材料進行操作和探究，然后組織反饋）

生：2 號方塊原地旋轉，然后向左平移2 格，再向下平移1 格。

生：我是把2 號圖形向下平移1 格，再向左平移1 格，再沿左側線軸對稱1 次，就還原成功了。

生：我是先向左平移2 格，再繞點逆時針旋轉90°。

師：你說的是哪個點？

［請學生演示，其他學生觀察、想象，進行確認。針對學生講不清的那個“點”，引導用“數對”來說明會更簡潔明了，如（2，3）］

……

師：看來同學們都想到了很多方法進行還原。那一起做個游戲吧。（出示計分規則）先計算一下你剛才的還原方法得了幾分？

（學生計算分值，然后統計分數。基本上是3 分或4 分）

師：都是3 分或4 分，那2 分或1 分能還原嗎？（出示：用分最少者為勝）

（學生再次借助材料進行操作和探究，然后組織交流）

生：2 號繞（3，3）逆時針旋轉180°，再繞（2，3）順時針旋轉90°，我這樣是2 分。

師：想象一下，這位同學的幾個步驟，能否成功還原？

（其他學生想象，教師適時實物演示支撐，確認2 分成功）

生：先繞（3，3）順時針旋轉180°，然后再繞（2，3）順時針旋轉90°，也是2 分。

生：我發現同一個圖形，繞同一個點順時針和逆時針旋轉180°，結果是一樣的。

師：大家再關注這個圖形，繞（3，3）向兩個方向旋轉180°，想象一下，結果是怎樣的？

生：我們是以哪條斜線為對稱軸進行1 次軸對稱后，再旋轉的，也是2 分。

［學生黑板前點出對稱軸，即數對（4，2）和（2，4）的連線］

師：同學們，想象一下，沿這條線軸對稱變換，會怎么樣？再旋轉呢？

生：我們是兩次軸對稱運動實現還原的。先以2 號的左側線為軸，軸對稱1 次，再以（3，2）和（1，4）的連線為軸，軸對稱1 次，就成功了，2 分。

……

師：笑臉圖已經恢復正常了，現在如果讓你任選其中的一塊拼圖打亂位置，你打算放到哪里？它又可以怎樣還原呢？

（引導全班學生觀察拼圖，要求僅憑想象，思考它還原的步驟和方法，然后組織交流）

重點環節的整個教學活動，都圍繞“2 號要回到原來的位置，可以怎么運動？”這個問題展開，在學生最初交流還原方法和后來交流2 分還原方法的過程中，教師不斷地用觀察、操作、想象的教學手段進行強化，引導學生不斷地用平移、旋轉、軸對稱的運動方式來完成圖形還原。觀察、操作、想象有機結合，教具、學具、課件合理支撐，教學手段的豐富多樣，直觀、生動、形象地突出教學重點，調動學生多種感官協同活動有利于構造直觀支撐想象，使學生在運用圖形運動知識將2 號還原的過程中，不知不覺已經將知識點逐漸進行了網狀結構的融合與運用，逐步提升空間觀念，思維也實現了從具象到抽象的過渡。

三、學習要求便于網狀結構的知識形成，引領能力遞增

針對這題的教學，幾次學習活動都有明確的要求：

第一次是1 號圖形要回到原來的位置，除了平移，還可以怎么運動？學生想象后進行交流，使學生初步感受可以靈活地選擇不同的運動去還原圖形。

第二次是2 號圖形如何以2分實現還原？學生操作后，教師組織交流，但在交流時都是先讓其他學生根據語言的描述進行想象，然后再以操作、演示來驗證。

第三次是任意打亂一塊拼圖的還原，教師不提供任何學具操作，要求學生依托想象在腦海中進行還原。

教學過程中，不同的學習要求，對學生運用知識解決問題的能力、思維能力以及想象能力的發展都是不同的。層層遞進式的學習要求，使學生便于網狀結構的知識形成，從而引領能力的遞增。

從第一次要求借助觀察、操作等進行想象再還原（直觀支撐），到第二次操作后交流時根據語言描述進行想象還原（半支撐），到第三次完全依托想象進行還原（脫離支撐），學習要求拾級而上，但每一次的要求，學生是在不斷地強化和運用平移、旋轉、軸對稱這些圖形運動的知識。在這個過程中，學生對圖形運動的知識逐步形成網狀結構，并內化為解決問題的個體行為，空間觀念也逐步發展。尤其是最后，在脫離學具操作的情況下，鼓勵學生憑空想象，在大腦中構建圖形還原的運動過程，通過語言描述分享，集體想象驗證，達到了最終提升學生的空間觀念的教學目標。

【習題使用后的感想】

從感知到認識，再到領悟，結構化習題搭建起學生理解的橋梁，讓學生的思維有可以依附的思考鏈，降低學習難度的同時，提升學習的有效性。結構化習題，是應和學生學習能力和思維腳步的遞進式練習，讓學生在有限的練習過程中，建構起自己的思維結構、知識體系。通過一張“笑臉”的變化，演繹出結構化的練習方式，是我們在空間觀念教學過程中的探索，也是我們運用結構化思維引導學生空間觀念的成功案例，讓我們對結構化練習的應用有了更加堅定的信念。

布魯納指出，不論我們教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。“結構化習題”，就是在幫助學生完善知識體系構建的過程中，將某個知識點拓寬、延展或將多個知識點融合加以運用，讓學生加深理解知識的同時，完善對知識結構的同化和順應。教學與其說是單純地掌握知識和技巧，不如說是教授學習結構。數學學科的基本結構，除了本身包含的知識、技能等元素還有各個構成元素之間的聯系，而主動地建構這種聯系，就是形成高階的結構化思維的重要表征。對于學習過程中知識的關聯性，通過“結構化習題”的學習，幫助學生對知識進行遷移、分析、概括，引導和幫助學生用“點”的鏈接逐漸自主完善和建構認知結構。