變量世界，讓思維方式發(fā)生深度轉(zhuǎn)變和進階
——《變化的量》教學(xué)實錄

文|董文彬

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版六年級下冊第四單元第1 課時。

【教學(xué)過程】

一、舊事重提，生發(fā)新的思考

師：烏鴉喝水的故事我們已經(jīng)很熟悉了，從數(shù)學(xué)的角度思考，哪些量在發(fā)生變化呢？是怎樣變化的？

生：瓶子里水面的高度在發(fā)生變化，水面升高了。

生：石子數(shù)也在發(fā)生變化，石子數(shù)變多了。

師：這兩個量都在發(fā)生變化，它們之間有聯(lián)系嗎？是誰的變化引起了誰發(fā)生變化呢？

生：有聯(lián)系，石子數(shù)的變化引起水面高度變化。

師：看來，任何變化的背后都是有原因的，這里水面高度與石子數(shù)的變化就是有關(guān)聯(lián)的。今天這節(jié)課，我們就帶著關(guān)聯(lián)的眼光來一起認識變化的量。

二、尋索變量，體會變化關(guān)系

情境一：淘氣打字。

師：這是淘氣打字時的字數(shù)變化情況。觀察表格，想一想，哪些量在發(fā)生變化？

生：時間在發(fā)生變化。

生：字數(shù)也在發(fā)生變化。

師：能試著描述一下它們是怎么變化的嗎？

生：時間增加，字數(shù)也增加。

師：這兩個量的變化之間有聯(lián)系嗎？

生：字數(shù)隨著時間的增加而增加。

師：（出示下圖）淘氣打字時的字數(shù)變化情況還可以用這幅圖來表示。（描點、連線）從圖中你還能看出“字數(shù)隨著時間的增加而增加”的情況嗎？從哪能看出來？

生：圖中的這條線在不斷上升，表示時間增加，字數(shù)也在增加。

師：如果這樣豎著畫一條直直的線，也能表示字數(shù)在上升嗎？

生：這樣畫不行，這樣畫字數(shù)是在增加，但時間就是不變的了，這里時間也是增加的。

師：也就是說，只有像這樣一條上升趨勢的線才能表示出字數(shù)是時間關(guān)聯(lián)著變化的，對嗎？

師：從剛才淘氣打字的情境中，我們發(fā)現(xiàn)了一個量隨著另一個量的變化而變化，像這樣的相關(guān)聯(lián)變化的量在生活中還有很多，我們接著看。

情境二：摩天輪轉(zhuǎn)動。

師：（出示摩天輪圖片）一個人坐在某個座艙里隨摩天輪轉(zhuǎn)動時，有沒有相關(guān)聯(lián)的變化的量呢？

師：是哪個量隨著哪個量的變化而發(fā)生變化呢？

生：座艙在圓周上的位置，隨著時間的變化發(fā)生變化。

生：路程在隨著時間的變化而變化。

師：你說的路程指的是什么？

生：就是座艙在圓周上轉(zhuǎn)過的距離。你看座艙從最低點開始計算，隨著時間的增加，座艙在圓周上轉(zhuǎn)過的距離也在增加。

師：他從另外一個角度又找到了一組新的變化的量。

生：角度隨著時間的變化而變化。就是假設(shè)座艙從最低點開始，從圓心往下畫一條線，隨著時間的增加，摩天輪在轉(zhuǎn)動的過程中，座艙與圓心的連線就會轉(zhuǎn)過一個角度，這個角度在隨時間而發(fā)生變化。

師：很好，又是一組新的變量。

生：隨著時間的變化，座艙離地面的高度也在發(fā)生變化。

生：我認為座艙的高度也在隨著角度的變化而發(fā)生變化。

師：剛才有人提到了座艙高度隨著時間在發(fā)生變化，它們具體是怎么變化的呢？以摩天輪轉(zhuǎn)一圈為例，能描述一下嗎？

生：座艙從最低點開始隨著時間先是越來越高，到達最高點之后，隨著時間再逐漸下降，最后回到最低點。

生：也就是隨著時間的增加，座艙的高度先升高后降低。

師：（出示空白方格圖）如果我們把這個變化過程表示在這個方格圖上，是這樣的變化趨勢嗎？（出示“轉(zhuǎn)1 圈”的圖象，如圖）和你剛才想的一樣嗎？

生：是，一樣。

師：從圖中你能進一步獲取到哪些信息？

生：最高點高度是18 米，最低點高度是3 米。

生：轉(zhuǎn)動一圈的時間是12 分鐘。

生：1～6 分鐘座艙高度在增加，6～12 分鐘座艙高度在降低。

師：這是摩天輪轉(zhuǎn)一圈的情況，如果摩天輪再轉(zhuǎn)一圈，圖象會怎么樣呢？

生：和第1 圈一樣。

師：（出示“轉(zhuǎn)第2 圈”的部分圖象）座艙第一次到達最高點以后，再一次達到最高點需要經(jīng)過幾分鐘？

生：12 分鐘。

師：你是怎么得到的？

生：第一次到達最高點是12分鐘，第二次到達最高點是24 分鐘，兩次的時間間隔是24-12=12（分鐘）。

師：如果再轉(zhuǎn)一圈，圖象接下來會怎么樣呢？

生：和前面一圈一樣，先升高后下降。

師：如果摩天輪就這樣一圈一圈一直轉(zhuǎn)下去，圖象就會———

生：和前面一樣，先升高后下降，再升高再下降，不斷重復(fù)。

師：也就是說，隨著時間不斷增加，座艙高度就會“升高—下降”不斷循環(huán)往復(fù)進行，圖象也會這樣“升高—下降”不斷循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)。

師：座艙高度隨時間發(fā)生的這種變化叫什么變化？

生：周期。

師：對，叫“周期性”變化。在這里，摩天輪轉(zhuǎn)一圈的周期是多長時間呢？

生：12 分鐘。

三、豐富素材，再度尋索描述變量及變化關(guān)系

1.回應(yīng)前測，關(guān)聯(lián)描述變量。

師：剛剛我們通過“淘氣打字”和“摩天輪轉(zhuǎn)動”兩個情境發(fā)現(xiàn)了其中存在的相關(guān)聯(lián)的變化的量以及兩個變量之間的變化關(guān)系。在課前，有很多同學(xué)也找到了生活中存在的一些變化的量，我們來一起看一看。

出示：

師：有人認為“身高”是變化的量，同意嗎？

生：同意。

師：你能想到身高是隨著哪個量在發(fā)生變化嗎？

生：年齡，隨著年齡的增長，身高也會增加。

師：身高會隨著年齡的增長而一直增加下去嗎？

生：不會，當一個人的身高長到一定高度的時候，隨著年齡的增長，身高就不再長了，會保持那個高度不再變化。

師：也就是說，人的身高隨著年齡增長而增加這件事只發(fā)生在某個階段，超過特定年齡段這個規(guī)律就不存在了。

出示：

師：也有人認為“溫度”是變化的量，同意嗎？

生：同意。

師：那么溫度是隨著哪個量在發(fā)生變化呢？

生：時間，一天中從早到晚，溫度會隨著時間的變化而變化。

生：季節(jié)，隨著季節(jié)的更替變換，溫度也會發(fā)生變化。

生：環(huán)境，環(huán)境發(fā)生變化，溫度也會發(fā)生變化。

生：緯度，從赤道到北極，溫度會隨著緯度的變化而變化。

生：海拔，隨著海拔的升高，溫度會逐漸下降。

師：真是太棒了！你們僅僅從看到“溫度”這個變量，就能聯(lián)想到這么多與它相關(guān)聯(lián)的其他變量。

2.補充素材，尋找描述變量。

出示：

出示小組活動要求：

a.找出每個情境中有哪些相關(guān)聯(lián)的變化的量？

b.描述清楚一個量隨著另一個量的變化而發(fā)生了怎樣的變化？

組1：

生：我選擇①號情境，變化的量是平行四邊形的底和高，隨著高的不斷增加，底在不斷減少。大家有什么問題嗎？

生：我的想法和你一樣，我補充一點，平行四邊形的高增加，底就減少，方向是反著的，但這個過程中，平行四邊形的面積一直是24cm2，保持不變。

師：你還看到了變化中不變的東西，好眼力！

生：我選擇③號情境，變化的量是圓的周長C 和直徑d，隨著d的不斷增加，C 也在不斷增加。

組2：

生：我選擇②號情境，變化的量是股票的價格和時間，隨著時間的增加，股票的價格先下跌再升高、升高，再下跌，再升高，又下跌、又升高……股票的價格隨著時間的增加呈現(xiàn)波動變化。

師：“波動”這個詞形容得好！

生：股票價格隨著時間的增加一會兒升一會兒降，好像沒有什么規(guī)律。

生：我還找到一組變化的量是股票的價格和均線，股票的價格隨著均線的變化而變化。

生：我有不同意見，我認為均線是隨著股票的價格的變化而發(fā)生變化，而不是股票的價格隨著均線的變化而變化。

生：應(yīng)該是股票的價格隨著均線的變化而變化吧？

生：什么是均線？我認為均線應(yīng)該是這只股票的平均價格，應(yīng)該是股票在這段時間的價格變化引起平均價格的變化，而不是平均價格引起股票價格的變化。

師：理不辯不明，你們理解得很深刻。

四、全課小結(jié)（略）