微元法求空間曲線和曲面的轉動慣量

孫翠先 陳貴清

【摘要】本文應用微元法給出了密度不均勻的空間曲線和曲面繞坐標軸的轉動慣量的計算公式，并給出了計算實例.

【關鍵詞】微元法;密度;曲線;曲面;轉動慣量

數學能夠培養學生認識問題、解決問題的能力，是一切科學和技術的基礎，它正日益成為解決實際問題的工具類學科，并向各個領域延伸.隨著高新技術的發展，學校提倡提高學生的科學素質，培養學生的思考習慣，目的是使學生能夠應用所學數學知識自己動手解決一些實際問題.

很多數學、物理、力學中的量，比如不規則平面圖形求面積、空間曲面求面積、平面曲線求長度、空間曲線求長度、平面金屬薄片求質量、平面金屬薄片繞軸求轉動慣量、求物體的質量和質心、求變力對物體所做的功、物體間的引力等，都需要用微元法解決.

一般地，能用微元法解決的問題具有以下特征.首先，所求的量中自變量控制在一定的區間內，自變量分屬各個小區間時所求的量對小區間具有可加性，即每個小區間分量之和為總量，這樣的量有面積、體積、長度、質量、轉動慣量、功、引力等.其次，構造在某一小區間上所求量的微分表達式，即微元.此步微元的得出是由物理力學問題構造的.最后，在討論的自變量區間上對微元積分，即可得所求的量，通過化成計算定積分或二重（三重）積分可得結果.

但對初學者來講，尤其是大一大二的學生，理解微元法比較困難，不容易掌握其要領，主要原因是構造所求量的微元表達式會有困難，無從下手.

教師講授時可采用如下具體做法.首先，結合學生所學專業的特點，篩選出專業課程與數學課程知識的契合點，規劃教學中的例題，為后續學習專業課打基礎，提供數學思路.這種做法能夠使教師的教案“活”起來，發揮其應有的作用.其次，理論與實際相結合，進一步使數學與專業課程有機銜接，通過分析實際工程問題建立數學模型，應用微元法解決實際問題.這樣做能夠吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，讓學生感到耳目一新，提高上課效率.最后，結合專業特點，制訂合理的課后作業，鼓勵學生進行專業探索.這也是課堂教學的延伸和繼續，可幫助學生理解一些數學中的抽象概念和理論.

本文以求分布密度不均勻的空間曲線和空間曲面繞坐標軸的轉動慣量為例，介紹了微元法的應用，涉及的數學計算有空間曲線積分和空間曲面積分.

剛體繞軸轉動時形成的轉動慣量記為I，由力學定義知，I=mr2，這里m是質量，r是到轉軸的距離.

首先找到密度不均勻的空間曲線和曲面的質量微元，也可以叫作元素，然后寫出繞坐標軸的轉動慣量微元，求相應空間曲線和曲面積分即可求出轉動慣量.

1 空間曲線對坐標軸的轉動慣量

2 空間曲線轉動慣量實例

3 空間曲面對坐標軸的轉動慣量

5 結束語

本文介紹的求密度不均勻的空間曲線和曲面對坐標軸的轉動慣量的方法，同樣適用求密度不均勻的平面曲線和平面區域對坐標軸的轉動慣量.

【參考文獻】

[1]哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學：第8版[M].北京： 高等教育出版社，2003.

[2]同濟大學數學系.高等數學：下冊：第7版[M].北京： 高等教育出版社，2015.