關于Monge-Ampère方程解的一個估計

于雪梅

【摘要】本文主要在高維非負常曲率黎曼流形中，對滿足齊次狄利克雷邊值條件的Monge-Ampère方程的嚴格凸解，構造一個輔助函數，將歐式空間中的結論推廣至黎曼流形上，得到一個關于方程解的非負估計，并應用柯西—施瓦茨不等式、牛頓不等式給出詳細的證明過程.

【關鍵詞】 黎曼流形;Monge-Ampère方程;解的估計

一、引言

近幾年，有關橢圓型偏微分方程

解的凸性研究是非常豐富的，主要思路是在歐式空間中進行方程解的凸性研究.其研究方法啟示我將此思路拓展到黎曼流形上，在對解的水平集的曲率進行研究前，我先構造一個與上述完全非線性的Monge-Ampère方程的嚴格凸解有關的函數，通過詳細推導對構造的函數做出估計，為后續研究曲率問題做出鋪墊.

二、基本概念和記號

定義1 設Mn為n維Ck流形，如果在Mn上存在一個（0，2）階對稱正定的Ck張量場g，使得對p∈Mn，切空間TP（Mn）可以看作具有度量gp的歐式向量空間，那么（Mn，g）稱為n維Ck黎曼流形.其中g為黎曼流形Mn的黎曼度量或基本張量.

四、結束語

本文對一類橢圓型偏微分方程在帶有邊值狄利克雷條件下的嚴格凸解，在高維黎曼流形上構造出一個輔助函數，進而得到一個估計，這一結論的成立對研究方程解的平均曲率、高斯曲率的估計問題有很大幫助.

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