圓的面積公式推導的再思考

王廣強

【摘要】現在的數學教學不僅僅是數學知識的傳授，更應關注數學思想方法和數學文化的滲透.新課程標準中提出了三大基本思想：抽象、推理、模型.圓的面積推導過程就是將圓轉化成我們已經學習過的長方形、三角形或梯形，再利用已有的舊知識解決新問題.該過程能有效地滲透數學思想，發展學生的推理能力和創新意識.

【關鍵詞】圓的面積;數學思想;轉化思想;極限思想

“圓的面積”是小學數學教學中非常重要的一課，本節課不僅可以體現數學中非常重要的思想方法，還有利于培養學生的創新能力和探究意識.

新課程標準指出，數學教學要培養學生的“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，而基本思想指：抽象、推理和模型.

人教版課本是通過分割、轉化，將圓的面積轉化成平行四邊形，進而轉化成長方形進行推導的，過程如下.

在硬紙上畫一個圓，把圓分成若干（偶數）等份，剪開后，用這些近似于等腰三角形的小紙片拼一拼，你能發現什么？（圖1）

分的份數越多，每一份就會越小，拼成的圖形就會越接近于一個長方形.（圖2）

通過觀察，我們可以看出圓的半徑是r，長方形的長近似于圓的周長的一半，寬近似于半徑.因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=周長的一半×半徑=C2×r=πr2，即圓的面積公式是S=πr2.

在上述的過程中，滲透了轉化的數學思想，將未知的圓轉化成平行四邊形，再由極限的數學思想，將平行四邊形近似地看成長方形，而后又由變與不變的數學思想，將長方形的面積與圓的面積溝通起來，最終得出圓的面積計算公式.在整個推導過程中始終滲透了推理的數學思想.

冀教版教材在利用上述方法推導圓的面積公式之前，又采用了以下的方法讓學生初步感知圓的面積計算公式.

把一個半徑是10 cm的圓形飛鏢板平均分成20份，估算一下一塊飛鏢板的面積，如圖3.

我們可以將每一份飛鏢板近似看成底是圓的周長的120、高是10 cm的等腰三角形，通過計算我們可以得到一份飛鏢板的面積約是2×3.14×10×120×10÷2=15.7（cm2），所以圓的面積就是20×15.7=314（cm2）.

在此基礎上如果將飛鏢板的半徑用字母r表示，將飛鏢板平均分成n份，我們不難推出圓的面積公式是S=2πrn×r÷2×n=πr2.

在上述的推導過程中，我們利用了極限的思想，分得份數越多，每一份就越接近一個三角形.我們還利用了轉化的思想，將圓的面積轉化為三角形的面積進行求解.

我們看到，不論是人教版還是冀教版教材，在推導過程中，都是將圓平均分推導出來的，除了以上的推導方法，我們還有其他的方法嗎？答案是一定的，但是無論怎樣進行推導，其基本思想是不變的.

我們還是按照平均分的思路，如果不像第一種方法那樣拼，我們把第一行放1個，第二行放3個，第三行放5個，第四行放7個，這樣也恰好可以拼成三角形，如圖4.

所拼得的三角形的底是圓的周長的14，高是4r，我們不難推出圓的面積為S=C4×4r×12=12Cr=πr2.

當然，稍加思考，我們可以將其拼成一個梯形，如圖5.

所拼得的梯形是上底是圓的周長的316，下底是圓的周長的516，高是2r，我們也不難推出圓的面積為：S=3C16+5C16×2r×12=12Cr=πr2.

我們現在將圓進行如下分割，在一個圓中作出它的同心圓，并使它們的半徑成等差數列，即相鄰的兩個圓的半徑之差（環寬）相等，如圖6所示.

我們將這些同心圓沿線剪開，可以近似得到以下兩種不同的圖形（圖7，圖8）.

圖7是等腰三角形，三角形的底是圓的周長，高是半徑，所以圓的面積=三角形的面積=C×r×12=πr2.

圖8是直角三角形，直角邊分別為圓的周長和圓的半徑，所以圓的面積=三角形的面積=C×r×12=πr2.

到此，大家可能覺得圓的面積公式的推導方法已經很多了，其實還有很多，比如我們可以把圓看作正n邊形，通過求n邊形的面積，最終通過求極限得到圓的面積，還可以通過微積分推導圓的面積公式.

圓的面積公式推導方法可能還有很多，但是我們可以總結兩點：一是利用轉化，將曲線型圖形轉化成直線型圖形（其實平面圖形的面積推導都是轉化成已知圖形得到的），二是利用高等數學中極限和微積分的知識推導.