線性空間結構的研究途徑

趙云平

【摘要】本文從多個角度介紹了線性空間結構的研究途徑，其結果對我們把握整個線性空間的結構是很有用的.

【關鍵詞】線性空間;結構;角度;途徑

高等代數一般包括兩個部分：線性代數初步及多項式代數.而線性空間是線性代數的主要研究對象，也是線性代數最基本的概念之一，它是向量空間概念的抽象和推廣，線性空間的知識在高等代數中處于核心地位.簡單的說，線性空間就是這樣一種集合，其中任意兩個元素的和構成集合的另一個元素，任意元素與任意數相乘后得到集合的另一個元素.線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，內涵極其豐富.它是數域上的一個特殊的代數系統，有著許多特殊的結構和性質，這些結構和性質是一般代數系統沒有的，因此深入研究線性空間的結構很有必要.

1 從基的角度

線性空間的基是線性空間的一個基本屬性，是我們認識線性空間的一個重要信息.如何把線性空間的全體元素表示出來？線性空間的構造如何？借用幾何的語言，把線性空間元素叫作向量，而向量有加法運算和數量乘法運算，由此引出了基的概念.

定義1 設V是數域K上的線性空間，V中的向量組α1，α2，…，αr如果滿足下述兩個條件：

①α1，α2，…，αr線性無關;

②V中的每一個向量都可由α1，α2，…，αr線性表出，則稱α1，α2，…，αr是V的一個基.

有了基的概念之后，利用基，只要求出線性空間的一個基，那么線性空間V中的每一個向量都可以由這個基線性表示出，而且表示方法是唯一的，因為V中的每一個向量都清楚了，因此整個線性空間的結構就把握了.

例如，向量組e1=100，e2=010，e3=001是K3的一個基，則K3中任何一個向量都可由它線性表出，若α=3-25，則α=3e1-2e2+5e3.n維線性空間V的基是不唯一的，V中任意n個線性無關的向量都是V的一組基;任意兩組基向量是等價的，就是兩個向量組可以相互線性表出，即第一個向量組中的每個向量都能表示成第二個向量組的向量的線性組合，且第二個向量組中的每個向量都能表示成第一個向量組的向量的線性組合.

不僅如此，基的概念還解決了線性方程組有無解的判定及解集的結構問題.

2 從子空間的角度

在許多問題中，我們所研究的線性空間往往由某個更大的線性空間的一個適當大小的非空子集構成，即所謂的子空間.線性子空間（或向量子空間）在線性代數和相關的數學領域中是很重要的.線性子空間是線性空間這一抽象概念生發出的重要知識點.

子空間有兩種運算，一個是子空間的交，一個是子空間的和，和里面的一種重要的特殊類型叫作直和.線性子空間的直和是線性子空間之間的一種特殊運算，直和是一種要求更高的和，子空間的直和是子空間和的一種強調形式.當我們對元素分解不唯一時，有些問題不好處理，因此引出直和的概念.直和的意義在于每一個元素分解的唯一性.

上述定義、定理表明，如果線性空間V等于它的子空間V1，V2，…，Vm的直和，那么V的每一個向量就可以表示成V1的一個向量加V2的一個向量……加Vm的一個向量，這種表示方法是唯一的，并且V1的一個基、V2的一個基……Vm的一個基合（并）起來就是整個空間V的一個基.也就告訴我們，如果能把整個線性空間做直和分解，把可能很大的線性空間分解成若干比較小的或特殊的子空間，那么線性空間V的結構就通過它的子空間的結構構建起來，因為小的子空間的基比較容易找，把它們合起來就是整個線性空間的基，而且線性空間V的每個向量表示成這些子空間向量的和，且表示方法唯一.實際上，每一個有限維線性空間都有直和分解，又因為線性空間的基不唯一，所以線性空間的直和分解也不唯一.

例如，過點O的平面V1與過點O的直線V2，這兩個子空間也有和，即V1+V2=V，V1和V2的和就等于整個幾何空間，而V1+V2中的每個向量α可唯一分解成α1+α2，其中α1∈V1，α2∈V2（也就說以α為對角線的平行四邊形有且僅有一個）.可見整個幾何空間可以做直和分解，那么整個幾何空間的結構自然就清楚了.線性空間的直和分解思想是研究線性空間結構的核心工具，將線性空間分解為其子空間的直和是一種重要的研究途徑.

3 從同構的角度

同構是高等代數中的一個重要工具.同構概念是對于線性空間而言的，是描述不同對象集合之間結構相同的數學概念，借助同構思想可以讓復雜問題簡單化.線性空間的同構就是將數域K上所有線性空間進行分類，把本質上有相同結構的線性空間歸為一類，在這一類中挑選一個比較簡單的具體的線性空間來研究它的性質，則跟它同一類的其他線性空間也有同樣的性質.利用同構概念可以對性質相同的一類線性空間進行整體研究，可以由此知彼，減少工作量，為研究線性空間結構提供新的途徑.

同一個數域K上的兩個線性空間本質上有相同的結構，從集合的角度來講，就是它們元素之間有一個雙射，這是起碼的條件，有了雙射還遠遠不夠，因為線性空間有加法、數量乘法兩種運算，所以還要求σ保持加法，保持數量乘法.這里有一個重要的充要條件，同一數域上兩個有限維線性空間同構當且僅當維數相等，說明維數相等一定同構，維數不等一定不同構.

同構的意義在于，在線性空間的抽象討論中，無論構成線性空間的元素是什么，其中的運算是如何定義的，我們所關心的只是這些運算的代數性質.從這個意義上說，同構的線性空間是可以不加區別的，而有限維線性空間唯一本質的特征就是它的維數.維數相同的各線性空間的差異僅在于它們向量的表現形式有所不同，而這種向量表現形式的不同對線性空間結構來說沒有任何實質性的影響.這樣，我們就可以利用線性空間的同構把數域K上的所有線性空間進行分類來研究線性空間的結構.

例如，數域K上的任一個n維線性空間V與Kn是同構的.可見同構類完全被維數決定，維數相同的正好在一個類里面，有0維、1維……n維，也就是自然數組成的集合與線性空間的同構類組成的集合建立了一一對應的關系，自然數0對應0維同構類……這個同構類能被自然數決定，有一個自然數就有一個同構類，整個線性空間被維數分得如此干凈利落.如果要研究n維線性空間V的結構，那就找它的代表Kn去研究，Kn的結構清楚了，那么n維線性空間V的結構自然就清楚了，因為維數相同的線性空間在一個同構類里面，它們有相同的性質.同構的線性空間有著緊密的聯系，結構相同，并且由一個線性空間的性質可以推得與之同構的另一個線性空間的很多性質.這就是研究線性空間結構的第三條途徑——線性空間的同構.

4 從商空間的角度

為了方便研究線性空間V的結構，給出V的一個劃分，即在V中建立一個二元關系（是一個等價關系），此時，所有等價類（V的一個子集）組成的集合給出了V的一個劃分，把一個等價類看成一個元素，從而引出商空間的概念.

定理3表明，只要知道商空間是有限維的，而且知道它的一個基，那么把基里面的陪集代表生成一個子空間U，那V就可以做這樣的直和分解，等于子空間W和這個U的直和.這就體現了用商空間研究線性空間的結構，有一個直和分解，那V的結構就比較清楚了.在這里V和W沒說是有限維的，因此這個定理中的V和W可以是有限維，也可以是無限維，但是要求商空間V/W是有限維.

5 結語

本文總結并分析了研究線性空間結構的不同途徑，這對線性空間結構的細化分析具有指導意義.

【參考文獻】

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