線性代數中特征值與特征向量的教學設計

張林麗 原乃冬 張晶晶 白忠玉

【摘要】矩陣的特征值與特征向量是線性代數中兩個重要的概念.本文通過人口遷移問題的引入，采用問題驅動法和啟發(fā)式教學構造出特征值與特征向量的概念，勉勵學生努力踐行社會主義核心價值觀，培養(yǎng)學生嚴謹的科學態(tài)度和創(chuàng)造能力;利用研究式和啟發(fā)式的教學方法推導特征值與特征向量的求法，引導學生樹立崇高的學習志向，建立正確的人生觀，培養(yǎng)學生提出問題、分析問題和解決問題的能力;采用啟發(fā)式教學，將數學建模的思想滲透到教學之中，通過特征值與特征向量在人口遷移問題中的應用，培養(yǎng)學生應用知識解決實際問題的能力.本文將課程思政元素與線性代數相結合，在教學實踐中落實立德樹人的任務.

【關鍵詞】特征值;特征向量;課程思政元素

本文以線性代數中“矩陣的特征值與特征向量”這一節(jié)教學內容為例，從學情分析、教學目標、教學重難點和教學過程這四個方面設計教學模型，在教學實踐中落實立德樹人的任務.

一、學情分析

線性代數是高校理工類、經濟管理類專業(yè)必學的一門公共課，它為學生今后的專業(yè)課學習提供必需的數學知識，同時培養(yǎng)學生的邏輯推理能力、抽象思維能力、空間想象能力以及用所學知識分析、解決實際問題的能力.方陣的特征值和特征向量是線性代數中一個重要的概念，它在方陣的對角化、微分方程組的求解和工程技術中的振動等問題中都有著重要的應用.

本節(jié)課授課對象為大二年級理工類、經濟管理類學生，他們已經學習了高等數學的相關知識.他們的優(yōu)勢是年輕、專注、有夢想，動手操作能力強，劣勢是抽象思維能力、空間想象能力不足，數學應用能力弱，尤其對純數學概念的學習缺乏興趣.

二、教學目標

知識目標：讓學生理解矩陣的特征值與特征向量的概念和性質;掌握方陣的特征值與特征向量的求法.

能力目標：在特征值和特征向量的求法教學中，使學生的計算能力得到進一步提高.

情感目標： 在教學的過程中滲透變形法的數學思想，提高學生的應用意識以及“立體”的學習習慣.

三、教學重難點

教學重點：特征值與特征向量的概念、求法和應用.

教學難點：特征值與特征向量的求法.

四、教學過程

（一）復習預備知識

教學設計：課前復習的作業(yè)是本節(jié)課要用到的知識，目的是減少課內簡單計算所用的時間，充分突出重點;同時也是本著“笨鳥先飛”的原則，使計算能力較差的學生提前練習，達到復習的目的，保障課堂教學任務的完成;通過計算和觀察增加對特征值和特征向量的感性認識，達到分散難點的目的.

（二）課題引入

引例（人口遷移模型） 假設一個省的總人口是固定的，人口的分布因居民在城市和農村之間遷徙而變化.假設每年有5%的城市人口遷移到農村（95%仍留在城市），有12%的農村人口遷移到城市（88%仍留在農村），記ri，si分別表示第i年的城市與農村人口數，則ri+1=0.95ri+0.12si，si+1=0.05ri+0.88si，將該方程組寫成矩陣方程的形式：xi+1=Axi，其中遷移矩陣A=0.950.120.050.88，xi=risi.設海南省2010年的人口分布為x0=500000780000，計算海南省2030年的人口分布.

教學設計：采用問題驅動法，由人口遷移問題，設想：（1）將遷移矩陣轉化為對角矩陣？這個方法的實施感覺很渺茫;（2）能否將遷移矩陣線性化呢？繼續(xù)尋求解決問題的思路，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.在作業(yè)題第（1）題中：AX=2X，左邊是矩陣相乘的非線性運算，右邊是數乘矩陣的線性運算，它啟發(fā)我們可以將非線性運算簡化成線性運算，由數2乘向量X等于矩陣A乘向量X，也就是說，數2具備矩陣A的特征，我們就把數2稱為矩陣A的特征值，非零向量X稱為矩陣A的屬于特征值2的特征向量.從直觀的例子出發(fā)，讓學生理解了特征值和特征向量的概念.再從2階推廣到n階，引導學生構造出特征值和特征向量的一般概念.

（三）特征值與特征向量的概念

定義 設A是n階方陣，如果數λ和n維非零向量X，使AX=λX成立，則稱數λ為方陣A的特征值，非零向量X稱為A的對應于特征值λ的特征向量（或稱為A的屬于特征值λ的特征向量）.

說明：（1）A是方陣;（2）特征向量是非零向量;（3）特征向量與特征值是對應關系.

教學設計：采用啟發(fā)式教學，引導學生構建特征值與特征向量的概念，達到分散難點的目的，也培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造力.通過三點補充說明，培養(yǎng)學生嚴謹的科學態(tài)度.特征值和特征向量在振動、經濟學等領域有著重要作用.例如，用樂器演奏音樂時，需要對樂器進行調音，使得各種樂器的頻率相匹配，才能演奏出動聽和諧的音樂，這里的頻率就是特征值.和諧的東西是美的，和諧的社會是穩(wěn)定的，我們應勉勵學生努力踐行社會主義核心價值觀，共同維護當今來之不易的和諧文明社會，提醒學生要審慎地看待自己與身邊人的關系，與社會的關系，牢牢樹立和諧的觀念，促進學生全面和諧的發(fā)展.

（四）特征值與特征向量的求法

有了特征值和特征向量的概念之后，學生會產生疑問：（1）方陣A的特征值是否唯一？（2）屬于特征值λ的特征向量是否唯一？（3）如果不唯一，如何求方陣A的所有特征值和特征向量？下面，我們來回答這些問題.

由定義可知：AX=λXλX-AX=0λE-AX=0有非零解λE-A=0.

按照上面的分析，我們得出求特征值和特征向量的思路.

（1）求特征值：求解特征方程λE-A=0的根;n階方陣A在復數范圍內有n個特征值.

（2）求λi的特征向量：齊次線性方程組λiE-AX=0的每個非零解都是方陣A的屬于λi的特征向量;它的全部非零解即為方陣A的屬于特征值λi的全部特征向量.

例1 求A=1102的特征值和特征向量.

對比我們求得的方陣A的屬于特征值λ2=2的特征向量ξ2=11和作業(yè)題第（1）題中找到的特征向量x1=11，可以驗證我們的求法正確.由例1可以引導學生給出求n階方陣A的特征值和特征向量的步驟：

（1）計算特征多項式λE-A，求特征方程λE-A=0的根，即為A的全部特征值;

（2）對每個不同特征值λi，求齊次線性方程組λiE-AX=0的基礎解系ξ1，ξ2，…，ξn-r（r=r（λiE-A）），則k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r （k1，…，kn-r不全為0），即是方陣A的屬于特征值λi的全部特征向量.

例2 求矩陣A=3-1-220-22-1-1的特征值和特征向量.

教學設計：采用研究式和啟發(fā)式教學法，引導學生給出求n階方陣A的特征值和特征向量的步驟.求特征值的關鍵是計算行列式，而行列式的計算我們在第一章學過.求特征向量的關鍵是求齊次方程組的基礎解系，而基礎解系的求解我們在第三章學過，從而達到用舊知識解決新問題的目的，分散本節(jié)課的難點.例2中行列式的計算可利用作業(yè)第二題的結果，簡化課堂黑板板書運算過程.由λX-AX=0（λE-A）X=0，可以看到單位矩陣E在矩陣運算中起著“雷鋒”的作用，可引導學生樹立正確的人生觀，我們要做單位矩陣式的人，低調做人，認真做事，做一個有思想有抱負的人，在祖國和人民需要的時候做出應有的貢獻.

（五）應用

回歸起點，解決開始提出的問題，讓學生完整體會科學研究中提出問題、分析問題和解決問題的全過程.

教師提問：隨著時間的流逝，預測海南省人口分布是否會趨于穩(wěn)定？

教學設計：采用啟發(fā)式教學，將數學建模的思想滲透到教學之中，繼續(xù)深化知識，研究解的穩(wěn)定性.再次提到穩(wěn)定的社會也是和諧的社會，勉勵學生努力踐行社會主義核心價值觀.

（六）小結

特征值可以取代特征向量，讓我們的世界變得簡單;特征向量并不因此產生“嫉恨”，用它包容和博大的胸懷，協(xié)同特征值改變了世界，數學的美體現(xiàn)了人性的真善美.其實，它們的魅力不僅如此，在后面“相似矩陣”和“對角矩陣”中它們聯(lián)手作戰(zhàn)，將n階方陣推向一個又一個高潮.如果你對它們感興趣，就努力從特征值和特征向量做起吧，從做那個對了的特征值開始，去儲藏更大的能量，為對了的事業(yè)做出自己的貢獻.

【參考文獻】

[1]崇金鳳，卓澤朋.方陣的特征值和特征向量[J].洛陽師范學院學報，2015，34（11）：24-26.

[2]劉素兵，曲娜，曹大志.關于特征值與特征向量教學的探討[J].高師理科學刊，2017，37（10）：62-65.

[3]同濟大學數學系.工程數學：線性代數[M].北京：高等教育出版社，2014.