在合作學習中培養數學抽象素養

馬倩倩

【摘要】數學學科核心素養代表著數學教育目標，它須要在課程中加以落實，因為課堂教學是課程實施的主渠道.數學抽象思維居于數學學科核心素養的首位，我們可以通過支架式教學設計、精心設計問題、培養學生的概括能力等方式開展培養學生數學抽象素養的教學活動.而教學是師生合作、生生合作的過程，素養的落實要通過活動，活動須要師生、生生合作共同完成，因此應在合作學習中培養學生的數學抽象素養.

【關鍵詞】合作學習;數學抽象素養

一、前言

新一輪課程教學改革更注重培養學生的核心素養.對于高中數學來說，核心素養是數學思維、關鍵能力、情感培養、學習態度和價值觀的綜合體現.核心素養的提高不是一朝一夕能夠做到的，它須要在學習中慢慢積累并不斷總結.數學抽象素養是學生必須具備的數學基本素養之一，并且處于核心素養的首位.學生通過對數學概念和規則的理解，能夠提出數學命題，建立數學模型，從而形成數學方法和思想，達到認識數學結構和體系的目的.高中生數學抽象素養的高低受多種因素的影響，與學習內容有關，也與學習行動相關，還和諸如同伴影響等多種因素相關.因此，培養高中生的數學抽象素養要從多方面入手，教師和學生都要給予重視，在設置情境和回答問題方面、學習基礎知識和提高數學技能方面、鍛煉學生的數學表達和活躍思維方面以及通過師生之間的交流和反思方面加強培養.

合作學習體現了思維與表達、交流與反思這兩個方面.合作學習的參與者可以是師生之間也可以是生生之間，學生分組學習可以兩人一組，也可以多人一組.在課堂上，師生與生生之間的合作是并存的，不可分割，師生之間是一種新型的學習合作伙伴關系.學生的學習過程從現有知識的消費性學習轉化為伙伴合作的創造性學習，促使學生在合作學習的過程中能夠加強分享和交流，在共享學習資源的同時，還能夠彼此監督相互啟發，有利于數學的學習，更有利于培養學生的數學核心素養.

二、對數學抽象的認識

數學抽象的重要表現之一是數學概念和規則.依據抽象程度的不同，史寧中教授將數學抽象過程劃分為三大階段：第一階段為簡約階段，主要是把握事物本質，將復雜問題簡單化，并能夠條理清晰地表達出來;第二階段是符號階段，運用運算符號和關系術語等將具體事物簡約化表述;第三階段為普適階段，揭示事物的本質和規律，主要是通過假設和推理手法構建法則和數學模型來實現.構建數學命題和模型是數學抽象的一個重要過程，不僅能實現對數學事實的抽象概括，還是數學學習的重要工具，有利于實現知識遷移和關聯，解決數學實際問題，幫助學生在完成數學體驗和學習過程后，提高模型化解決問題的能力.

三、在合作學習中培養學生數學抽象素養的方法

（一）利用支架式教學發展學生的數學抽象素養

所謂支架式教學即為學生理解知識構建的一種概念框架，這些概念可以方便學生對問題的進一步解讀.支架式教學可以分為五個步驟操作：（1）搭建腳手架;（2）進入情境;（3）獨立探索;（4）協作學習;（5）效果評價.數學教師可以結合史寧中教授提出的數學抽象三個階段以及學生的抽象思維特點構建抽象概念教學支架，將數學知識按照抽象程度分級，再逐級引導學生學習.教師可以通過創設教學情境的方法讓學生主動參與到教學活動當中，開展協作學習，增加學生體驗，促進學生學會獨立思考和自主探究，提高個人的抽象思維能力，培養其數學思維，同時提高學生的數學表達能力和溝通能力，也給學生提供了取長補短的機會，讓學生之間相互學習，互相包容，共同進步，發展學生的數學抽象素養.

（二）精心設計問題和教學情境

數學抽象素養的落實要在活動中進行.數學教師在教授具體內容時要做到“心中有全局”，才能設計出有層次的問題.用問題驅動學生的數學學習，能夠讓不同的學生圍繞不同的問題進行探究學習，利用問題提問，能夠提高學生的注意力，鼓勵學生積極參與討論和交流，提高自己解決數學問題的能力.為了調動學生的積極性，活躍課堂氛圍，教師要在問題設置上多下功夫，問題和情境設計要有科學性和層次性，做到以問題串聯知識點，以發展學生的抽象素養為目的.可以按照教學環節層層相扣，基礎的問題設計要讓絕大多數學生能動手，然后逐步深入，兼顧不同層次的學生.對于難點和重點內容要細致講解，以重難點內容為核心設置多樣化、多角度的問題，讓學生思考交流，并盡量自行解決問題，使學生對概念、原理理解得清楚透徹.

（三）提高學生的數學概括能力

數學概括思維是抽象思維的重要體現.數學概括水平能反映思維活動的廣度和深度，這恰好符合學生數學抽象素養產生和發展的要求.讓學生根據自己的判斷初步概括出知識要點，也就是抽象出了數學概念，當這個抽象的概念能被學生合理表達出來，學生就能更好地通過概念去認識、理解和把握事物的數學本質了，抽象素養即在學生心理慢慢形成并逐步提高.因此數學概括能力的發展過程也就是數學素養形成的過程.

（四）師生共同合作是教學中落實學生數學素養的保證

教學是師生互動的過程.在教學中，教師并不是單純的旁觀者，所有的問題由學生自己解決也不現實，畢竟學生的學習能力和視野是有限的，故教師要在學生碰到困難時給予啟發誘導，搭建“腳手架”，抓住數學知識的最近發展區和知識間的聯系進行引導.最近發展區正是教師幫助學生發展的區域，也是學生以主體的方式從事學習活動、獲得發展的區域.在合作學習中，教師應發揮引領和指導的作用，讓學生成為學習活動的主體，主動去挑戰問題，克服困難，學會自主探究，提高學習能力和積極性.

四、培養數學抽象素養方法在教學中的應用

數學學科核心素養代表著數學教育目標，它須要在課程中加以落實，因為課堂教學是課程實施的主渠道.筆者以講解“導數與函數的單調性的聯系”為例，在課堂教學中開展合作學習，將培養數學抽象素養的方法運用其中，通過“獲得數學概念與規則”這一主要表現，落實培養學生的數學抽象素養.

1.分組合作.6個人組成一個小組，每人研究一個基本初等函數，探究導數與函數單調性之間的聯系，并進行交流.教師引導：讓小組成員從y=x，y=x2，y=x3，y=1x，y=2x，y=log12x中選取一個探究導數的正負與單調性的聯系.學生合作：畫出原函數圖像，觀察其單調性，并直接計算其增減區間里的導函數，發現函數的單調性與其導數的正負的關系.這樣做的目的在于達到數學抽象過程中的“辨別”階段，從具體的函數出發，讓學生體會數形結合思想的運用，體會從特殊到一般、從具體到抽象的過程，降低思維難度，讓學生在教師的引導下分組探究，合作解釋，探討出函數單調性與導數正負的關系.

2.交流心得.選派兩個具有代表性的小組代表到講臺上分享小組的探究成果，并讓學生利用黑板進行板書，如果有不完善的地方，其他小組可以派代表進行補充.學生得出結論：在某區間內，若導數為正，則原函數在此區間單調遞增;若導數為負，則原函數在此區間單調遞減.學生在交流與發言中鍛煉了表達能力.

3.總結結論.師：把我們目前所做的討論在小組成員之間進行總結.此時教師環顧課堂，走進需要幫助的小組，引導小組討論.教師詢問了一個小組的討論結果，只見成員把課堂上探討的結論羅列出來：在某區間內，若導數為正，則原函數在此區間單調遞增;若導數為負，則原函數在此區間單調遞減;若導數恒為零，則原函數在此區間是常數函數，無單調性;若導函數在區間內的離散點為0，其余時候都大于（小于）0，原函數在此區間仍單調遞增（遞減）.可見小組成員是認真聽課的，但是缺乏了自己對知識的理解.這時教師引導：（1）能否將第一點與最后一點合成一句話，即導函數滿足什么條件能推出原函數在此區間上單調遞增？（小組能把條件合到一塊說）（2）“導函數在區間內的離散點為0，其余時候都大于0”與“導函數在區間內恒正”能用一句話來表達嗎？（小組碰到了困難，不知該如何說）（3）如何從邏輯的角度理解f ′（x）≥0？（f ′（x）>0或f ′（x）=0有一個成立即可）（4）是否可以用f ′（x）≥0統一表示？有需要限制的條件嗎？（在某區間內，導函數恒大于等于0，且導數值為0的點是離散點，則原函數在此區間單調遞增）之后，教師特地請該小組交流心得.

師：請用數學符號語言表示結論.學生在表示區間時會猶豫是開區間還是閉區間，此時教師以y=x2為例，在定義域的區間內，一個點并不改變函數的單調性，因此開區間和閉區間都行，習慣上，我們寫成開區間.數學概念的表示有三種形式：文字語言、符號語言、圖形語言.學生在用數學符號語言表示時，會碰到疑惑，甚至表述不精確，這都是教學中的寶石，教師應合理利用.

五、結語

知識不是孤立的，深層次地理解概念意味著學習者擁有的知識是圍繞著數學學科的核心概念、主題及問題組織起來的，是從多個角度對其加以表征的，并能在真實、復雜的情境中應用知識.只有學生知道在什么樣的情境中應用這些知識，在面對新的情境時才能夠解釋信息、創建模型、解決問題，這就進一步落實了數學核心素養的培養.通過合作學習方式的構建，學生可以充分融入數學小組討論中.合作討論的過程也就是數學概念抽象素養形成的過程，為積極探索數學教學方法提供了思路.

【參考文獻】

[1]史寧中.數學思想概論：數量與數量關系的抽象（第一輯）[M].長春：東北師范大學出版社，2008.

[2]姜相宇，張維忠.利用支架式教學發展學生的數學抽象素養：以“雙曲線定義與標準方程”的教學為例[J].中學數學月刊，2019（2）：32-34.