關注數學合作建模，促進學生思維生長

朱胤

小組合作學習的教學方式已被教師接受與認可，但是教師在教學進度和教學效果的雙重壓力下，不敢放手讓學生合作學習，從而影響了學生數學思維過程的展示，學生也沒能很好地體會到合作學習對自己數學思維的發展和個人成長有哪些益處和作用，學生的學習很大程度上還停留在淺層次的學習.學生雖然能進行一定的探究學習，但是并沒有真正認識到問題的本質，而是停留在問題的表面，對問題的思考缺少深度和廣度.2011版初中數學新課標提出了六項關鍵能力，包括：數學運算能力、邏輯推理能力、直觀想象能力、數學抽象能力、數學建模能力、數據分析能力，其中“數學建模能力”實際上是“分析和解決數學問題的能力”的具體化.有效解決目前學生在合作學習中出現的問題，讓學生在平時的數學學習中探究問題本質，才能有效發展學生的思維.因此，筆者在平時的教學中以數學建模為抓手，把小組合作學習與數學建模相結合，實施“合作建模”的學習方式，即學生在教師的指導下將實際問題抽象為數學問題，再通過組內成員的互相交流探討，相互啟發，構造出相應的數學模型，使實際問題得以解決.合作建模既能適當降低學生建模的難度，又能較好地鍛煉學生的合作能力和抽象能力，使學生的思維更靈活、深刻，更富有創造性，使學生的學習能力逐步提升.

活動一：回顧已學模型

已知：如圖1，在Rt△ABC中，已知∠A=30°，你想到了什么？

已知：如圖2，在Rt△DEF中，已知∠D=45°，你想到了什么？

生1：∠B=60°，BC∶AC∶AB=1∶3∶2.

生2：∠E=45°，EF∶DF∶DE=1∶1∶2.

【設計意圖】以此環節引導學生寫出直角三角形中的邊角關系，熟悉兩個特殊的直角三角形，為后續模型的建立做鋪墊.

活動二：實驗合作建模

1.將圖1中的三角形沿著點C折疊，折疊后點B落在線段AB的點E處.思考：你可以求出哪些線段的長度？

生3：將圖1中的三角形沿著點C折疊后點B落在線段AB上，可知折痕CD⊥AB，原先含30°角的直角三角形被分割成兩個小的含有30°角的直角三角形.若設BD長為a，則可知CD長為3a，BC長為2a，由折疊，可知ED=BD=a，EC=BC=2a，在Rt△ABC中，AC=23a，AD=3a，可算得AE=3a-a=2a.

2.用兩張三角形紙片拼接三角形（可重疊）

操作：（1）將圖3紙片沿著CD剪下，得到圖5和圖6.思考：若在圖5、圖6與圖2中選取兩個圖形組合拼圖，拼成一個三角形，你認為圖2的三角形需滿足什么條件？

（2）請先自己拼圖，然后小組交流討論，匯總能拼接出哪些三角形.

生4：因為要拼成一個三角形，因此三個直角三角形中要有相等的邊且相等的邊還應是直角的一條邊，圖5、圖6中滿足條件的是邊CD，圖2中的直角邊是DF和EF，則需DF=EF=CD.

生5：我們小組通過交流討論后得到6個不同的拼接三角形，如圖7.

【設計意圖】通過實驗活動，學生動手操作，小組內同學交流討論和思考，在合作中構建出6個三角形.學生感悟到數學建模思想，進而發展數學抽象思維，提升邏輯推理能力.

活動三：模型檢驗運用

【設計意圖】此環節中，學生需熟記基本模型并在運動的過程中發現基本模型，再運用已有知識解決問題.學生的知識得到鞏固，解題思路更加清晰，解題方法更加熟練且多樣，學生的思維得到有效拓展.

[教學反思]

一、借助同伴力量，提升思維的活躍度

通過調查發現，學生在學習上遇到問題時多半采用的方法是問同學，或者是和同學討論，或者干脆放棄，因此合作建模的學習方式正好符合學生的學習習慣，且可以避免學生無故放棄.課堂上，有些學生語言條理清晰，思維活躍，能快速為其他學生提供解題思路和建議.而當其他學生學習遇到困難時，他們也會主動詢問這樣的同學，借助同伴的鼓勵、解說、幫助，繼續研究后續問題.通過合作建模的學習方式，學生能活躍思維，能在課堂中對問題進行合理分析，持續思考，深入探究，追尋本質，積極主動地參與到數學學習中來，大大提升數學學習思維的活躍度.

二、創設系列實驗，提升思維的深刻性

對很多學生來說，數學學習本身枯燥乏味，甚至有的學生不擅長學習數學，易產生抵觸心理，但借助數學實驗，學生能動手操作實踐，親自參與到問題之中，了解問題的產生過程，并在小組合力下積極分析問題，對問題進行歸納總結，從而建立解決問題的數學模型，還能利用得到的數學模型有效遷移解決其他問題.在這樣的課堂上，每個學生都能經歷親自動手、獨立思考、合作交流、歸納總結、展示模型、運用模型的過程.在合作建模學習的過程中，學生能抓住問題的本質，深入思考問題，歸納出六個數學模型，并運用模型解決一般性的問題，使思維的深度和廣度得到有效提升.

三、檢驗運用模型，提升思維的靈活性

學生在合作建模學習方式下能對問題從不同的角度進行分析，利用多種方法解決同一問題.在解決問題的過程中，學生經歷從分析到綜合、從綜合到分析的過程，全面靈活地進行綜合分析，讓問題的解決更加全面，還能夠有效對知識進行遷移，從一般問題抽象出各種基本模型，提升運用模型的自覺性.在思維發散方面，學生對問題有不同角度的分析，能獲得多樣的結論，對問題的思考也很精細，不僅全面考慮問題，而且深入問題的細節，大大增強思維靈活性.

四、獨立合作并存，提升思維的獨創性

學生的學習并不是一味地重復性學習，需要學生有一定的創新，這樣的學習才是有效的學習，才是真正的學習.合作建模方式下的學習，有利于學生之間思維的碰撞，有利于啟發學生思維的創新.但是合作建模學習方式不是單指合作，而是指在有充分獨立思考下的合作，只有進行了充分獨立的思考，才有可能思考出與眾不同的解決問題的方法，合作只是對獨立思考后的結果進行優化、補充和完善，否則就只能人云亦云.課堂中教師應給予學生充分的獨立思考時間，在此基礎上再合作建模，這符合發展思維獨創性的要求，學生才能有創新的源泉，學生思維的獨創性才會有效提升.