淺析“圓”之數學美

張媛

【摘要】在中職數學教學中，如何依據教材對學生進行數學美學教育，使學生在學習過程中發現數學的美，欣賞數學的美，探索數學的美，是當前教師正在研究的一個課題.本文結合教學實踐，對“圓”中所蘊含的數學美學展開探討.

【關鍵詞】圓;數學美

依據新課標，落實立德樹人根本任務，凝練學科核心素養，夯實中職學生文化基礎，彰顯職業教育特色，要求中等職業數學教師在教學過程中改進教學方法，注重實踐應用，提高學標、用標、貫標意識，引導學生發現數學的美，愛上大美數學.

早在古希臘時，畢達哥拉斯學派就發現和諧之美，稱一切立體圖形最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形.圓真的最美嗎？按照波利亞的合情推理，在圓所在的平面，通過圓心豎一根軸，按此軸旋轉至任何角度，都與原圖重合，就像沒有轉過一樣，則含對稱軸的任何平面都是鏡像對稱面.可見，圓是平面中完美的對稱圖形.

那么圓中都蘊含了哪些數學美呢？現從以下幾個方面進行分析.

一、簡潔美

圓的定義：到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓.定點稱為圓心，定長稱為半徑.

短短的一句話，卻包含著極其豐富的內涵，充分體現了數學概念的簡潔美：①圓離不開兩個基本元素：定點（圓心），定長（半徑），這為作圖奠定了基礎;②圓有別于以往學習的直線型圖形，它統一于另一類圖形——曲線圖形，是進一步學習的基礎.

二、數學美

通過觀察圓心在原點的圓的標準方程x2+y2=r2，我們發現其公式的對稱美、和諧美，沒有其他多余的量，是多么簡單、整潔.它的周長和半徑之間有著異常簡潔的關系：C=2πr，一個傳奇的數π把圓的周長C和半徑r緊緊相連，反映了兩者之間有著異常和諧的關系，這是數學家的智慧與大自然靈氣撞擊而再生的哲理美，難怪人們用“圓滿”比喻十全十美.

三、外在美

圓是大家非常熟悉的一個圖形，它完美絕倫，深受人們的喜愛.錢鐘書曾說，“竊嘗謂形之渾簡完備，無過于圓”.其渾圓，完美，自然天成;其圓熟，速成，出神入化;其圓活，流轉，生機靈動，可見其完美.

圍繞新課標的實施，教師可以在教學過程中合理使用Geogebra軟件，畫出圓心在原點、半徑為r的圓的圖像（如下圖），通過觀察圖像可發現圓具有旋轉不變性，即繞圓心旋轉任意角度都能與原來圖形重合.圓的外在美使人感到舒適、圓潤與和諧.

四、數學思想美

1.運動、變化思想

圓中體現運動、變化思想的素材十分豐富，如上圖，通過創建滑動條r這個變量，通過拖動使r的大小進行變動，從而圓的大小也在變動，這可以增強學生的視感，也可以加深學生對同心圓的理解，激發其學習興趣.

同時，由圓的定義看圓的形成過程，運動、變化都十分自然;從x2+y2=r2這個方程看，在-r≤x≤r的范圍內，x變化，y也相應變化;同樣，在-r≤y≤r的范圍內，y變化，x也相應變化;從數量關系看，數值大小在變化，而從圖形的特征來分析，點的位置也在變化.

2.數形結合思想

華羅庚曾說過，“數缺形時少直覺，形少數時難入微”.在某些問題中，可以通過數和形之間的對應關系和互相轉化來解決，使抽象的數學問題直觀化，使復雜的問題簡單化.

例1 已知集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=9-x2}，若M∩N≠，求b的取值范圍.

分析 由于本題所給圓不是整圓，而僅是圓的一部分，所以應用數形結合思想處理.

3.轉化思想

在研究和解決有關圓的數學問題時，可通過觀察、分析、判斷將問題化歸為圓的方程問題，利用方程的性質，實現互相轉化，達到解決問題的目的.一般地，總是將復雜的問題轉化為簡單的問題，將難解決的問題通過變換轉化為容易解決的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.

例2 求圓（x-2）2+（y+3）2=4上的點到直線x-y+2=0的最小、最大距離.

分析 由于圓是一個對稱圖形，依其對稱性，圓上的點到直線的最小（大）距離為圓心到直線的距離減去（加上）半徑.涉及與圓有關的距離問題，大部分可轉化為圓心到直線的距離問題.

五、文化內涵美

《說文解字》說：圓，全也.《呂覽審時》說：圓乃豐滿也.《康熙字典》說：圓即圓滿、周全、完備等之意.天圓地方是中國的傳統思想，古人有“圓而神，方以智”之說，可見圓之于古人，不但成為圖騰崇拜的象征，也賦予方圓思辨的哲學意象.方的極限是圓，當圓的內接正多邊形邊數趨向于無窮大時，正多邊形的周長就逼近于圓的周長.祖沖之就是按此思想計算圓周率的.

六、圓周率π之愛國情操美

南北朝的時候，祖沖之為了計算圓周率，他在自己書房的地面畫了一個直徑1丈的大圓，從這個圓的內接正六邊形一直作到24576邊形，然后一個一個算出這些多邊形的周長.那時候的數學計算，不是用現在的阿拉伯數字，而是用竹片作的籌碼計算.他夜以繼日，成年累月，終于算出了圓的內接正24576邊形的周長等于3丈1尺4寸1分5厘9毫2絲6忽，還有余.因而得出圓周率π的值就在3.1415926與3.1415927之間，準確到小數點后7位，創造了當時世界上的最高水平.據《隋書》記載：密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五.祖沖之“更開密法”求出的圓周率近似值的精確度，過了一千多年才被西方數學家超越.

七、應用廣泛美

可以由圓引申到圓與直線的位置關系，圓與圓的位置關系，以及圓的一般方程中各個系數之間的代數關系.學好圓，對于學習平面幾何是至關重要的.利用圓中的數學美，可促進學生知識結構的優化.通過數學規律的整理，可以體現教材的內在聯系，從而更好地體會知識結構，并優化之.

如借圓的對稱美，引導學生總結與對稱有關的定理和圖形，從而引發學生對學過的平面幾何定理和圖形的再認識;利用圖中的“不變量”，引發對解題規律的總結，優化解題思路.如，相對于圓中的弦，直徑是一個不變量;相對于圓外一點，向圓所做的切割線，切線是不變量等.

總而言之，圓是美的，數學是美的.而中職數學教師要通過各種方法引導學生體會到數學之美，因為“數學教師的數學觀念、數學知識結構、對數學思想方法的理解、對數學人文精神的領會都會在數學課堂上體現出來，影響學生對數學的認識和把數學應用到他們的生活實際當中.”

因此，在教學過程中，教師應加強與現代化信息技術的有機整合，強化工具的使用，促進課程的優化，體現職教特色，使數學服務于專業課，讓學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界，全面落實“立德樹人”，為國家培育具有社會主義核心價值觀的優秀建設者和接班人.

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