核心素養導向的探究性教學實踐與反思
——以中職數學《直線與平面所成的角》為例

福建省廈門信息學校 許葆藝

探究性教學是指在教師的組織、引導下，學生圍繞著教師設置的問題情境，以自主探究或合作交流的方式主動地感受問題、發現問題，自主地運用已有知識和經驗尋找解決問題的方法的一種教學模式。在探究式教學的設計和實施中，要堅持以數學核心素養發展為導向，提出有引導力的問題，為學生開辟思考的空間，開展有啟發性的活動，讓課堂充滿探索的力量，形成以知識技能為明線，思想方法為暗線，明暗結合的探究性課堂，落實數學核心素養的目標。

下面以中等職業教育國家規劃新教材《數學（基礎模塊）》中“直線與平面所成的角（后簡稱‘線面角’）”的教學為例，闡述筆者在中等職業學校建筑專業班級的教學實踐與反思。

一、專業助力，感受新知

問題1：在建筑專業中，如何確定柱子與地面是否垂直呢？

問題2：世界各地有很多傾斜的建筑，例如，意大利的比薩斜塔、中國的虎丘寶塔、阿聯酋的首都之門等。這些建筑的中軸線與地面都不是“垂直”的關系，那如何能知道中軸線與地面的傾斜程度呢？

設計說明：直線與平面的位置關系包含了平行與垂直的判定以及線面角的求解，是中職數學《立體幾何》中的重要內容，是培養學生空間想象能力的重要載體。相較于平行與垂直的判定，線面角的求解更為復雜，學習難度也更大。結合授課班級學生的專業，設置了兩個問題，引導學生從熟悉的專業情境入手，關注建筑中的“線面角”問題，展開數學化的思考，同時引出“線面角”學習的現實背景與需求，從中確定“線面角”的學習主題。

二、動手操作，生成新知

問題3：在求解“空間兩條直線所成的角（后簡稱‘線線角’）”中，我們通過作平行線進行“降維”，最終轉化為求“兩條相交直線的夾角”來完成。那么研究“斜線與平面所成的角”，又該如何“降維”呢？

活動1：根據教材中“直線l 與平面α 所成的角”的概念，嘗試在GeoGebra 軟件的3D 繪圖區進行繪制與度量，同學之間互相驗證。

設計說明：通過回顧“線線角”的求解方式，突出“降維”思想的重要性，引導學生更多地關注“斜線與平面所成的角”的降維過程，揭示知識間的聯系，意在培養學生的學習遷移能力。結合中職學生動手能力較強的特點，設計活動1—根據教材中的文字概念，利用軟件自行繪制“線面角”，展開核心知識的學習。以學生的實踐操作替代教師的語言講解，形象直觀地呈現知識目標，化文字為圖形，化靜態為動態，化抽象為形象。借助軟件繪圖、翻轉、度量等一系列動作，學生收獲的是一個立體的、鮮活的概念，有助于在頭腦中形成文字概念和圖形概念的有效連接，并為后續的探究活動提供基礎與平臺。

三、性質論證，鞏固新知

問題4：為什么把“斜線l 與它在平面α 內的射影的夾角叫作直線l 與平面α 所成的角”呢？相比于直線l 與平面α 內其他直線所成的角，又有什么特質呢？

活動2：回到活動1 界面，每位同學在平面內任意繪制直線，度量直線與直線所成的角，將活動1 和活動2 的數據進行比較。

問題5：通過活動2，大家都有這樣的疑惑：“直線l 與平面α所成的角”在“直線與平面內所有直線所成的角”中是最小的嗎？想辦法論證你們的猜想。

活動3：回到活動2 的軟件界面，開展小組協作，設計方案，驗證猜想。

設計說明：把握知識的本質，創設相應的教學情境，讓學生發現并解決問題，激發學生主動學習的興趣是基于數學核心素養探究活動的設計原則。在教材的基礎上，增加對“線面角”特征的探究，進一步鞏固學生對知識和圖像的理解。綜合考慮中職學生的學情，制訂了“基于GeoGebra 軟件的不完全歸納”的方案：以學生個體為單位，進行“簡單枚舉推理”——活動2；在此基礎上，以學生小組為單位，進行“科學歸納推理”——活動3。探究活動以軟件為載體，降低參與的門檻，同時兼具個人與團體活動，營造人人可參與、人人都參與，逐步形成人人愛參與的良性氛圍。

建筑專業的學生普遍具備使用軟件制圖的能力，均能完成圖像的繪制與度量。在此過程中，學生提出“線面角是斜線與平面中所有直線所成角中最小的角”的猜想。結合建筑實例和生活場景，逐步抽象出研究的幾何模型（圖1），同時積累了從具體到抽象的活動經驗，逐步養成一般性思考問題的習慣。

圖1

在GeoGebra 軟件中，學生通過手動或動畫功能，模擬平面內不同走向的直線，再利用表格自動記錄“斜線與平面內不同走向的直線所成的角”的數值。面對得到的眾多數據，學生各顯神通，有的小組對數據進行排序、分析，有的小組將數據轉換成折線圖（如圖2），直觀明了，驗證了自己的猜想。從建立的模型中獲取數據，運用圖表等手段對數據進行整理、分析和推斷，形成正確的認知。

圖2

四、例題講練，應用新知

例1：如圖3 所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，高DD1=4 cm，底面是邊長為3 cm 的正方形，求對角線D1B 與底面ABCD 所成角的正切值。

圖3

設計意圖：通過解題，使學生識圖的能力得到鍛煉，知識應用能力得到提升。由于學生初次接觸線面角的概念和圖形，對此類題型的圖形特點和解題步驟并不熟練，于是筆者選用最基本的模型——長方體，充分利用信息技術進行圖形的旋轉、隱藏，幫助學生學會思考的方法，逐步培養空間想象的能力。師生一起剖析例題：長方體的側棱DD1是垂線，底面的對角線DB 是D1B 在底面的射影，∠DBD1是對角線D1B 與底面ABCD 所成的角，它們同在直角三角形DBD1中。例1 的逐步引導，為學生掌握知識和技能奠定了基礎，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力，強化數學核心素養。在此基礎上，歸納提煉求解“線面角”的步驟：作垂線—找射影—確定角，滲透“做中學”的理念。

例2：如圖4 所示，等腰三角形ABC 的頂點A 在平面α 外，底邊BC 在平面α 內，已知底邊長BC=16，腰長AB=17，又知點A 到平面α 的垂線段AD=10。求：

（1）等腰三角形ABC 的高AE 的長；

（2）斜線AE 和平面α 所成的角的正弦值；

（3）斜線AC 和平面α 所成的角的正弦值。

圖4

設計意圖：通過例1 的學習，學生的識圖能力、分析能力、解題規范等均有所提高，對此，在鞏固線面角應用的同時，對其進行拓展，有意讓學生自己動手畫圖，引導學生在腦中開展圖形的立體旋轉，呈現解題的最佳視角。過程側重培養學生舉一反三、方法遷移的能力，同時提高學生的邏輯推理和空間想象的能力。

五、思維梳理，提煉新知

問題6：通過本節課，同學們收獲了哪些知識和方法？有什么心得？請用“思維導圖”APP 完成梳理，并匯入本章的思維導圖中。

問題7：華裔建筑師貝聿銘設計建造的玻璃金字塔，高21 米，底寬34 米，聳立在盧浮宮庭院中央。你能運用本節課的知識推算玻璃金字塔的側棱和地面所成的角嗎？

設計意圖：借助思維導圖APP，幫助學生理清本節課的知識、方法、思想，同時做好與前序知識方法的關聯，逐步完善本章的知識體系。問題7 的設置，結合學生的專業將課堂探究活動向課外延伸，借助空間形式認識建筑與地面的位置關系，發展幾何直觀和空間想象能力，感悟事物的本質。

六、教學反思，內化經驗

本節課圍繞“線面角”這一概念，從直觀感受到實踐生成，再到性質論證、例題講練，最后到總結提煉，教學環節自然流暢，探究過程循序漸進，符合學生的認知習慣，充分體現了“以學生為主體，以教師為主導”的教學理念，使學生的數學核心素養得到進一步的提升。

1.根植教材挖掘探究內容

中等職業教育課程改革國家規劃新教材是依據相應的教學大綱和課程標準編制的，符合中等職業教育的特點和要求，是中職教師執教的依據，也是中職學生學習的依據。教材不僅是現成的數學知識，更重要的是研究數學對象、應用數學知識解決問題的過程和方法。立足教材，深入挖掘，帶領學生對教材中的知識原理進行探究拓展，對教材中的典型例題開展變式研究，有利于學生數學核心素養的發展。

2.把握學情選擇探究模式

學情分析是進行良好教學的前提，是教學活動的出發點和落腳點。了解中職學生的心理需求，將外在的教學目標轉換為學生的學習目標，變“要我學”為“我要學”。分析中職學生的認知風格，根據學生的認知差異制訂教學策略和探究形式，做到因材施教，真正落實學生的主體地位。正視中職學生間存在的差異，個人獨立探究與小組協作探究相結合，同時借助信息化工具，提高課堂參與度和有效性。

3.結合專業設計探究背景

結合學生的專業特色，選擇典型實例，設計相應的探究背景，把握中職數學教學與專業教學之間的內在聯系，實現兩者的有效融合。以專業助力數學知識的理解，以數學化解專業操作的原理，促進學生知識體系的建立與完善，對培養高素質技能型人才發揮著重要的作用。

核心素養導向是教育教學改革的大勢所趨，在中職數學學科開展探索性教學，使學生逐步提高數學學科核心素養，初步學會用數學眼光觀察世界、用數學思維分析世界、用數學語言表達世界。