紙條平結(jié)與正五邊形

姜伯駒

(北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100871)

1 紙條平結(jié)

西北工業(yè)大學(xué)楊智春教授發(fā)問：“我發(fā)現(xiàn)，一根長矩形紙條打個平結(jié)，得到一正五邊形,這個有證明嗎？ ”

2 構(gòu)圖

紙條平結(jié)產(chǎn)生五邊形ABCDE的構(gòu)圖如下圖.紙條的一側(cè)是折線BCABE，另一側(cè)是折線ADECD.圖中的淺細(xì)線都是(從頂點(diǎn)到邊延長線的)垂線， 并且畫出了相應(yīng)的輔助直角三形，淺細(xì)線長度都等于紙條的寬度。 我們將證明五邊形ABCDE是正五邊形.

3 正五邊形

以AB和BC為斜邊并在B處有對頂銳角的那兩個輔助直角三角形，對邊也相等(淺細(xì)邊)，所以全等.于是AB=BC.同理可知BC=CD與CD=DE.五邊形的另一條邊AE尚未知，因為它不在紙條的邊緣上.

以AE為斜邊那兩個輔助直角三角形，斜邊相同，淺細(xì)邊相等，所以全等，于是五邊形在A處與E處的外角相等，因而內(nèi)角 ∠A=∠E.同理可知∠B=∠C與∠C=∠D.∠A與∠B是否相等尚未知，也是因為AE不在紙條的邊緣上.

再比較以AB和AE為斜邊的兩個輔助直角三形，有一對銳角相等(分別是A處與B處的外角)， 對邊也相等(淺細(xì)邊)，所以全等. 因而AB=AE.五條邊也全部相等了.

由此可見， 五邊形ABCDE是正五邊形！