從古希臘幾何難題引出的數學問題*

汪曉勤

(華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

隨著HPM視角下的數學教學實踐的不斷開展和教學案例的不斷開發，越來越多的數學教師開始關注HPM，并希望通過HPM來改善自己的課堂教學.要在課堂中運用數學史，教師需要處理數學(M)、歷史(H)和教育(P)兩兩之間的關系，然而，這并非易事.教師所遇到的障礙主要有：

? 歷史資源匱乏.對于沒有受過數學史專業訓練的大多數教師而言，史料的獲取并非易事，史料的真偽也無法判斷.俗話說得好：“巧婦難為無米之炊”，一個教師即使很認同HPM的教學理念，如果沒有合適的素材，HPM視角下的數學教學就是一句空話.所以，筆者在一些論著中多次強調教育取向的歷史研究的重要性[1][2].

? 運用方式單一.課堂上運用數學史的方式有附加式、復制式、順應式和重構式四種，而有些教師往往誤以為講一個數學家的故事或者用一道古代數學問題，就是HPM的全部了.實際上，講故事屬于附加式，運用古代數學問題屬于復制式.如果教師僅僅是講了點故事，他的課還不能稱為“HPM的視角”；而“原汁原味”的數學史材料往往并不適合于課堂教學，需要教師對其進行裁剪、加工、改編、拓展，即采用順應式.

另一方面，根據數學史料編制而成的高考題，引發了人們對“基于數學史的問題提出”這一課題的濃厚興趣.筆者在文[3]中將“基于數學史的問題提出”策略分成了復制式、情境式、條件式、目標式、對稱式、鏈接式和自由式七類，并對每一類方式作了界定.除了復制式外，其他六類策略都屬于順應式.可以說，根據數學史料編制數學問題，是一線教師學習和掌握順應式的主要途徑.

鑒于此，本文從古希臘數學家解決三等分角和倍立方問題的若干方法出發，運用“基于數學史料的問題提出”的策略，編制一系列數學問題，以期為HPM視角下的高中數學教學以及教育取向的數學史研究提供參考.

2 從梅內克繆斯螺線中產生的問題

眾所周知，化圓為方、三等分角和倍立方是古希臘三大幾何難題.盡管尺規作圖的嘗試都以失敗而告終，但古希臘數學家找到了其他各種各樣的方法，深刻地影響了幾何學的發展.公元前5世紀，希波克拉底(Hipporates, 471B.C.? - 410 B. C.?)將倍立方問題(作一個立方體使其體積等于已知立方體的兩倍)歸結為求兩條已知線段的比例中項問題：已知長為a的線段，要求長為x和y的線段，使得

a∶x=x∶y=y∶2a，

這個轉化為后來的數學家指明了方向.為了解決兩個比例中項問題，公元前4世紀，柏拉圖學派數學家梅內克繆斯(Menaechmus, 380B.C.-320 B.C.)發現了三種圓錐曲線，從而開辟了數學的新天地，具有劃時代的意義.

圖1 利用拋物線和雙曲線交點來解倍立方問題

圖2 利用兩條拋物線交點來解倍立方問題

以上述史料為素材，我們可以設計以下問題串.

如圖3所示，P為拋物線x2=y和y2=2x的異于原點的交點.過P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A1和A2.聯結A1A2，過A1和A2作A1A2的垂線，分別交y軸和x軸于點A0和A3.過A3作A2A3的垂線，交y軸于點A4，過A4作A3A4的垂線，交x軸于點A5，等等，我們將所得到的折線A0A1A2A3…稱為“梅內克繆斯螺線”.

圖3 梅內克繆斯螺線問題

問題1：證明(OA1)3=2(OA0)3；

問題2：證明OA0,OA1,OA3,…,OAn，…構成等比數列；

問題3：將折線A2n-2A2n-1A2nA2n+1A2n+2稱為梅內克繆斯螺線的第n圈，記第n圈的長度為Cn，求數列{Cn}的前n項之和；

問題4：記第n圈與y軸所圍成的封閉圖形的面積為Sn，試證明數列{Sn}為等比數列，并寫出其通項;

圖4 基于倍立方問題的拋物線問題

此外，當拋物線上的點(均在第一象限)的縱坐標構成公比為r的等比數列時，拋物線內部長方形和相應的外部長方形的面積之比為1+r.事實上，若(xi,yi)(yi>0(i=1,2,3) 是拋物線y2=2px上的三點，其中y1,y2,y3構成等比數列，則有

少數美英早期解析幾何教科書就是運用上述結果來推求拋物線弓形面積的.

上述問題中，問題1是梅內克繆斯所得到的結果，故屬于復制式.問題2-5在歷史素材的基礎上，增加了條件，設置了新目標，故均屬于自由式問題.

3 從埃拉托色尼滑動框中產生的數列問題

古希臘數學家埃拉托色尼發明了一種機械工具來解決倍立方問題[4].如圖5，AU和BV是兩條平行線，與垂線段AB構成了一個固定的長框.直角三角形AME、MNF和NPG的直角邊AM、MN和NP可以沿著AU上的凹槽滑動，相應地，它們的頂點E、F和G可以沿BV上的凹槽滑動.現設R是PG的中點，保持△AME不動，分別向左滑動△NPG和△MNF，到△N′PG和△M′NF的位置，使得N′G與NF的交點S、M′F與ME的交點T與點A、R共線.于是

圖5 埃拉托色尼的倍立方機械解法

AB∶TE=AD∶TD=ED∶FD

=TE∶SF=TD∶SD=FD∶GD=SF∶RG，

因此，TE和SF是AB和RG之間的兩個比例中項，換言之，AB、TE、SF、RG構成等比數列，因AB=2RG，故SF3=2RG3.

由上可見，利用埃拉托色尼的機械工具，可以構造一系列線段，使其長度構成一個等比數列.據此，我們可以編制一系列有關等比數列的問題.圖6所示為一埃拉托色尼長框，AC1B1為一直角三角形，AB=a，AC1= 1.過點A作一條直線，交BV于T，交B1C1于A1；沿AU向右滑動Rt△AC1B1，使斜邊經過點A1，B1C1相應移到B2C2，B2C2與AT交于A2；以同樣的方式向右滑動直角三角形，依次得到交點A3，A4，…，An.

問題1：證明AB,A1B1,A2B2,…,An-1Bn-1構成等比數列.

問題2：設∠ATB=θ，用θ表示上述數列的公比.

問題3：寫出數列BB1,B1B2,B2B3,…,Bn-1Bn的通項公式.

問題4：用幾何方法求出BBn，你能據此推導出等比數列的前n項和公式嗎？

圖6 基于埃拉托色尼活動框的等比數列列問題

實際上，設數列AB,A1B1,A2B2,…,An-1Bn-1的公比為q(0

ACn∶AnCn=AC1∶A1C1，

故得

即

由此可得一般等比數列前n項和公式

又因△ABT∽△AC1A1，故得

此即

上述問題將埃拉托色尼的三個直角三角形改為一個，將兩個直角三角形的滑動改為一個直角三角形的任意多次滑動，將兩個比例中項的構造改為含任意多項等比數列的構造，既改變了條件，也改變了目標，故均屬于自由式問題.

4 斜向問題中的三角學內涵

公元3世紀末4世紀初，古希臘數學家帕普斯(Pappus)將三等分角問題轉化成所謂的“斜向問題”[4]：如圖7所示，∠AOB是待三等分的銳角，在OB上取點B，過B作OB的垂線，交OA于點A，設OA= 1.作矩形COBA，在CA的延長線與AB之間插入長度為2(即OA的兩倍)的線段DE，點D在CA延長線上，點E在AB上，并且DE的延長線經過∠AOB的頂點O.易證：OD是∠AOB的三等分線.事實上，取DE的中點F，聯結AF，則OA=AF=FD，故∠AOF= ∠AFO= 2∠D= 2∠EOB.

圖7 帕普斯的斜向問題

我們可以從“斜向問題”中挖掘出豐富的三角學內涵，并編制一系列問題.設∠EOB=α，則∠AOB= 3α，∠AOE= 2α.作AG上ED，垂足為G.

問題1：用α的三角函數來表示AE、AD、AG、EG和GD.在銳角情形中，你能得到哪些三角公式？

在Rt△AED中，AE=2sinα，AD=2cosα，AG=2sinαcosα，EG=2sin2α，GD=2cos2α.但在Rt△AOG中，AG=sin2α；Rt△AGF中，GF=cos2α=EF-EG=GD-FD，故得二倍角公式

sin2α=2sinαcosα，

cos2α=1-2sin2α，

cos2α=2cos2α-1.

問題2：用2α的三角函數來表示OE和OD.在銳角情形中，你能得到哪些三角公式？

在△AOD中，OD=OF+FD=2cos2α+1，OE=OF-EF=2cos2α-1.在Rt△DCO和Rt△OBE中，OC=sin3α，OB=cos3α，故得

sin3α=(2cos2α+1)sinα，

cos3α=(2cos2α-1)cosα.

問題3：如圖8所示，在DE上取點H，使得OH=OA=1，易知EG=GH，OE=HF.證明DH=OF，并據此寫出一個相應的三角公式.

因DH=DG-GH=DG-GE，故有

2cos2α-2sin2α=2cos2α.

圖8 斜向問題的進一步拓展

問題4：如圖8所示，過D作OB延長線的垂線，垂足為S.過H、G、E作DS的垂線，垂足分別為P、Q和R.又過H和F作BS的垂線，垂足分別為M和T，HM與ER交于點N.根據AB、AE和HM之間的關系以及HP、GQ和ER之間的關系，分別寫一個三角公式.

事實上，由AB=AE+EB=AE+MN=AE+HM-HN可得

sin3α=2sinα+sinα-(4sin2α)sinα=3sinα-4sin3α.

又由HP+ER=OT+ER=OB+BT+ER=2GR可得

cos3α+cosα+2cosα=2(2cos2α)cosα，

即

cos3α=4cos3α-3cosα.

問題5：類比“斜向問題”，設計一個五等分角的方案.

如圖9所示，以OA為第一個等腰三角形的腰，依次構造四個等腰三角形，使得第一個和第三個三角形的底邊所在直線與CA的延長線交于第四個三角形的一個頂點.類似于三等分角的情形，可以得出若干三角公式.

問題1-4以帕普斯的“斜向問題”為出發點，提出全新的目標，且對條件進行特殊化處理，將OA設為單位線段，故屬于自由式問題，而問題5是一道開放題，也屬于自由式.

圖9 一種五等分角的方案

5 基于三等分角的雙曲線問題

問題1：證明CA=CB.

問題2：以C為圓心、CB為半徑的圓交雙曲線右半支于D，試證明∠ACD=2∠DCB.

問題3：當圓C的面積最小時，求點C的坐標以及直線CD的方程.

問題4：當CD經過點A時，求點C的坐標以及CD的方程.

問題6：是否存在一點C，使得CD與雙曲線的一條漸近線垂直？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由.

問題7：已知△DAB的底邊AB= 3，∠DBA=2∠DAB，求頂點A的軌跡.

圖10 帕普斯的三等分角方法

6 結語

以上我們看到，根據古希臘數學家解決“三等分角問題”和“倍立方問題”的方法所編制的一系列數學問題大多屬于自由式問題.翻開歷史的畫卷，與今日數學課程中特定內容相關的文獻浩如煙海；但我們應該清醒地認識到，每一則歷史材料都有其特定的背景和目標，它們很少能天然地服務于今日的課堂教學，這就是為什么我們需要頻繁運用自由式的原因.

另一方面，當我們以教學為目的去看數學史文獻、并通過順應式將其轉化為教學素材時，一個逝去時代所留下的原本冷冰冰的語言文字和思想方法就煥發出勃勃的生機.教育取向的數學史研究的功能就是賦予歷史以生命力，并為今日數學課堂注入新的生命力創造良好的條件.