學科融合：數學建模活動資源開發的一個視角①
——以“種群數量變化研究”為例

馬 萍 王 堯 頓繼安

(1.北京市海淀區教師進修學校 100195；2.中國人民大學附屬中學分校 100086；3.北京教育學院 100044)

“數學建模”作為高中數學課程標準確定的六大核心素養之一，旨在推動學生關注現實世界中的真實問題，這樣的問題發現與提出、分析與解決，既需要學生能夠應用數學知識與數學思想方法，還需要學生能夠關心自然與社會，是培養學生實踐能力、創新精神、社會責任感的重要途徑.

然而，教學實踐中關于數學建模素養的培養效果并不盡如人意，有研究發現，當前學生數學建模素養在六個數學核心素養中的平均分得分最低[1]，說明數學教學在培養學生數學建模素養方面需要做出更多的努力.

但數學建模在教學實踐中給教師帶來了諸多挑戰和困難.我們對北京市海淀區的69位高中數學骨干教師的調研發現，數學建模教學在實際教學會遇到不同類型的困難，其中，排在前兩位的困難分別是“不知如何開發數學建模的活動案例”(82%)和“數學建模的教學設計及實施缺少指導”(69%).由此可以看出，教師亟需獲得好的數學建模活動資源，或者獲得開發數學建模活動資源過程的示范.

本文將以第六屆中國未來學校大會“數學建模”教學設計獲得第一名“種群數量變化研究”數學建模課例的開發過程為例，探討如何從學科融合的視角進行數學建模活動資源的開發，以及如何將所開發的資源用于教學.

1 “種群數量變化研究”數學建模活動的選題背景

1.1 生物知識背景分析

“種群的數量變化研究”是高中生物選擇性必修二《生物與環境》第一章“種群及其動態”的第2節內容.2017版的生物課程標準中，對本節的描述是“嘗試建立數學模型解釋種群的數量變動”.為達到此目標，給出了“探究培養液中酵母種群數量動態變化”的建議活動.生物課程標準中對本節內容的描述體現了對學生“模型與建模”的科學思維以及科學探究的生物學核心素養的培養與提升.

在第1節“種群的數量特征”中，學生學習了種群的特征，知道出生率和死亡率是種群數量動態變化的決定因素.但并不知道種群是如何增長的，也沒有意識到種群增長的相關知識可以用于指導生產實踐.學生需要在生物課上在教師帶領下進行酵母菌種群數培養相關實驗，并記錄實驗數據，這是一個非常自然的數據和項目來源.對于這些自然現象的本質的深刻理解，可以借助數學模型的視角來分析.

1.2 數學知識背景分析

本節課內容需要學生具備基本初等函數(指數、對數函數)的相關知識，也需要簡單微分方程的內容，因此適合在高二基本初等函數和導數章節后開展學習.部分內容需要涉及最小二乘法的初步原理知識，雖然學生并未系統接觸，也可以簡要介紹原理.在參數擬合環節，可以借助相關軟件進行計算.

表1 預備知識、學習模塊與學習目標拆解

在以往的數學探究活動中，學生已體驗過數學建模的過程，但是對于構建數學建模及對數學建模思想的認識還是不夠清楚的，尤其是對于建立數學模型來分析生物學問題的方式方法并未接觸過.通過本節學習，讓學生經歷數學建模的過程，學會用數學思維分析世界，發展數學建模和數據分析素養.

2 “種群數量變化研究”數學建模教學過程

2.1 明確課題

生物實驗研究中，培養液中酵母種群數量動態變化的規律與實驗設計方式有關.酵母種群的培養方法，常見的有兩種：一是原瓶培養，即酵母菌始終在一個培養瓶內進行培養，中間不更換培養液，隨著酵母菌的增長，培養空間和營養物質有限；二是擴瓶培養，即將一個培養瓶內的酵母菌定時接種到多個培養瓶內進行培養，培養空間和營養物質始終充足.這兩種不同的實驗設計會呈現出不同的數據變化規律，本次數學建模活動則將學生按照實驗設計分為兩組，一組進行擴瓶實驗研究，另一組開展原瓶實驗研究.通過每個小組和組間交流，確定的研究問題是：兩種實驗下菌群增長模型分別是什么？到底為什么兩種實驗條件得到的數學模型會有差異？哪個模型與真實世界中的種群增長規律更吻合？

2.2 分組研究

兩個小組分別按照數學建模的基本過程(明確問題—開展實驗—收集與整理數據—描述與分析數據—建立數學模型—給出解釋)開展研究.

2.2.1 擴瓶實驗下酵母菌增長模型的建立

(1)實驗數據的獲得與分析

擴瓶實驗模擬的是為酵母菌的繁殖提供理想的條件，即有足夠的生存和繁殖資源與空間，學生通過實驗過程，獲得數據整理為表2.

表2 種群培養實驗擴瓶培養的觀察數據記錄

將數據描點得散點圖1，可以看出曲線大致符合指數函數的增長趨勢，呈現“J”形曲線的規律，大致符合指數函數的增長規律，利用函數擬合法得到數學模型.

圖1 擴瓶實驗數據散點圖

(2)理論推演法建立數學模型

理論推演法需要首先建立假設：在有足夠的生存和繁殖資源與空間，在溫度、資源充足的情況下，種群可以自由生長，增長率為常數，記為λ.酵母菌初始數量N0=2450，

根據假設，任意給定時間Δt，由種群的增長率的概念得：

所以lnNt+C1=λt+C2?lnNt=λt+C2-C1，

令C0=C2-C1，所以lnNt=λt+C0，

所以Nt=eλt+C0，又因為當t=0時，

N0=eC0=2450，所以Nt=2450·eλt.

利用擬合軟件擬合后可以發現，擬合后的指數型效果明顯，誤差很小，增長率λ≈0.77.

(3)實際意義的解釋與檢驗

實際上，自然界中種群在資源和生存空間沒有限制的情況下，其增長不受種群密度增長的影響，增長特點為指數增長模型：Nt=N0λt，曲線通常會大致呈“J”形，這種類型的增長稱為“J”形增長，這種增長趨勢反映了生物增殖的潛能，是達爾文提出的生物都有過度繁殖傾向的規律的數學解釋.比如，按照這個模型規律，酵母菌在條件適宜時可2小時增殖一次，10—11天后將與地球同等質量.

2.2.2 原瓶實驗下酵母菌增長模型的建立

(1)實驗數據的獲得與分析

原瓶實驗的數學模型的建立過程與擴瓶實驗類似.根據酵母菌種群培養實驗原瓶培養的數據如表3所示，繪制散點圖如圖2所示.

表3 酵母菌種群培養實驗原瓶培養的數據

(2)理論推演法建立數學模型

散點圖顯示的規律不同于擴瓶實驗的“J”形增長，而是“S”形增長.出現這種變化的原因是種群在資源有限環境中的數量增長不是無限的，當種群在一個資源有限的空間中增長時，隨著種群密度的上升，對有限空間資源和其他生存必需條件的種內競爭也將加強，必然影響到種群的出生率和存活率，從而降低了種群的實際增長率，直至種群停止增長，甚至使種群數量下降.

圖2 原瓶培養數據的散點圖

為了建立“S”形增長曲線的數學模型，首先提出假設：

資源的條件導致種群的增長率是變化的，假設環境容納總量為K，變化率λt與種群還可以繼續利用的空間(即剩余空間)成正比.

根據模型的假設，任意給定時間Δt，由種群增長率概念可得：

所以lnNt-ln(K-Nt)+C1=λt+C2，

這種種群增長模型稱為邏輯斯諦增長，由于曲線“S”形又叫邏輯斯諦增長，是種群在資源有限環境下連續增長的一種最簡單的形式，又稱阻滯增長.

(3)實際意義的解釋與檢驗

種群在有限資源環境中的S形增長曲線有一個上漸近線，即S形增長曲線逐漸接近于某一特定的最大值，但不會超過這個最大值的水平，此值即為種群生存的最大環境容納量K，當種群大小到達K值時，將不再增長，影響K值的因素是溫度、空間、資源、天敵等.

對有限空間資源和其他生活必需條件的種內競爭也將加強，必然影響到種群的出生率和存活率，從而降低了種群的實際增長率，直至種群停止增長，甚至使種群數量下降.

2.2.3 兩種數學模型的比較與解釋

將得到的S和J放在同一個坐標系中，如圖3所示，用斜線標記出兩條直線之間的陰影面積，分析陰影面積出現的原因及其意義可以得到結論：種群“J”形增長曲線表明生物種群具有過度繁殖潛能.“S”形增長是生物在自然界環境阻力作用下的必然結果.陰影表示環境阻力，兩條曲線數量差表示被淘汰的個體數.環境阻力減小，K值增大；環境阻力增大，K值減小.

交流中，學生探討了為什么“S”形增長是環境阻力作用下“J”形增長發展的必然結果的問題，認識到主要原因是“J”形增長表明生物種群具有過度繁殖潛能.但是，自然條件下的空間、資源是有限的，隨著種群數量增加，空間和食物資源等相對減少，種內競爭和與種間競爭加劇，天敵數量增多，這些都是阻止種群數量無限增長的環境阻力.在環境阻力下，生物的出生率下降，死亡率上升，大量個體被淘汰，一定的環境條件只能容納一定的種群數量，種群增長曲形呈“S”形. 兩者的比較通過表4呈現.

圖3 “J”形增長與S形增長曲線的比較

圖4 “J”形增長與“S”形增長模型的比較

那么參數K,r,N0的變化會帶來怎樣的影響呢？利用計算機軟件，通過參數不同的變化，我們可以發現數種群的邏輯斯諦增長是受到密度制約最為顯著的，密度越大越容易出現競爭；因此，在無法改變物種自身的數目和增長率的情況下，擴大種群的生存空間、增加食物資源、減少天敵是增加種群數目最快、最有效的措施.

學生也通過進一步查閱資料給出解釋，例如：澳大利亞昆蟲學家曾對果園中薊馬種群進行長達14年的研究，發現在環境條件較好的年份，它們的種群數量增長迅速，表現出季節性“J”形增長.在有限的環境中，如果種群的初始密度很低，種群數量可能會出現迅速增長，隨著種群密度的增減，種內競爭就會加劇，因此種群數量增加到一定程度就會停止增長，這就是“S”形增長.例如，柵列藻、小球藻等藻類的種群增長，常常具有“S”形增長特點.

3 學習評價

數學建模過程中，如何評價學生的數學建模水平是一個很重要的內容，依據2017版高中數學課程標準給出的數學建模素養評價量表設計了針對本次學科融合的數學建模活動水平評價量表，如表5所示.

量表的設計考慮了三個方面的內容:一是學生科學思維和實驗探究能力,這是生物學科核心素養的內容，借助學生在教學過程中的表現評價；二是在種群增長的實踐應用環節，通過學生的回答等表現來評價學生解決生產生活問題的擔當和能力，以及學生對知識內容的掌握情況；三是可以通過適當的課后習題作業來評價學生學習效果.

表5 數學建模水平的評價量表

4 結束語

數學建模活動資源的開發是數學建模獲得能夠落實的基礎條件，本案例中，我們從其他學科中找素材，做了一次學科融合的嘗試，讓學生體會到數學在科學研究中的真實作用.

數學建模在中學落地生根與枝繁葉茂，不是一蹴而就的，還需要通過實踐去解答、去檢驗．唯有不斷思考、不斷實踐、不斷交流，形成一大批適用于中學數學的建模案例和與之相適應的教學方法，建立健全各級各類數學建模素養的培養和評價體系，數學建模才能真正在課堂落地生根.