看形找數(shù) 以數(shù)解形
——談平面解析幾何試題解題策略

許秀亮

(福州二中 350001)

平面解析幾何研究的對象是平面幾何圖形的幾何性質(zhì)——位置與數(shù)量關(guān)系，其研究方法是坐標法，即通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學思想、函數(shù)與方程的思想.

在解決解析幾何問題時,學生的痛點有：在“看形找數(shù)”過程中，如何合理作圖，如何根據(jù)問題有效識圖，解決問題該如何設(shè)元,需要找?guī)讉€方程，如何建立方程;在“以數(shù)解形”過程中，如何根據(jù)問題，分析運算條件、探究運算方向、設(shè)計運算途徑、確定運算程序，以及在實施運算過程中遇到挫折時如何調(diào)整運算.本文以近兩年高考全國Ⅰ卷試題為例子，根據(jù)求解問題所涉及的未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)及相應(yīng)圖形的位置與數(shù)量關(guān)系，從靜態(tài)視角與動態(tài)視角兩個角度談?wù)劷忸}過程中的一些解題策略，以幫助學生解決上述問題.

1 靜態(tài)視角下問題

案例一(2020年新課標全國Ⅰ卷理科第15題)

分析明確求解“離心率”的解題思路——建立雙曲線方程中系數(shù)a,b及半焦距c的一個方程或兩個方程.

圖一

思路1分析題意可設(shè)點B(x0,y0)，此時本題涉及的未知數(shù)有x0,y0及a,b,c，目標是消去未知數(shù)x0,y0，建立a,b,c的一個或兩個方程；消去未知數(shù)x0,y0需要兩個方程，所以至少需要找到x0,y0，a,b,c的三個方程；那么，如何找這三個方程呢？明確從幾何圖形已知的位置與數(shù)量關(guān)系中尋找，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生關(guān)注幾何圖形的位置與數(shù)量關(guān)系(1)點B在C上；(2)BF垂直于x軸；(3)直線AB的斜率為3.

解法1設(shè)點B(x0,y0)(y0>0)，

由BF垂直于x軸可得方程x0=c；(2)

然后代入方程(3)得到a,b,c的方程

從而得e=2.

在把點B的橫縱坐標x0,y0用a,b,c表示的過程中，從方程(1)(2)(3)中任選兩個方程都可以，解法1選擇(1)(2)的原因主要是考慮計算量問題.在這過程中，滲透了化歸思想.

思路2設(shè)C的左焦點為F1，|BF1|=m,|BF|=n，此時本題涉及的未知數(shù)有m,n及a,b,c，目標是消去未知數(shù)m,n，建立a,b,c的一個或兩個方程；消去未知數(shù)m,n需要兩個方程，所以至少需要找到m,n，a,b,c的三個方程；依然引導(dǎo)學生關(guān)注幾何圖形已知的位置與數(shù)量關(guān)系(1)點B在C上；(2)BF垂直于x軸；(3)直線AB的斜率為3.

解法2設(shè)C的左焦點為F1，|BF1|=m,|BF|=n，由已知可得點B在C的右支上，

可得方程m-n=2a;(1)

由BF垂直于x軸,

可得方程m2-n2=4c2;(2)

由直線AB的斜率為3,

由(1)(3)可得m=3c-a,n=3c-3a，

代入(2)得c2-3ac+2a2=0，

所以e2-3e+2=0，得e=2或e=1，

因為e>1，所以e=2.

點評在解題時，針對“點B在C上”這一已知位置關(guān)系，可以選擇不同的表征(設(shè)元)，對于相同的幾何圖形的位置和數(shù)量關(guān)系，會有不同的代數(shù)表征——方程，但兩種思路在解題策略上的共同點——明確解題的關(guān)注點“未知數(shù)的個數(shù)與方程個數(shù)”，抓住解題的關(guān)鍵點“幾何問題代數(shù)化”,即先關(guān)注要解決問題需要幾個未知數(shù)與幾個方程，在此基礎(chǔ)上，抓住條件中幾何圖形的位置與數(shù)量關(guān)系，看“形”找到“數(shù)”，真正達到了數(shù)形結(jié)合思想.不同在平時教學中，為了讓學生真正理解這種思路，一般以微專題形式給出一組試題，學生體驗用相同的解題策略解決這組試題.

案例二(2020年新課標全國Ⅰ卷文科第11題)

圖二

由雙曲線方程可得|F1F2|=2c=4，

解法2由雙曲線的對稱性設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>n)，

由點P在C上得方程m-n=2a=2;(1)

由|OP|=|OF1|=|OF2|=2得F1P⊥F2P，

從而得方程m2+n2=4c2=16;(2)

由方程(1)(2)可得mn=6，

所以△PF1F2的面積為

所以選B.

解題策略依然是先關(guān)注所求解面積問題需涉及“兩個未知數(shù)”，再從點P在C上，|OP|=2兩個位置與數(shù)量關(guān)系中找到對應(yīng)的“兩個方程”解決問題.同樣，對“P在C上”位置關(guān)系，有不同的設(shè)元，由“|OP|=2”的數(shù)量關(guān)系也就產(chǎn)生了兩種不同的方程形式，但在同一解題策略下，殊途同歸.

2 動態(tài)視角下問題

案例三(2019年新課標全國Ⅰ卷文科第21題)

已知點A,B關(guān)于坐標原點O對稱，|AB|=4，圓M過點A,B且與直線x+2=0相切.

(Ⅰ)若A在直線x+y=0上，求圓M的半徑；

(Ⅱ)是否存在定點P，使得當A運動時，|MA|-|MP|為定值？并說明理由.

問題(Ⅰ)是靜態(tài)視角下的求值問題——求圓的半徑.

分析幾何圖形位置與數(shù)量關(guān)系、未知數(shù)與方程.

圖三

由A在直線x+y=0上，

設(shè)點A(a,-a),B(-a,a),M(x0,y0)，

因為圓M過點A,

因為|MA|=|MB|,|OA|=|OB|,

因為圓M與直線x+2=0相切,

把(1)(2)代入(3)得x0=y0=0或x0=y0=4(三個未知數(shù)，三個方程)，

所以可以確定圓M的半徑為r=2或r=6.

問題(Ⅱ)是動態(tài)視角下定值問題.

分析幾何圖形位置與數(shù)量關(guān)系、未知數(shù)與方程.

設(shè)點A(m,n),B(-m,-n),M(x,y) (涉及四個未知數(shù)),

因為|MA|=|MB|,|OA|=|OB|,

因為圓M與直線x+2=0相切且圓M過點A，

由方程(1)(2)(3)，整體消去未知數(shù)m,n得到未知數(shù)x,y的一個關(guān)系式為y2=4x，從而得到點M的軌跡方程為y2=4x，由此得到點M的軌跡是以點F(1,0)為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線，所以，當點P取到點F，即點P的坐標為P(1,0)時，根據(jù)拋物線的定義可得|MP|等于點M到直線x=-1的距離，而|MA|等于點M到直線x=-2的距離，所以|MA|-|MP|=(x+2)-(x+1)=1.

點評本題的主要變元是“點M”，首先要探究它的運動規(guī)律，因此，在設(shè)出四個未知數(shù)m,n,x,y，列出三個方程后，選定的目標是由方程(1)(2)(3)消去未知數(shù)m,n得到點M的軌跡方程為y2=4x，這個過程中，消元難度比案例一、案例二大，要求學生要根據(jù)運算的目標，合理設(shè)計消元程序，要有整體消元的數(shù)學運算思維，在此基礎(chǔ)上完成了“以數(shù)解形”，即從方程消去未知數(shù)得到點M的軌跡方程，進而確定點M的運動軌跡，再從點M的軌跡的幾何性質(zhì)，確定所求定點P的位置，得到|MA|-|MP|=1這個定值.

問題(1)與問題(2)都是先“設(shè)元”，再根據(jù)幾何圖形的位置與數(shù)量關(guān)系找到相應(yīng)的方程；問題(1)是靜態(tài)視角下問題，方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)是相同的，問題(2)是動態(tài)視角下問題，方程個數(shù)比未知數(shù)個數(shù)少了一個；這種解題策略方法也適合于圓錐曲線中的軌跡問題、最值或取值范圍問題、定點定值問題等.

案例四(2020年新課標全國Ⅰ卷理科第20題(文科第21題))

圖四

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)證明：直線CD過定點.

分析1由題意可知，直線CD的位置隨著點P位置的變化而變化.

設(shè)點P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

因為PA與E的另一個交點為C，

因為PB與E的另一個交點為D，

五個未知數(shù)t,x1,y1,x2,y2，四個方程；消去x1,y1,x2,y2，用t表示x1,y1,x2,y2，所以直線CD的位置隨著t的變化而變化.

思路1設(shè)點P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

因為PA與E的另一個交點為C，

(t2+9)x2+(6t2)x+(9t2-81)=0，

Δ=36t4-4(t2+9)(9t2-81)=36×81>0,

因為PB與E的另一個交點為D，

(t2+1)x2-(6t2)x+(9t2-9)=0,

因為Δ=36t4-4(t2+1)(9t2-9)=36>0，

所以直線CD的斜率為

所以直線CD的方程為

思路1在求直線CD的斜率與化簡直線CD方程時，要求學生必須具備一定的數(shù)學運算能力.

分析2設(shè)點P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

當t≠0時，設(shè)直線CD的方程為x=my+n(-3

因為PA與E的另一個交點為C，

因為PB與E的另一個交點為D，

七個未知數(shù)t,x1,y1,x2,y2,m,n，六個方程；利用五個方程消去t,x1,y1,x2,y2，得到m,n的一個方程；從而求得直線CD恒過的定點坐標.

思路2設(shè)點P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

當t≠0時，設(shè)直線CD的方程為x=my+n(-3

因為點C在直線PA上，點D在直線PB上，

消去t得3y1(x2-3)=y2(x1+3)，

因為點D在橢圓E上，

代入變形得到27y1y2=-(x1+3)(x2+3)，

整理可得

27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0(*)；

得(m2+9)y2+(2mn)y+(n2-9)=0，

Δ=4m2n2-4(m2+9)(n2-9)>0，

x1x2=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2

代入方程(*)得

從六個方程中選擇出三個方程整理得到關(guān)系式27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0，再聯(lián)立用韋達定理把

y1y2,x1x2,x1+x2用m,n表示，整體消去t,x1,y1,x2,y2得到m,n方程這個過程中，要求學生要具備明確的數(shù)學模型、較強的數(shù)學運算能力.

點評思路2解題過程中消元得到27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0這個環(huán)節(jié)對學生的能力要求較高.思路1與思路2從解題策略上是相同的，都是先根據(jù)題意合理設(shè)元，再根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)與求解問題的需要，從幾何圖形位置與數(shù)量關(guān)系中找到方程.案例四兩條思路的難點都是在運用代數(shù)工具解決問題時，消元整理的難度較大(涉及的未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)較多，方程本身較復(fù)雜)，要求學生具備較強的運算求解能力，思路1消元的方法是比較容易想到，但計算量較大，思路2在消元上技巧性較強，但運算量相對低一些.

解析幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是高考的主干板塊.學生的解題障礙體現(xiàn)在以下兩點：一是如何實現(xiàn)平面圖形的幾何特征轉(zhuǎn)化為與坐標有關(guān)的方程；二是能否抓住平面圖形的幾何特征的本質(zhì)簡化運算達到快速求解的目的.因此，在教學中，應(yīng)當讓學生經(jīng)歷：分析問題涉及的幾何要素、關(guān)系——用代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系——看形找數(shù)， 然后利用數(shù)學符號進行運算求解，解決代數(shù)問題，這個過程強調(diào)的是對條件的逐個使用，強調(diào)的是對條件的“翻譯”，以及運算程序的實施，解釋代數(shù)結(jié)果的幾何含義，獲得幾何結(jié)果——以數(shù)解形.在具體實施中，可以采用微專題的形式進行.