古今對照 發展學生數學公理化思想*
——以等腰三角形兩底角相等為例

胡永強 劉志峰 孫丹丹

(1.蘇州市陽山實驗初級中學校 215151；2. 深圳市福田區紅嶺中學深康校區 518000；3.華東師范大學數學科學學院 200241)

1 引言

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：數學課程能培養學生的抽象思維和推理能力. 推理包括合情推理和演繹推理，演繹推理是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)和確定的規則(包括運算的定義、法則、順序等)出發，按照邏輯推理的法則證明和計算[1]. 《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養. 邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質[2]. 上述兩份標準都將邏輯推理放在十分重要的位置，字里行間滲透著強烈的公理化理想. 公理化思想方法是數學中十分重要的思想方法，是總結和表述以往數學知識的科學方法，有力地促進和推動著新的數學理論的創立. 它不僅是數學研究的重要方法，而且是研究其他自然科學的重要方法，在人類文明的幾乎所有領域都具有十分重要的作用[3].

蘇科版七年級下冊“證明”一章設有“證明”一節，舉例說明了證明的必要性及《幾何原本》中蘊含的公理化思想，旨在嚴謹地介紹何謂數學證明，教材指出由基本事實出發，可以證明之前曾探索、發現的有關角及平行線的許多性質是正確的，之后選擇了若干有關平行線、三角形的命題進行了嚴格的證明. 在這節課的具體教學中，教師往往把重點放在了具體命題的推導上，忽視了邏輯推理過程背后的公理化思想，從而造成學生對平面幾何體系缺乏宏觀認識，對基本事實、定理和命題的關系缺乏基本的思考.

基于此，在初三一輪復習之際，筆者圍繞“等腰三角形兩底角相等”(以下簡稱“等邊對等角”)這一命題設置了一節古今對照閱讀課，引導學生閱讀教材(蘇科版)和《幾何原本》(以下簡稱《原本》)中對該命題的證法，尋找二者的不同之處，借助《原本》更“極致”的公理化體系，幫助學生更好地理解感悟公理化思想，提升學生對公理化思想的認知水平.

2 歷史素材

亞里士多德(Aristotle，公元前384～前322)就論證模式做了比較系統的闡述，主要包括兩個關鍵問題，一個是關于論證的開始，最初的概念不需要解釋，最初前提不需要論證，另一個是關于論證的過程，提出了包括“大前提、小前提、結論”三段論在內的推理形式，后來亞里士多德提出的推理形式成為了數學證明的主要方法[4].

亞里士多德學說在隨后的古希臘數學家歐幾里得(Euclid，公元前300年前后)編著的《原本》中得到了較為完美的運用和體現. 歐幾里得在《原本》中應用了公理化方法，將古代關于幾何的經驗知識條理化、系統化為一個合乎邏輯的體系[5]. 《原本》包括13卷，除了第一卷給出了5條公理和5條公設之外，其余各卷均是由定義和命題兩部分組成. 《原本》把一些不證自明的結論定義為公理與公設，就是這些不證自明的原始概念構成了演繹證明的邏輯基礎，奠定了幾何體系的基本結構. 它對人類文明的最大貢獻在于使用演繹方法構建了一個公理化體系，使得人們對數學的認識可以從經驗上升到理性，從具體上升到一般，這是人類建立的第一個能夠被稱為科學的學科體系[4].

特別地，“等邊對等角”是《原本》第一卷命題5(下文所述命題均來自第一卷)，在此之前給出5條公理、5條公設和4個命題，其中命題1是作等邊三角形、命題2是作一條線段等于已知線段、命題3是在長線段上截取短線段、命題4是兩邊及夾角相等(SAS)證明三角形全等. 對于命題5，歐幾里得給出的證法是延長兩腰，在延長線上截取兩條相等線段，構造并證明兩對全等三角形，具體證法如下[6]：

已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC.

圖1

求證：∠ABC=∠ACB.

證明：延長AB到D，延長AC到E. [公設2：一條有限直線可以繼續延長.]

在BD上任取一點F，在AE上截取AG=AF. [命題3]

連接FC、GB. [公設1：由任意一點到另外任意一點可以畫直線.]

在△ACF和△ABG中，

所以△ACF≌△ABG. [命題4]

所以∠ACF=∠ABG，∠AFC=∠AGB，FC=GB. [命題4]

因為AF=AG，AB=AC，

所以AF-AB=AG-AC. [公理3：等量減等量，其差仍相等.]

即BF=CG.

在△BCF和△CBG中，

所以△BCF≌△CBG. [命題4]

所以∠BCF=∠CBG. [命題4 ]

所以∠ABG-∠CBG=∠ACF-∠BCF. [公理3]

即∠ABC=∠ACB.

1898年希爾伯特出版的《幾何基礎》一書中系統地提出了形式公理化的方法，他還在書中提出了公理選取或設置的三條要求：第一，相容性，公理之間是無矛盾的，即不可能從公理出發，用邏輯推理的方法證明一個命題是正確，同時它的否定形式也正確；第二，獨立性，任何一條公理都不能由其他幾條公理推理而得；第三，完備性，從公理系統能夠推導出該數學分支的全部命題[7].

公理化方法不但影響了數學的發展，而且對整個人類文明帶來了深刻的影響，它孕育了一種理性思維的精神[4]. 公理化體系不僅是數學學科構建的基礎，在自然科學及社會科學中也有廣泛運用，例如，牛頓力學、愛因斯坦相對論都是從幾條基本原理演繹出來的理論體系，由托馬斯·杰斐遜執筆起草的《獨立宣言》也借鑒了公理化思想.

3 教學設計與實施

基于對教材和歷史的分析，結合學生的認知水平，筆者選定等腰三角形“等邊對等角”的性質作為載體，滲透數學公理化思想，原因有三：一、該命題證明過程主要涉及對三角形全等判定和性質的靈活運用，符合初中一輪復習階段學生最近發展區；二、該命題是《原本》由公理、公設和定義推導出的第5個命題，通過這個命題容易看出如何從事實和已證命題出發推導未知命題，從而感受公理化思想方法；三、該命題《原本》中的證法和教材證法不同，非常適合用來比較，以此觸發學生對公理化思想的探究.

本節課教學目標設定如下：1.通過分析教材及《原本》中對“等邊對等角”的證明，感受數學證明的邏輯嚴密性，發展學生的演繹推理能力；2.通過對比教材和《原本》的幾何體系，更深入地領會數學公理化思想；3.通過對教材與《原本》公理化思想的感悟，培養學生理性精神.

在實施本節課之前，我們梳理并印發了相關材料供學生預習及課上使用，材料包括三部分：1.歐幾里得和《幾何原本》的簡介；2.《幾何原本》的5條公理、5條公設；3.第一卷的相關定義、《幾何原本》命題5的證法(用現代符號語言表達)、上課可能用到的相關命題，主要包括第一卷命題9、10和12，分別對應作角平分線、作線段中點、過直線外一點做該直線的垂線，第一卷命題8和命題26，分別對應“SSS”和“ASA”“AAS”判定三角形全等.

本節課的主要設計和實施教學環節如下：

(1)古今共現說證法

問題1如何證明命題“等腰三角形兩底角相等”？

生1：先畫出圖形并將文字命題轉化為符號命題，再作頂角平分線，用“SAS”證明兩個三角形全等，從而證明命題.

生2：作底邊上的中線，用“SSS”證明兩個三角形全等，從而證明命題.

生3：作底邊上的高，用“HL”證明兩個直角三角形全等，從而證明命題.

師：同學們說的很好，這3種方法也是教材給出的證法.

【教學意圖】引導學生思考教材對命題“等腰三角形兩底角相等”的3種證明方法，為與《原本》證法對比作鋪墊.

問題2還有沒有其他證法？歐幾里得在《原本》中用什么方法來證明該命題的？

師：請同學們閱讀《原本》中的證明方法.

生4：歐幾里得是延長兩腰，在延長線上截取兩條相等的線段，兩次證明全等，得到兩組相等的角，再相減證明出結論.

(教師依照學生的具體解釋板演歐幾里得證法. )

師：同學們對歐幾里得的證法有什么看法？

生眾：歐幾里得的證法比教材的證法復雜.

師：歐幾里得選用“復雜證法”的原因是什么？

生5：難道是歐幾里得沒有想到這些簡單的方法？

師：事情可能不是那么簡單.

【教學意圖】學生通過閱讀《原本》的證法與教材證法，發現《原本》證法較為“復雜”，產生認知沖突：我們一次全等就能證明，歐幾里得為何選擇了這么“復雜”的二次全等證法？為探究公理化思想奠定基礎，激發探究動機.

(2)今昔對比析原因

問題3《原本》為何采用這種“復雜”證法？

師：請同學們思考交流一下這個問題可以從哪幾個角度分析呢？

(學生小組思考交流)

生6：推理是有前提的，我覺得可以從最基礎的地方進行分析.

師：你說的很好. 萬丈高樓平地起，幾何的大廈也是有根基的，下面我們就從《原本》和教材的“根基”開始研究. “根基”在《原本》中叫“公設”與“公理”，在教材中叫“基本事實”. 請同學們分析《原本》與教材的“根基”有何異同？

生7：它們都是一些簡單易懂的結論，它們都不用證明.

生8：都是從這幾條基本事實出發，證明其他命題.

師：很好，剛才兩位同學說出了一些相同點，它們有什么不同點？

生9：《原本》的“根基”更加基礎，教材的“根基”中有的是《原本》中的命題.

師：你說的很好. 《原本》為了追求公理體系的嚴密性以及“根基”的最簡化，選取了非常基礎的5條公設和5條公理作為推理的起點，教材考慮到同學們的認知基礎，除了選取一些基礎結論作為基本事實外，還選取了一些《原本》中的定理作為基本事實，降低了大家學習幾何的難度.

【教學意圖】引導學生從推理的起點尋找不同證法的原因. 通過對比兩種幾何體系的基本事實，讓學生對基本事實的特點有所了解，理解兩種不同幾何體系邏輯起點的差異性與一致性，初步感受公理化思想.

師：還可以從什么角度分析呢？

生10：我覺得可以從輔助線的添加方法角度分析.

師：很好. 教材證法需要添加角平分線、中線或高，這些輔助線的作圖在《原本》中處于什么位置？

生10：命題9是作角平分線，命題10是作線段中點，命題12是過直線外一點作垂線.

師：對此你有什么想法？

生10：命題之間是有先后邏輯順序的，在《原本》中“等邊對等角”是命題5，作高、中線、角平分線的方法都在命題5后面，因此歐幾里得未采用作“三線”的方法證明.

師：還可以從什么角度分析呢？

生11：可以從判定三角形全等的方法上分析.

師：說來聽聽.

生11：在《原本》中“等邊對等角”是命題5，“SAS”是命題4，“SSS”是命題8，“ASA”“AAS”是命題26，沒有找到“HL”. 因此只能用“SAS”證明全等.

師：你說的真好！現在你對《原本》命題5的證法的認識有哪些變化？

生11：我現在不認為歐幾里得沒有想到教材證法了，《原本》的基本事實非常基礎、推理步步有據、邏輯體系非常嚴密，今后我要好好閱讀《原本》.

【教學意圖】引導學生多角度分析《原本》采用“復雜”證法的理由，從“等邊對等角”推導過程所用輔助線和論據兩方面入手，發現命題證明需要建立在已有結論基礎上，步步有據，感受推理的嚴密性和公理化思想.

(3)深度剖析促理解

問題4為了使證明變簡單，可將《原本》的相關命題重新排序？

師：關于重新排序你有哪些建議？

生12：為了使用教材中作頂角平分線證法，可以將原本的命題9(二等分已知角)提到命題5之前.

師：請大家閱讀《原本》命題9，思考生12的建議是否可行？

生13：不可行. 命題9用到了命題8的結論.

師：還有其他建議嗎？

生14：可以將《原本》的命題10(作中點)和命題12(作垂線)提前到命題5之前.

師：請大家閱讀《原本》命題10和命題12，思考生14的建議是否可行？

生15：不可行. 《原本》中命題10和命題12都用到了命題5后面的結論，無法提到命題5的前面.

【教學意圖】引導學生討論是否可以調整命題順序讓證明變得簡單，感悟《原本》的邏輯嚴密、環環相扣及命題推理具有順序性，再次加深對幾何公理化思想的理解.

(4)背景介紹顯底蘊

播放微視頻，介紹《幾何原本》誕生背景、基本信息及其經久不衰的影響力.

【教學意圖】幫助學生在對比分析的基礎上，全面了解《原本》的編排特點、對數學及其他學科的影響、在我國的傳播和使用情況等，對學生進行文化熏陶.

(5)反思小結拓視野

教師組織學生回顧本課收獲、困惑等，引導學生閱讀“與眾不同”的公設5，簡單講述古人對公設5所做的研究，19世紀羅巴切夫斯基等人通過否定公設5，創立非歐幾何，被譽為“幾何學中的哥白尼”，德國數學家高斯在羅巴切夫斯基等人之前就發現了非歐幾何，但是他因擔心遭到頑固分子的攻擊，生前并未公開自己的研究成果，從而喪失了非歐幾何創始人的地位.

【教學意圖】小結本課所學內容的同時提出新的問題開拓學生視野，幫助學生感受古人持之以恒的探索精神；探究過程中的創新和突破；學術研究要大膽發表自己的見解等精神品質.

4 學生反饋

課后，結合本課的教學目標，對學生進行了問卷調查，問卷共8題.

前兩題考查學生對幾何基本事實的認識. 85%的學生認為基本事實簡單易懂，世人皆知，92%的學生認為基本事實是進行后續研究的基礎和依據.

中間四題考查學生對公理化思想的理解. 98%的學生認為只能用基本事實或已經證明的定理作為依據. 78%的學生認為基本事實是推出定理的基礎，是幾何大廈的地基. 96%的學生認為幾何學邏輯性強、嚴謹、步步有據.

最后兩題考查學生對幾何及公理化思想理解的變化. 主要體現在3個方面：一是學生對公理化的思考變得深刻，比如：“基本事實是固定不變的嗎？”、“公設和公理能否由更基礎的結論推導出來？”、“公理化有什么作用？”、“幾何證明有盡頭嗎？”；二是學生對幾何學的興趣變得濃厚，比如：“發現幾何很有意思”、“這節課使我對幾何有了更為深入的了解，有如撥開云霧見到了天日，恍然大悟，充分的感受到幾何的魅力與價值”；三是學生對數學家更加仰慕和尊敬，比如：“歐幾里得智慧過人”、“領略了前人對于幾何研究的才華與風采”、“學到了古人做學問的嚴謹態度”.

從問卷結果可以看出學生對基本事實作為幾何推理的起點已經基本理解，對邏輯推理規則的認識達到較高的水平，對幾何學的興趣有所增加，從古人身上學到了許多優秀的治學品質.

5 課例評析

5.1 數學史的運用方式

本節課中，數學史的運用方式主要有“附加式”“復制式”和“重構式”[8]. 用微視頻介紹《幾何原本》的歷史及影響等屬于附加式，將《幾何原本》命題5的證明過程改編為學生熟悉的符號語言提供給學生屬于復制式，引導學生對比分析教材和《原本》中關于“等邊對等角”這一命題的不同證法的原因及探究重新排序問題屬于重構式.

5.2 數學史的價值

學生通過對比分析教材與《原本》中“等邊對等角”的不同證法，發現教材和《原本》都是從事先給定的幾條基本事實出發，逐步演繹推理證明出新的定理，二者的公理化思想是一致的，在感悟公理化思想方法的同時體會幾何證明的“方法之美”和幾何體系的“知識之諧”.

學生對比發現對于命題“等邊對等角”《原本》證法比教材“復雜”之后，教師及時用問題引導學生探尋產生這種不同背后的原因，最后學生發現二者所選的基本事實和命題的編排順序均有所不同，隨后教師又組織學生嘗試改編《原本》中命題的編排順序，發現《原本》的編排邏輯嚴密、環環相扣、步步深入，這一過程體現了“探究之樂”.

本課加深了學生對公理化思想的理解，提升了邏輯推理素養，此外也培養了學生的閱讀能力、文獻查閱能力、分析能力等，體現了數學史在發展學生綜合素養方面的“能力之助”.

通過閱讀《幾何原本》及觀看微視頻，學生了解到《原本》從5條公設和5條公理演繹和發展出400多條定理，公設和公理是幾何發展之濫觴；公理化思想在推動自然科學及社會科學等學科發展方面發揮了重要示范作用，體現了學科聯系，這些都很充分地展示了數學史的“文化之魅”.

在本課的學習中，學生深刻感受到歐幾里得編著《幾何原本》這一巨著的辛苦和偉大，堅定了學好幾何的信念；此外，學生在閱讀分析不同證法的過程中，摒棄以自我為中心的做法，不斷與古人“對話”，學會“傾聽”古人，進而學會傾聽今人，較好地達成了“德育之效”.

6 結語

《原本》為學生學習和感悟公理化思想提供了很好的載體. 受教材編寫及學生認知水平等因素的制約，在平時課堂教學中幾何體系被分割成若干個知識點分散到不同時段學習，這使學生學到的幾何知識是零散的，大大降低了學習和體會公理化思想的效果，未能很好地發揮出幾何學對培養人的理性精神的重要價值. 筆者以初三一輪復習為契機，以“等邊對等角”這一性質的證明為載體，滲透公理化思想的同時培養學生邏輯推理素養. 從課后學生問卷結果中可以看出，學生對公理化思想較之以前有了更為清晰的認識和更為深刻的理解.

但是，仔細反思，本課還是留下一些遺憾，由于學生平時很少進行這種模式的學習，缺乏學習經驗，加之課堂時間有限，導致本節課師生之間的對話較多，生生之間的交流偏少. 公理化思想的理解是一個長期的過程，本節課只是這個過程的一個開端，還需要在后續的教學中不斷安排類似課程的學習，以逐步提高學生對公理化思想的理解及對數學理性精神的欣賞水平.