數學解題教學應從“模糊”走向“精確”*
——以“尋找導數壓軸題求解方向”為例

李金蛟

(江蘇省常州市第一中學 213003)

1 引言

高考結束時聽到考生抱怨：“老師在高三一年講了那么多例題，可對解壓軸題一點作用都沒有，我好容易想到方法了，交卷的時間又到了”,話說得雖然有點極端，但也反映了當前高中數學教學的現實：高中數學解題教學仍停留在“模糊階段”，即學生尋找解題方向主要依靠題型的模式識別和學生自己偶爾產生的“靈機一動”，教師講解例題的主要作用是幫助學生完善“題型庫”，對解決新穎的、復雜的、有思維含量的壓軸題成效甚微.筆者認為要改變當前這種低效的窘境，適應高考命題從能力立意到素養導向的變革，數學解題教學必須從“模糊”走向“精確”：在認清數學題目本質的基礎上, 借助信息加工、數學推理等手段，尋找確定數學解題方向的理由，向學生展示清晰、合理、量化的解題方向尋找過程，為他們求解題目提供具體的規范的“操作指南”，以便他們有所遵循，從而快速解題.筆者帶著這樣的設想，接受了A中學的邀請，以“尋找導數壓軸題的求解方向”為題上了一堂公開課，課后學生反饋有新意更有所獲.

2 實錄

師：同學們，在求解導數題時你們遇到的主要困難是什么？

生：導數壓軸題題型繁多，解法復雜多變，不知如何尋找方向，因而難以入手.

師：我們這節課就來研究：如何“精確”尋找導數壓軸題的求解方向.

2.1 “探”——從特殊情形“探”出結果，由結果反過來可以“精確”尋找解題方向

例1(2020年全國新高考1卷)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)略(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

師：本題表述相當簡潔，但題目越簡潔內涵越豐富.大家思考一下：題目的本質是什么？

生1：本質是對于任意正數x，不等式aex-1-lnx+lna≥1恒成立，求a的取值范圍.

生2：我認為本質是解關于a的不等式：aex-1-lnx+lna≥1，其中x是任意正數.

師：兩位同學對題目本質的表述都是正確的，但角度不一樣.我們先思考第一位同學的表述，前面我們曾經總結過恒成立問題的方法，有哪些基本方法？具體到本題你如何評價？

生：有兩種基本方法：方法一是分參法，但這里無法分離出參數a，所以此法不好采用；方法二是用導數研究函數f(x)的最小值，應該可以采用，但操作起來比較麻煩.

師：你的意思是方法一不可用，方法二不想用，那怎么辦呢？我們知道數學題目常會留下命題人給的“痕跡”，大家能否從題目中找到“痕跡”，即蘊藏了什么特殊信息，或許可以由此“猜”出結果？

生：我看到命題人留下的一個“痕跡”：不等式aex-1-lnx+lna≥1中有 “=”號，它蘊藏了特殊信息，即何時取到“=”？當x=1且a=1時取“=”號，但下面我不知如何辦了？

師：有進展，但不知怎么辦啦，我們不能忘掉“初心”：對于任意正數x，不等式aex-1-lnx+lna≥1恒成立，求a的取值范圍.大家有什么進一步的想法？

生：先取x=1探探路，得到a+lna≥1，我猜a的取值范圍是[1,+∞).

設g(a)=a+lna，則g(a)在(0,+∞)上是增函數，故得到a≥1.

下面只要證明當a≥1時，f(x)≥1.

當a≥1時，

f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx，

所以h′(x)在(0,+∞)上單調遞增，而h′(1)=0，故可得到[h(x)]min=h(1)=1，

因此f(x)≥1.所以a的取值范圍是[1,+∞).

師：此方法從題目中的特殊信息出發，尋找等號成立的條件，由特殊情況引路，得到結論，再在一般情形下進行認證，這是求解數學題的基本思路之一. 人類在探索未知世界時，常常也不知道路在何方，需要經歷一個探索、猜想、認證的過程，具體到數學問題，我們常借助特殊情形、觀察圖形、定性分析、直覺感知等手段對結果先有個粗淺的了解或估出大致的范圍，再逐步逼近本質.下面我們思考第二位同學的表述，如何求解不等式：aex-1-lnx+lna≥1呢？

生：此不等式不是我們熟悉的常規不等式，我們無法直接求解，我想只可以運用函數的單調性求解，但是1不能寫成函數f(x)的函數值，而且f(x)沒有單調性啊！

師：你的意思是原不等式如能化成f(x)≥f(t)(其中t為與a及x有關的式子)的形式，同時f(x)又有單調性，這個設想很好，但怎么實現不了呢？問題是一定是用函數f(x)來表達嗎?

生：不一定，可以更一般化，只要能寫成u(x)≥u(t)的形成，同時u(x)又有單調性，那就能求解.

師：那不等式aex-1-lnx+lna≥1能實現上述目標嗎？

生：能.因為aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna,所以aex-1-lnx+lna≥1等價于

elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx,

令u(x)=ex+x,

上述不等式等價于u(lna+x-1)≥u(lnx),

顯然u(x)為單調增函數，

所以u(lna+x-1)≥u(lnx)又等價于

lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1，

在(0,1)上v′(x)>0,v(x)單調遞增；

在(1,+∞)上v′(x)<0,v(x)單調遞減，

所以v(x)max=v(1)=0,lna≥0，即a≥1；

所以a的取值范圍是[1,+∞).

師：很好，我們實現了第二位同學的想法，說明做任何事都有前期的設計，但我們初始的設計可能是理想或特殊情形，實施中遇到了困難，我們要依據題目特點進行調整修正，如推廣到更一般情形求解，再運用函數的單調性實現化歸，這也是另外一種情形的“探路”.

回顧數學題是由人來“命制”的，精美的題目背后蘊藏諸多的人為的“巧合”和“特例”，如從這些“巧合”和“特例”出發，探求問題的本質并猜想一般結論，再逆向證明猜想的正確性，這也是我們尋找解題方向的基本思路之一.

2.2 “靠”——將條件與結論相互“靠攏”，當“靠”得足夠近時，思路就“水落石出”了，解題方向就是它們之間的相互“靠攏”

例2(2018年高考江蘇)記f′(x),g′(x)分別為函數f(x),g(x)的導函數．若存在x0∈R，滿足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，則稱x0為函數f(x)與g(x)的一個“S點”．

師：本題屬于新定義題，加上“任意”、“存在”等信息的雙重干擾，我們看了幾遍可能對題意仍不得要領，我們不應“原地待命”，而應向前走，可以先易后難、先形式后本質，即選取形式上好操作的先動起來，讓條件與結論之間相互“靠攏”，邊做邊想，做了上一步就容易想出下一步，甚至才能想出下一步.具體到本題，哪一個“點”能向前“走兩步”呢？

生：我認為結論中的“函數f(x)與g(x)在區間(0,+∞)內是否存在‘S點’”可以向前“走兩步”：按照題目條件中的定義，“f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)”可轉化為

生：式子(*)可向條件“對任意a>0”靠攏，只要將(*)中兩式相除消去b，得到關于a、x的式子.

師：將條件“對任意a>0”和結論“使函數f(x)與g(x)在區間(0,+∞)內存在‘S點’”連起來看，到底是什么意思？得到的式子應按照誰作為主元來排列呢？結果是什么？

生：相當于“對任意a>0，關于x的方程始終有解”，所以得到的式子應以x為主元來排列.下面的結果是：只要證明對任意a>0，關于x的方程x3-3x2-ax+a=0始終有解.

師：如何證明一個高次方程在(0,+∞)內有解呢？具體如何實施？

生：用區間根存在定理.區間的一個端點顯然可選取0，而另一個端點取1比較方便，因為這樣得到的是一個與a無關的定值.

師：很好！那對照題目結論中的另一個要求“是否存在b>0”，(*)又該如何操作呢？

生：將(*)中第二個式子變形，將b用x來表示，看看b是否大于零.

生：對任意a>0，

設h(x)=x3-3x2-ax+a．

因為h(0)=a>0，h(1)=1-3-a+a=-2<0，

且h(x)在定義域上圖象是不間斷的，

所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)=0．

由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得

此時，x0滿足方程組(**)，即x0是函數f(x)與g(x)在區間(0,1)內的一個“S點”．

因此，對任意a>0，存在b>0，使函數f(x)與g(x)在區間(0,+∞)內存在“S點”．

師：假如令h(x)=f(x)-g(x)，那么原題用h(x)如何敘述呢？

生：老師，那此題目的背景就與江蘇省2017年高考數學試卷第20題的背景就一樣了.

師：聯想得好！原來此問題的背景和我們非常熟悉的函數零點問題背景本質是一致的.

回顧數學解題的本質就是在條件與結論之間架起聯通的橋梁，讓它們相互靠近、相互轉化，最終相互融合，實現解題的目標.所以當題目的條件與結論之間“距離”較遠時，此時解題的方向就是將它們相互“靠攏”，當“靠”得足夠近時，解題思路就清晰了．

2.3 “換”——對難以入手的壓軸題進行換“元”、換“式”、換“題”等“整容手術”后，“威嚴高冷”的壓軸題就“變”成了“和藹可親”的常規題

師：我們每個人的解題能力其實都是有限的，從某種意義上說，我們只會做簡單的題，但我們可以借助合適的工具把不會做的題目轉化成會做的題目，我們的工具之一就是“換”，對于“換元法”，大家已耳熟能詳了，就不再涉及，今天我們研究其它類型的“換”法.

例3(2019年高考江蘇題)設函數f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),f′(x)為f(x)的導函數．

師：哪位同學能用簡潔的語言敘述一下題目的意思？

師：a、b、c三個字母中a和c的值都已經知道了，但b不知道，只告訴我們一個范圍，這確實增加了題目的難度，如果換成什么類似的題，你就會做了？

生：老師，如果b的值知道了，我就會做了(眾人大笑).

師：有道理啊,如b的值由你定，你覺得取什么值比較好？

師：你們認為哪種取法與原題相關性最好呢？為什么？

生：啊，老師,我發現了命題者的“痕跡”(有點激動)：先求出當a=0,b=1,c=1時f(x)在(0,1)上的極大值，再求證f(x)恒不大于這個極大值就行了.(具體解題過程略)

例4(2017年高考全國Ⅰ卷理科數學)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)略；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

師：由于時間關系，我就直接投影本題的詳細解答，同學們認真研讀后，看看有什么疑問可以提出來，供大家討論.

解答：(2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個零點;

(ii)若a>0，由(1)知，當x=-lna時、

f(x)取得最小值，最小值為

①當a=1時，由于f(-lna)=0，

故f(x)只有一個零點；

即f(-lna)<0.

又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0，故f(x)在(-∞,-lna)有一個零點.

因此f(x)在(-lna,+∞)有一個零點.

綜上，a的取值范圍為(0,1).

生：在“f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0”中，怎么想到x取-2呢？

師：我們設要取的值是x0，且x0<-lna，那么f(x0)=ae2x0+(a-2)ex0-x0>0，我此時也不知道x0取多少了，但即使已知x0的值，代入求f(x0)的值也比較困難，事實上我們只要找到一個使f(x0)>0成立的x0就可以了.遇到此種情況，我們該如何處理？

生：將f(x0)進行縮小，即用比其小的式子來“替換”它：f(x0)=ae2x0+(a-2)ex0-x0=ae2x0+aex0-2ex0-x0>-2ex0-x0，下面只要取的x0的值，讓-2ex0-x0>0.

師：怎么想到用“-2ex0-x0”替換“ae2x0+aex0-2ex0-x0”呢？又怎么知道x0取-2的呢？取其它的值可以嗎？

生：通法是將f(x0)縮成一個與a無關的式子，即消去a(消元法)，即用“0”代替“ae2x0+aex0”，再將“-2ex0-x0>0”變形為“-x0>-2ex0”，又1>ex0>0，所以x0取-2比較自然，x0取不大于-2的數都可以.

回顧例題3求解的本質是換題(即“換”成“求函數f(x)=x(x-1)2的極大值”)，將題目中的參數依據它的取值范圍“換”成它的一個端點值；例題4求解實際上是換“式”，即先用式子“-2ex0-x0”替換“ae2x0+aex0-2ex0-x0”，再用式子“x0”替換成“ex0”，實質上“起點”確定了，“終點”的遠景目標也是明確的(比如例3、例4中分別為不含字母“b”和“a”)，這樣“換”的方向實際上就確定了，只要依據不等式性質進行放縮，將壓軸題“換”成常規題，降低了題目的難度.所以當題目中含有參數時，解題方向之一就是依據參數的范圍把其“換”成端點值，從而化歸成熟悉的或簡單的題，實現解題的目標.

3 感悟

到目前為止解題是高考數學試卷考查考生的唯一方式，而思維能力是解題的靈魂，但沒有方向的思考是低質量的思維，是一種浪費，因此快速確定解題方向對高考尤其重要.高考壓軸題常常是當年高考題的經典，其求解思路許多是“非典型性”的，而教師難以提前預測和言傳，學生又難以捉摸和復制，傳統的解題教學對其很難見效，其結果往往取決于學生個人的悟性和臨場發揮，可數學家懷特尼告訴我們“創造性的數學工作并非少數天才所專有，它可以是我們之中有強烈意愿與充分自主性的任何人的順乎自然的行動”.當前流行的“題海戰術”是通過大量的機械重復訓練,讓學生熟練掌握常見問題的解決方向并快速得出結果，從短期來看是熟能生巧,從長期來看可能會熟能生厭、熟能生錯，這不利于興趣的培養,不利于思維的培養和能力的提升,不利于創新人才的培養.所以“題海戰術”是我們解題教學處于“模糊階段”的無奈之舉，它加快了教師職業倦怠的進程，扼殺了學生的靈氣，而數學解題教學的本質是教師引導學生以用數學的眼光觀察題目特征為先導，用數學的思維為解法尋找辯護的“理由”，讓解法在師生的交流中“自然分娩”，在確定求解方向的過程中，主要依靠同時也培養了學生的核心素養.數學解題教學更是一門科學，因此數學解題教學追求精確化是科學發展的必然要求，但我們的探索才剛剛開始，希望有更多的人來參與，去發現更美的風景.