數學實驗與邏輯推理*

王曉峰

(蘇州工業園區教師發展中心 215021)

邏輯推理是數學關鍵能力的構成要素，是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質．具有一定的邏輯推理能力是培養學生數學素養的重要內容，是數學課程和課堂教學的重要目標．

邏輯推理是指由一個或幾個已知的判斷推導出另外一個新的判斷的思維形式．邏輯推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從特殊到一般的推理，是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從一般到特殊的推理，是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)和確定的規則(包括運算的定義、法則、順序等)出發，按照邏輯推理的法則證明和計算．合情推理用于獲得猜想、發現結論、探索方法；演繹推理用于驗證猜想、證明結論，兩者共同在數學論證中發揮著各自的作用．

在傳統數學教學中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現成結論，學生很少經歷發現結論、提出猜想的活動過程，而在數學中發現結論往往比證明結論更重要．歐拉說：“數學這門科學需要觀察，也需要實驗”．數學實驗是學生動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式，是在教師引導下，學生運用有關工具，通過具體操作在認知和非認知因素參與下，進行的一種發現數學結論、理解數學知識、驗證數學結論的數學活動．通過數學實驗，能夠為學生的數學學習提供豐富的問題情境，讓學生親身經歷合情推理發現結論、演繹推理證明結論的完整推理過程，在合情推理與演繹推理的相輔相成中共同促進邏輯推理能力的形成與提高．

1 數學實驗能夠為邏輯推理的培養提供產生問題的情境

邏輯推理能力的培養是以問題為中心，在問題解決的過程中形成的．能從數學的角度發現問題和提出問題，是培養邏輯推理能力的先決條件，而發現問題、提出問題、進而形成問題意識則需要產生問題的載體．數學實驗是學生借助實驗工具進行觀察想象、操作驗證、推理論證的數學活動，實驗工具是產生問題、提出猜想的有效載體，能為邏輯推理能力培養提供豐富的問題情境．

案例1 探索正方體的截面形狀

實驗1：利用“水立方”探索正方體的截面形狀．

依次調整1號、2號“水立方”的擺放位置，通過觀察水面與正方體的面相交的形狀，發現正方體的截面可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，并思考截面是否能是七邊形？為什么？如圖1，圖2，圖3，圖4．

圖1

圖2

圖3

圖4

實驗2：利用“水立方”探索正方體的截面形狀的特殊性．

依次調整1號、2號“水立方”的擺放位置，觀察發現正方體的截面可以是特殊的三角形(等腰三角形，等邊三角形，但截不出直角三角形、鈍角三角形)；可以是特殊的四邊形(正方形、矩形、平行四邊形、菱形、梯形、等腰梯形)，并思考當截面為四邊形時，這些四邊形是否具有共同的特征？(至少有1組對邊互相平行)為什么？截面為五邊形、六邊形時，這些五邊形、六邊形又具有怎樣的特殊性？(五邊形的2組對邊互相平行，六邊形的3組對邊互相平行)為什么？

實驗3：探索三棱錐的截面形狀

借助實物三棱錐，想象三棱錐截面的形狀，說理后，用幾何畫板驗證結論．

發現身邊的數學，這樣的數學學習必定會受到學生的喜愛．數學實驗工具可以是學生身邊的普通物品，如紙張(透明紙)、橡皮、文具盒、圓規、刻度尺(直尺)、三角板、量角器、教科書、剪刀等，也可以是專用的實驗工具，如水立方、勾股定理演示器、圓周角探究儀等．如圖5，圖6，圖7，圖8．

圖5

圖6

圖7

圖8

根據工具的功能與知識指向，數學實驗工具可分為三類：用于概念形成的工具、用于原理探究的工具和用于拓展應用的工具，可以服務于絕大部分《義務教育數學課程標準(2011版)》(以下簡稱《標準》)的核心內容的教學需要．如，通過折紙可以探索軸對稱圖形的性質，進而認識線段、角平分線、矩形、菱形、正方形、圓、反比例函數與二次函數的圖像特征等等；利用透明紙可以探索三角形全等的條件，可以探索旋轉的性質，可以探索中心對稱圖形的性質，進而認識平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓、反比例函數的圖像特征等等；利用“水立方”可以探索正方體截面的各種形狀；利用多功能尺組件可以認識三角形的“三線”，發現三角形的穩定性，認識等腰三角形的“三線合一”、認識特殊四邊形之間的聯系，探索銳角三角函數值的變化規律等；利用勾股定理演示器可以認識“直角三角形”、“銳角三角形”、“鈍角三角形”三條邊的平方之間的數量關系等；利用圓周角探究儀可以認識圓周角，探索圓周角的性質、圓內接四邊形的性質等……．學生借助這些豐富多樣、功能不同的實驗工具，通過操作、觀察、思考，就能夠產生問題、提出猜想，逐步形成和提高問題意識．

2 數學實驗能夠為合情推理的培養提供發現結論的機會

喬治·波利亞指出：數學有兩個側面，……用歐幾里得方式提出來的數學是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學卻是實驗性的歸納科學．合情推理是波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理(即推理的結論不一定成立的推理)的特稱，他指出數學思維不是純“形式”的，它所涉及的不僅有公理、定理、定義及嚴格的證明，而且還有許許多多其它方面：推廣、歸納、類推……等等．基于此，《標準》提出：教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、實驗、畫圖、嘗試、估算、歸納、類比等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力．

案例2 探索圓周角

1．操作與觀察

(1)如圖9，沿著“圓周角探究儀”的直軌道移動點P，觀察點P在移動過程中與圓周上兩個定點A、B相連的橡皮筋所形成的角的共同點與不同點，發現這些角的兩邊都與圓相交，頂點分別在圓心、圓內、圓外、圓上．

(2)如圖10，沿著“圓周角探究儀”的圓軌道移動點P，觀察點P在移動過程中與圓周上兩個定點A、B相連的橡皮筋所形成的角的共同點，從而引出圓周角的概念．

圖9

圖10

2．觀察與猜想

(1)沿著直軌道將點P由圓內向圓外移動的過程中，觀察∠APB的大小的變化．可以發現∠APB由大變小，獲得猜想：同弧所對的圓內角大于圓周角大于圓外角．

(2)沿著圓軌道移動點P過程中，∠APB的大小是如何變化的？通過觀察，可以發現∠APB的大小似乎保持不變，獲得猜想：同弧所對的圓周角相等．

3．驗證與證明

如圖11，圖12，通過度量移動過程中∠APB的度數，對猜想進行驗證．并對結論進行證明．

圖11

圖12

歸納推理是以個別(或特殊)的知識為前提，推出一般性知識為結論的推理．它是從特殊到一般的推理．為什么要研究圓周角？圓周角是怎樣發現的？圓周角具有怎樣的性質？借助“圓周角探究儀”，能使學生體驗圓周角產生的過程；可以發現圓外角、圓周角、圓內角之間的數量關系；通過對驗證后得到的猜想是否具有一般性結論的思考，再從特殊到一般進行歸納并證明結論，發現圓周角的性質；通過頂點在圓軌道上的移動，可以知道圓周角定理的證明要分三類進行討論的原因．學生使用這樣的實驗工具學習“與圓有關的角”時，認識會更系統、更深刻．

案例3 打印紙中的數學

1．觀察與思考

觀察A4打印紙，提出問題“A4打印紙中有哪些與數學有關的問題？”引導學生發現問題的核心是長與寬之間的數量關系，引發學生對“A4打印紙長與寬的比值是多少？”的思考．

2．估算與計算

(1)目測估算

學生通過目測對A4打印紙長與寬的比值進行估算．由于結論不一，出入較大，從而激發起學生對研究方式的思考．

(2)度量計算

學生利用刻度尺度量A4打印紙的長與寬，并計算長與寬的比值，結果精確到0.001．

3．猜想與驗證

(1)發現與猜想

(2)驗證與說理

圖13

圖14

4．思考與拓展

類比推理是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理．它是從特殊到特殊的推理．對打印紙中的數學展開的探索，經歷先探索A4打印紙，再經過類比探索A3、A5、……打印紙，最終探索出A0打印紙的制作標準，揭示了A型打印紙的來龍去脈．這是一個發現數學、產生與形成活動經驗、并不斷積累活動經驗的學習過程，探索過程中類比推理的作用體現的淋漓盡致，整個探索過程中充盈著合情推理與演繹推理，這樣的學習活動無疑對邏輯推理能力的培養能起到巨大的幫助作用．

3 數學實驗能夠為演繹推理的培養提供分析論證的方法

實驗與論證應是數學教學不可或缺的兩個環節，通過實驗得到猜想，再通過論證去證實或證偽猜想，這樣才是完整的數學教學，但尋找證明的方法對不少學生來說往往是有困難的，為此可以通過數學實驗來幫助學生尋找到證明的方法．

案例4 探索三角形的內角和

實驗1：度量與發現

任意畫出若干個形狀各異的三角形，用量角器分別度量這些三角形三個內角的度數，再分別求出同一個三角形三個內角的度數和，你有何發現？

實驗2：操作與驗證

(1)拼角1：剪下三角形紙片(如圖15)的三個內角，將它們按圖16的方式拼在一起，可以發現它們組成了一個平角．

(2)拼角2：折疊三角形紙片(如圖15)，將它的三個內角按圖17的方式拼在一起，可以發現它們組成了一個平角．

圖15

圖16

圖17

實驗3：說理與證明

(1)轉筆說理：如圖18，鉛筆放置在△ABC的邊BC上，筆尖方向為點B到點C的方向．把鉛筆依次繞點B、點A、點C按逆時針方向旋轉∠B、∠A、∠C的度數，發現筆尖方向與初始位置的方向正好相反，這說明鉛筆依次繞點B、A、C轉過了180°，從而證明了“三角形的內角和等于180°．如圖19，圖20，圖21．

圖18

圖19

圖20

圖21

(2)分析證明：用演繹推理的方式證明“三角形的內角和等于180°”．

通過度量、計算，學生大致可以知道三角形三個內角的和是一個定值180°，但因為有測量誤差，所得結論只能是一個猜想，學生就會主動尋找驗證猜想的方法．驗證猜想是科學精神、思想以及方法不可或缺的關鍵環節，但操作驗證是依靠觀察進行的直覺判斷，是感性的認識，只有經過理論證明得出的結論才是可信的．拼角是驗證猜想的手段，但因為拼圖會有縫隙或重疊，所以拼出來的結果也會有一定的誤差，這樣還是不能斷定多邊形外角和就是180°，因此必須用演繹推理方法去證明猜想的正確性．回顧拼角的過程，經過觀察、思考、抽象，學生可獲得啟發，通過添加不同的平行線，根據平行線的性質，就可以用多種方法證明“三角形的內角和等于180°”，如圖22，圖23，圖24．進而對這些方法的比較，體悟到這些方法蘊含的原理是一致的——拼角的本質是“角的轉移”的過程，因此添畫的輔助線與位置并無關系，可以在任意位置添畫平行線，證明猜想的正確性，獲得結論．如圖25，圖26．

圖22

圖23

圖24

圖25

圖26

邏輯推理是理性思維的基礎，在數學中具有重要的地位，培養學生的邏輯推理能力應當作為數學教學的中心任務．邏輯推理能力不是與生俱來的，邏輯推理能力的培養應貫穿于整個數學課程的各個內容，貫穿于數學課堂教學的各種活動過程，貫穿于整個數學學習的環節．數學實驗能將過程與結果、操作與思維、實驗與論證、證偽與證實有機融合，實現合情推理與演繹推理的融通，是培養、發展邏輯推理能力的重要學習方式．