“一”以貫之 穿珠成鏈*
——蘇教版教材內容整體設計探微

李 青

(江蘇省宿遷中學223800)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出“教師要以數學學科核心素養為導向，明晰數學學科核心素養在內容體系形成中表現出的連續性和階段性，引導學生從整體上把握課程”，要求教師避免知識碎片化，實施整體教學、單元教學[1].如何進行整體教學，目前各地都在積極探索.實際上，整體教學是一種教學理念與追求，沒有統一模式，更不能簡單地變成知識的集中講授，整體教學應根據具體數學內容的特點，尋求內在的“一”，一以貫之，實現相應知識的整體貫通.蘇教版高中數學教材為我們提供了很好的示范，在許多內容處理時采取整體把握，便于教師實施整體教學.本文以蘇教版高中數學教材部分內容為例，對整體教學作一探討.

1 一個情境：貫通數學生成過程

數學知識的生成過程，包括數學概念形成，數學規律的發現，數學性質的提煉，數學知識的應用等.雖然數學生成過程是整體的，應該讓學生整體了解某數學內容的生成過程，但在具體教學時，由于課時分解，必然會將這一整體過程分解成若干“碎片”，借助一個合適的情境使這些“碎片”有機聯成一個整體，使學生形成完整的建立數學的過程.

例1關于函數概念的建立過程，教材三次使用“溫度曲線”，分別用于建立函數概念，探索函數性質，應用函數解決問題，通過“溫度曲線圖”的三次觀察，不斷地建立函數知識，使學生學會建立數學的一般方法.

在蘇教版必修1“函數的概念和圖象”這一節，教材第一次出現溫度曲線，旨在讓學生通過具體實例，體會兩個非空數集之間的一種特殊的對應關系(單值對應)，構建函數的一般概念，體會函數是描述變量之間依賴關系的重要模型，教材能夠從實際背景方面，幫助學生理解函數概念的本質，更好地培養學生用運動變化的觀點、函數的眼光去認識世界的思維習慣.在“函數單調性”這一節，教材第二次出現溫度曲線，通過觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在哪些時段內是逐漸升高的，在哪些時段內是逐漸下降的，提出問題“怎樣用數學語言刻畫上述某一時段內，隨著時間的增加氣溫逐漸升高？”旨在通過生活實例，引出函數單調性的概念，感受函數單調性的意義，培養學生圖形語言與代數語言相互轉化的能力.蘇教版高中數學教材必修1的第8章“函數與數學模型”，第三次出現溫度曲線，通過提出問題：“怎樣來研究氣溫的變化狀況呢？”來引出3種研究方法.通過這個實例，讓學生理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具，在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.

關于情境問題，著名數學教育家弗賴登塔爾認為，周圍的世界應該是學生探索的源泉，而數學課本從結構上應當從與學生生活體驗密切相關的問題開始，發現數學概念和解決實際問題，實現數學化[2].蘇教版高中數學教材很好地做到了這一點，教材充分利用學生的認知規律、已有的生活經驗，三次使用跟學生生活體驗密切相關的“溫度曲線”，通過問題情境，分別建立函數概念，探索函數性質，應用函數模型來解決實際問題.同時教材能夠兼顧當下的內容與以前及以后的知識的聯系，能夠站在更高的角度，通盤考慮，把教學內容做了一個全新整合，前兩次使用溫度曲線，在必修1的第5章；第三次使用溫度曲線，在必修1的第8章，一個溫度曲線的情境貫通了函數知識的生成過程.從“大處”著眼，把每個章節的內容作為一個整體內容進行一個大框架的解讀，再在大框架下，建立一個系統的授課內容，這樣的設計體現了蘇教版教材的大單元教學設計理念.

2 一個問題：貫通數學思想方法

數學思想方法促進數學的發展，讓學生學會用數學的思想、方法解決問題是數學教學的重要目標之一，然而實際教學中，往往出現數學思想標簽化，或者割裂化的現象.借助核心問題在一個系列知識過程中貫穿某一思想方法，使學生真正感悟、理解并會運用數學思想方法解決問題，使整個內容成為一個有機整體.

例2解析幾何基本思想方法為：幾何問題代數化，這個思想方法對于近現代數學發展有著非凡的意義，要使學生真正理解并會運用這種思想方法，就需要多次運用恰當載體，圍繞相同的問題，來運用這種思想方法.

蘇教版高中數學教材在研究直線時，提出“如何建立直線的方程？”“如何利用直線的方程研究直線的性質？”類似的問題在研究圓、橢圓、雙曲線、拋物線的時候，多次出現.以下是教材中三個片段.

片段1：

直線是最常見的幾何圖形，直線也可以看成滿足某種條件的點的集合.在平面直角坐標系中，當點用坐標(x，y)表示后，直線便可用一個方程F(x,y)=0表示，進而通過對方程的研究來研究直線.

●如何建立直線的方程？

●如何利用直線的方程研究直線的性質？

片段2：

圓是常見的幾何圖形，圓也可以看成滿足某種條件的點的集合.在平面直角坐標系中，當點用坐標(x，y)表示后，圓便可用一個方程F(x,y)=0表示，進而通過對方程的研究來研究圓.

●如何建立圓的方程？

●如何利用圓的方程研究圓的性質？

片段3：

對于某一圓錐曲線，例如橢圓，也可以看成滿足某種條件的點的集合.在平面直角坐標系中，當點用坐標(x，y)表示后，橢圓便可用一個方程F(x,y)=0表示，進而通過對方程的研究來研究橢圓.

●如何建立橢圓的方程？

●如何利用橢圓的方程研究橢圓的性質？

……

解析幾何是17世紀數學發展的重大成果之一，高中教材解析幾何部分有坐標系、直線、圓、圓錐曲線等章節內容，如何利用好這些載體，設計恰當的問題，更好地體現坐標法、數形結合等基本思想，是解析幾何教材教學設計的重點關注問題.直線作為解析幾何的開篇之作，雖然內容較為基礎，但學習方法十分重要.基本學情是學生已經對直線相關性質有了初步的理解，本節課要重新以坐標化的方式來研究直線的相關性質，初步向學生滲透解析幾何的基本思想和基本方法.蘇教版新教材在直線這一章開始部分提出，直線也可以看成滿足某種條件的點的集合，在平面直角坐標系中，當點用坐標(x,y)表示后，直線便可用一個方程F(x,y)=0表示，進而通過對方程的研究來研究直線,接著提出兩個問題：如何建立直線的方程？如何利用直線的方程研究直線的性質？通過問題情境，從集合與對應的角度建構起平面上的直線與二元一次方程的對應關系，借助于數的精確性、可操作性來闡明直線的某些屬性，實現了用代數的量化運算方法來研究幾何圖形的性質.從整體上，直線方程初步體現了解析幾何的基本思想方法：用代數的方法研究幾何問題，這為以后學習圓、圓錐曲線奠定了基礎，起到了啟下的作用.

在研究圓、圓錐曲線時，類比直線的研究方法，提出問題如何建立圓(橢圓、雙曲線、拋物線)的方程？如何通過方程來研究圓(橢圓、雙曲線、拋物線)的性質？由于學生已經掌握了如何研究直線的性質和圓的性質的方法，因此在學習圓錐曲線時，學生可以類比，通過對圓錐曲線方程的討論，探索出三種圓錐曲線的相關性質.三種圓錐曲線的幾何性質可以通過代數方式得到，這大大降低了研究曲線性質的難度.

解析幾何內容豐富多樣，彼此之間存在著內在的聯系，呈現出很強的層次性和系統性.古人云：“授之以魚，不如授之以漁”，這句至理名言也道出了數學思想方法的重要性.數學思想是一種隱性的數學知識，要在反復的體驗和實踐中才能使個體逐漸認識、理解、內化為個體認知結構[2].蘇教版高中數學教材解析幾何部分，能夠通過一個核心問題，在一個系列知識學習過程中貫穿著解析幾何的基本思想方法，使學生真正感悟到數學思想是對數學知識和方法本質的認識，數形結合是研究曲線與方程的最重要的思想方法，它既能分析其代數意義，又能揭示其幾何意義，它將數量關系與空間形式巧妙結合在一起.一個核心問題，貫通數學思想方法，這樣的問題設置使整個內容成為一個有機體.

3 一個模型：貫通數學研究內容

在設計單元內容時，既要考慮知識的邏輯過程，還要考慮知識的歷史過程以及學生的認知過程，只有有機地融合這些過程，才能使學生清晰地理解整個研究內容，這時候，借助一個合理的模型作為載體，從多維度來不斷提出研究的內容，使之成為一個有機體.

例3立體幾何是研究三維空間中各種數學對象的建立、對象之間的關系，最有代表性的簡單模型是長方體，借助長方體，可以建立立體幾何的研究內容，包括空間幾何體的概念.空間點線面之間的位置關系等.

為了研究立體圖形，蘇教版教材必修2立體幾何初步這一章，先從最簡單的例子開始，抬頭看一下我們的教室，把教室抽象成一個長方體.在必修2立體幾何這一章，先后八次出現長方體模型.

長方體模型是發展空間想像能力的基本模型，通過對長方體的整體觀察，讓學生直觀認識長方體的結構特征，理解空間點、線、面的位置關系.教材以“觀察這個熟悉的模型，有哪些基本的元素，基本元素之間具體有什么關系？”開啟立體幾何這一章的研究之旅.

在研究必修2立體幾何初步第二節 “點、線、面之間的位置關系”時，教材借助長方體模型，并以長方體為主線，使學生在直觀感知的基礎上認識點、線、面之間的位置關系.教材通過大量的觀察、實驗、操作和思辨論證，使學生逐步理解直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面平行、平面與平面垂直的判定和性質.教材重視展現知識發生和發展的過程，如從觀察長方體的棱、對角線與面的各種位置關系中，抽象出直線與平面的三種位置關系，接著又從兩條平行的棱中選一條，觀察它通過形成平面的過程中，直觀感知直線和平面平行的判定方法.再通過對直線與平面平行定義的深入分析和探索，發現并論證了直線與平面平行的性質定理，這樣既達到了教學目的，又降低了學生學習立體幾何的難度，同時也幫助學生逐步形成空間想像能力和推理論證能力[3].教材多次使用學生熟悉的長方體模型，既符合學生的認知規律，也培養了學生對幾何學習的興趣，增進學生對幾何本質的理解.

立體幾何是高中數學教學的一個重要內容，它是研究三維空間中物體的形狀、大小和位置關系的一門數學學科，而三維空間是人們生存發展的現實空間，所以，學習立體幾何對我們認識、理解現實世界，更好地生存與發展具有重要的意義.蘇教版高中數學教材立體幾何整個內容設計能夠遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，多次借助實物模型長方體，從多維度來不斷提出研究的內容，通過歸納和分析，讓學生進一步研究認識和理解空間點、線、面之間的位置關系；通過引導和探究，讓學生多角度、多層次地揭示空間圖形的本質.教材多次利用學生熟悉的長方體模型，分別研究線線關系、線面關系、面面關系，一個長方體模型，貫通立體幾何的研究內容.

蘇教版高中數學教材為我們提供了很好的示范，在教學中，作為一線教師，數學教學要以學科核心素養為導向，要重視知識的連續性，從“小單元”中釋放出來，以更大的視野、更高的層面，實施整體教學、單元教學；要以“新課標”精神為指導，根據具體數學內容的特點，用活用好教材，尋求知識之間的內在的聯系，實現知識的整體貫通.