高階常系數非齊次線性微分方程的算子法

朱美玲

【摘要】微分算子法是求解常系數微分方程的一種方法，本文利用算子性質推導出求高階常系數非齊次線性微分方程特解的一種方法，并給出三種常見類型的常系數非齊次線性微分方程的具體解法.

【關鍵詞】比較系數法;常微分方程;算子;特解

常微分方程在當代數學中是極其重要的一個分支，實用價值很高.微分方程在運動學、動力學、電子技術等學科中具有十分廣泛的應用，比如電子裝置的設計、自動控制系統的開發、彈道軌跡的計算及飛機、導彈等飛行穩定性的研究等.這些問題通過建立數學模型都可以轉化為常微分方程的解，或者研究其解的性質問題.雖然常微分方程的應用已經取得了很大進展，但還有許多方面有待進一步研究，其中常微分方程的解法就是其中的一個方面.單從數學教學方面來講，常微分方程的求解是高等數學中的難點和重點之一，其中求解常系數非齊次線性微分方程的特解又是線性微分方程理論的重要組成部分.高等數學教學中求高階常系數非齊次線性微分方程的特解的常用方法是比較系數法，即先設出原方程的特解，然后再代入原方程，最后通過比較方程兩端同類項的系數，從而求得特解.因為求解過程中涉及求導計算和解方程組的運算，所以求解過程比較復雜，計算比較繁瑣，容易出錯.但用拉普拉斯變換或傅立葉變換求特解需要大量的復變函數的知識，對于初學者來說又有一定的難度.因此本文從微分算子的概念出發，結合微分算子的性質，給出了用微分算子法求幾類微分方程的特解的方法，通過將微分算子法與比較系數法對比可知，微分算子法沒有繁瑣的求導解方程的過程，計算比較簡潔，易于學生掌握.

四、總結

常微分方程在許多領域都具有廣泛的應用，對常微分方程解法的學習及研究對教學和實際應用都有很大的價值.本文從微分算子概念出發，結合微分算子的性質，給出了用微分算子法求幾類微分方程的特解，與比較系數法相比，微分算子法沒有繁瑣的求導解方程的過程，計算比較簡潔，相對于拉普拉斯變換，微分算子法易于理解和掌握，對于高職高專一些應用性較強的專業的學生來說，這種方法既簡便又實用，當然它也有一定的適用范圍，對于其他解法還需要更深一步的研究.

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