基于自主體驗的教學設計

【摘要】在教學中教師通過問題串的設計，讓學生親歷從簡單到復雜、從具體到抽象、從特殊到一般的探索過程，經歷概括、歸納、嘗試、猜想、驗證等過程，使其進行充分的思考和自主探究.學生在探究結論的過程中能夠掌握研究問題的一般方法，積累解決數學問題的經驗，提升自主探究能力，發展直觀想象、數學抽象等素養.

【關鍵詞】函數的零點;零點存在性定理;自主體驗

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“數學教學要不斷探索新的教學方式，創新教學實踐，不僅要重視如何教，還要重視如何學，教師要深入挖掘數學學科的育人價值，以發展數學學科核心素養為導向，將努力激發學生學習數學的興趣和引導學生會學、樂學，貫穿于教學活動的全過程.”

數學課堂不應只是教師傳授知識的場所，它更應該成為學生積累學習經驗、學習新知識、提高數學學習力的場所.學生是學習的主體，教師做教學設計時應該關注：創設何種教學情境能激發學生的學習熱情，提出何種問題能促進學生深度思考，發布何種教學任務能驅動學生自主探索，搭建什么平臺給學生提供更多幫助……基于這樣的認識，本節課程教師提出三個層層遞進的問題引起學生的注意，讓學生思考解決問題該使用何種策略，從而將焦點引到如何用函數的思想來考慮方程問題，即以形助數.探討零點存在定理的條件時借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即以數解形，使學生一步步地在探究過程中真正領悟數形結合的重要價值.

1 創設情境，激發自主探究欲望

教師以往在講授函數的零點時，教學流程都是：先針對某個特殊的一元二次方程，讓學生求出它的根，觀察對應二次函數圖像，再去找根和圖像與x軸交點橫坐標之間的關系，最后再研究一般的一元二次方程.這樣的教學過程中，教師關注的是“教”知識，學生的學習任務只是簡單的觀察與歸納，并未真正讓學生參與到探究新問題的解決策略和一般方法中，學生的自主性受到了忽視.因此筆者在設計本課時，希望能夠通過設置問題引領學生思考解決問題更普遍的方法，引導學生將方程問題函數化、函數圖像的特征代數化，幫助學生從動態變化的數據中去理解方程和函數.

基于此考慮，教師設置了以下問題串，問題1：方程2018x2-8x-1=0有實數根嗎？你有幾種判斷方法？問題2：方程2x-4=0有實數根嗎？你有幾種判斷方法？問題3：方程log2x+2x-3=0有實數根嗎？

對于問題1，學生的一般方法是，計算判別式Δ 的值，根據判別式判斷方程有無實根.這里教師應再追問有沒有其他方法？引導學生從函數的角度思考，記f（x）=2018x2-8x-1，根據函數f（x）圖像特征，判斷其圖像與x 軸是否有交點，從而確定是否有實數根.在“如何想到”問題1的解決方法的追問上，筆者試圖挖掘學生對此問題的思維過程： 直接解方程有難度，需要借助Δ來進行判斷，但是Δ的數據較大，不易計算.因此從函數角度入手，根據函數圖像得出與y軸交點的坐標為-1，與x軸有兩個交點，所以方程有兩個實數根.利用函數思想解決方程問題，不僅為學生探究方程問題提供了更普遍的方法，也為今后研究不等式等內容奠定基礎.此問題串的設計，目的就是讓學生在利用原有的方法解題遇到困難時，能夠嘗試新方法.在嘗試的過程中教師引導學生外顯其思維過程，從而將焦點引到如何用函數的思想來考慮問題，讓學生在解決問題的過程中，重新梳理了思維過程，本節課的主題也因此明晰起來.

2 巧設問題，層層追問，搭建自主探究平臺

對于問題3，學生無法再應用前面的經驗解題，教師進一步追問： 要判斷函數是否有零點，必須利用其圖像嗎？此問題一出，學生陷入了思考.思考后有同學提出可以利用列表描點連線的方法來判斷.

師：你認為描點連線后，這條曲線和x軸一定有交點嗎？為什么？圖像為什么一定會穿過x軸？如何用數學語言描述？

生：因為函數值由負值變化到正值，所以函數圖像一定會穿過x軸.

師：觀察在區間（a，b）有零點的函數，你發現它們有什么共同點？

生：端點一上一下，端點函數值異號.

師：有無零點看端點.函數在區間（1，3）上端點值異號一定有零點.

問題3 的提出主要有這樣兩個目的：一是為了辨析概念.對于一般的方程是否可以用“函數的零點”的概念解決？既是對此概念應用范圍的思考，也是檢驗概念的“合理性”.二是為了引入“零點存在性定理”，點明學習這個定理的必要性.針對問題3，當紙筆難以精確描繪圖像而只能描點作圖時，學生勢必要思考有沒有方法是可以直接通過解析式來判斷零點的呢？引導學生在描點作圖的過程中直觀感受函數圖像與x軸有交點的條件，為探究零點存在性定理的條件積累直觀經驗.

高中階段的數學并沒有給出函數連續的概念，因此我們只能通過圖像直觀——“圖像不間斷”討論零點存在性定理.從認知過程看，學生對此定理的建構還必須經歷一個從“形”到“數”的轉變過程.“直觀感受”是理性認識的基礎，“代數表示”才是本質，如何從“圖形直觀”想到“代數表示”以及如何通過數學抽象將感性認識上升到理性認識，是本節課的重點也是難點.筆者也做了一些嘗試，設計了問題3，對于不容易得到圖像的函數，在描點作圖的過程中，分析為何圖像一定會穿過x軸，當存在兩個函數值一正一負時，教師引導學生回憶“函數單調性”和“函數奇偶性”的知識，并思考如何用數學語言刻畫我們找到的圖像特征，也就是此“圖像特征”的“代數表示”，再通過教師進一步地追問以及舉反例，零點存在定理條件的雛形就出現了.正如華羅庚先生所言：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事非.”在本節課開始，我們借助圖像的幾何直觀來闡明數量間的某種關系（即以形助數），探討零點存在定理的條件時借助于數的精確性來闡明形的某些屬性（即以數解形），帶領學生在一步步的探究過程中感悟數形結合的便利，真正領悟數形結合的重要價值.

3 運用技術巧設學生活動，積累經驗

活動一：教師利用教育信息技術軟件做出一些函數的圖像，讓學生觀察思考：是不是只要圖形連續就有零點呢？同時引導學生通過觀察函數圖像舉出一些反例，并將其代數表述進行不斷的修正，從而得出結論.

發現數學規律的前提是有豐富的樣例做支撐，教師借助GGB強大快捷的作圖功能（可以不囿于以往學習過的函數圖像，隨意選取），讓學生有機會在較短的時間內積累足夠多的圖像.在對圖像的左右端點滿足的條件有一定認識的基礎上，形成直觀經驗，驗證前面通過描點作圖得到的比較粗糙的結論，再將研究視角聚焦于圖像的其他特征上，通過一些特殊的反例一步步地理清函數零點存在的充分條件，從而保證學習和研究的深入.

活動二：某地從0時到12時的溫度變化如圖所示.請繪制出盡可能多的不同曲線將其補充成完整的函數圖像，并思考問題4～6.

在探究定理條件的過程中，我們仍然遵循從簡單到復雜、從直觀到抽象、從特殊到一般的研究順序.但是由于所學函數模型比較少，學生頭腦中的函數圖像是非常有限的，通過構造溫度變化圖，一方面可以鍛煉學生的創造能力，讓學生繪制出的各種各樣的圖像，提供了足夠的樣例供分析，為接下來分析定理的條件和結論奠定了基礎;另一方面也能讓學生深刻感受數學知識與生活的聯系，依據生活經驗繪制圖像，再用數學的眼光看世界，用數學的語言表達世界.

問題4：函數在區間（0，3）上是否存在零點？能否確定函數有幾個零點？你還能畫出其他零點、個數的情形嗎？

生：當定理條件存在時，函數在開區間內一定有零點，但有幾個零點不能確定.

問題5：判斷函數f（x）=log2x+x-3在區間（1，3）上的零點個數.這里零點個數為什么能確定是一個？結合圖像，說出你的發現.

生：該函數圖像開口向上，函數單調.根據定理條件再加上函數單調，可以判斷函數零點個數.

問題6：函數f（x）=x3-6x在區間（-1，3）上有沒有零點？

師生共同分析：根據圖像，可知函數有兩個零點，但是端點值不異號，并不符合定理條件？

師生總結：零點存在性定理的條件是非常充分的，定理條件滿足就一定有零點.但反之不成立，也就是說即使有些函數不能滿足定理中的所有條件，依然可能有零點.

數學學習的完整過程是：觀察現象→歸納猜想→驗證猜想→應用拓展.對于函數零點存在性定理而言，定理的理解與應用當然是非常重要的，但更為重要的是定理的條件是怎么被發現的.正如南宋詩人陸游所言：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”我們以繪制圖像為抓手，觀察大量的圖像，從中發現規律，找到共同點，猜測零點存在的條件，再進一步的分析中修正我們的結論，這樣習得的知識才是有“根基”的，同時這樣的探究式學習方式才能真正地提高學生的數學學習能力，提升學生的數學思維和數學素養.

新課標提倡教師要注重培養學生從數學的角度發現問題和提出問題的能力﹑分析和解決問題的能力.通過提供歸納的樣本，培養學生發現問題的能力;通過鼓勵學生自己提出猜想，培養學生提出問題的能力;在嘗試和選擇解決問題的具體方法時，引導學生自主動手、動腦，經歷知識的發生、發展和形成過程，提升學生自主探究和自我學習的能力;運用技術的強大作圖功能巧設學生活動，給學生提供足夠多的樣例，積累足夠多的經驗，奠定學生解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]許興震.自主體驗：促進學生學會學習的有效路徑——以“向量的加法運算及其幾何意義”教學為例[J].數學通報，2019，58（09）：43-46.

[2]陳久貴.函數與方程零點“牽手”魂——“函數與方程”教學實錄與反思[J].中學數學月刊，2012（04）：4-7.

[3]畢巧艷.基于手持技術的教學設計：簡單的線性規劃問題[J].數學之友，2017（01）：68-71.