利用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)形問題的策略分析

摘 要：函數(shù)圖像是研究函數(shù)性質(zhì)的載體，一般是先由圖像總結(jié)函數(shù)性質(zhì)，借助學(xué)習(xí)正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像的思路，利用函數(shù)性質(zhì)，解決函數(shù)圖像辨析、求參數(shù)問題以及導(dǎo)數(shù)中的壓軸題等與數(shù)形結(jié)合有關(guān)的問題。

關(guān)鍵詞：函數(shù)性質(zhì);圖像;數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想方法是高中解決函數(shù)問題的基本方法之一，中國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。要熟練利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，首先要作出圖像，有時函數(shù)值不易求出導(dǎo)致描點法局限性較大，利用函數(shù)圖像作圖為人們提供了新的方法。事實上，在教學(xué)高中數(shù)學(xué)人教A版必修④《正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像》這節(jié)內(nèi)容時，由于正切函數(shù)圖像的不連續(xù)性，教材采用先研究函數(shù)性質(zhì)，再根據(jù)性質(zhì)作出函數(shù)圖像解決問題的方法。學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，還可以利用導(dǎo)數(shù)研究更多的非基本初等函數(shù)的圖像問題，為數(shù)形結(jié)合解決問題提供了可行的方法，下面舉例說明。

一、 利用性質(zhì)辨析函數(shù)圖像

函數(shù)圖像的識辨也是高考的常考題型，首先整體觀察圖像，發(fā)現(xiàn)明顯不同，再決定（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖像的左右位置;從函數(shù)的值域，判斷圖像的上下位置;（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢;（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對稱性;（4）從函數(shù)的特征點等方面入手，排除不合要求的圖像篩選選項。

二、 利用函數(shù)性質(zhì)解決參數(shù)范圍問題

數(shù)形結(jié)合是解決方程的根、函數(shù)的零點問題的常見策略，盡可能轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)或常見函數(shù)類型，要盡可能將函數(shù)變形為人們熟悉的函數(shù)，再研究它的圖像。解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出函數(shù)圖像。對于熟悉的基本初等函數(shù)，作圖問題不大，若是不熟悉的較為復(fù)雜函數(shù)，就需要通過研究性質(zhì)作出圖像，這是一種重要的處理數(shù)形結(jié)合問題的典型方法。

三、 利用函數(shù)性質(zhì)，解決導(dǎo)數(shù)壓軸題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，做出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合解決導(dǎo)數(shù)壓軸題是常見策略。

類似的考查在全國高考中2014年，2015年，2017年，2020年都有。導(dǎo)數(shù)中的零點問題、極值問題，有時直接研究找不到突破口，如果能借助函數(shù)圖像得到大致范圍，再邏輯推理會使問題變得容易些。化抽象為直觀，從抽象到具體學(xué)生就能很好地接受。因此可以考慮作出滿足函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合就達(dá)到化抽象為直觀的目的，就能直觀反映所解決的問題。

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心知識之一，貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困難，要突破函數(shù)的學(xué)習(xí)，回歸函數(shù)本身，回歸函數(shù)圖像是一條學(xué)習(xí)之路，從初中的描點法作函數(shù)圖像到高中的利用性質(zhì)作圖像出發(fā)點不一樣但歸屬都是一樣的，利用圖像的直觀性就能較好地解決有關(guān)函數(shù)問題，因此先研究函數(shù)性質(zhì)再作出其圖像的方法是一條學(xué)習(xí)研究函數(shù)的路徑，學(xué)生應(yīng)該掌握。

作者簡介：李虹，新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市，新疆烏魯木齊市幸福中學(xué)。