概念構(gòu)建 提升素養(yǎng)

摘 要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成等教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要途徑;是學(xué)生扎實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本技能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是教學(xué)的核心之一，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的第一要素，文章以指數(shù)函數(shù)概念和對(duì)數(shù)概念為例，深度展示概念課例的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)突破難點(diǎn)，由此提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;指數(shù)函數(shù);對(duì)數(shù)概念

新課程改革強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)教育的基本理念是學(xué)生發(fā)展為本、立德樹人、提升素養(yǎng)，特別指出在課堂教學(xué)過(guò)程中無(wú)情境不教學(xué)的理念。如何利用數(shù)學(xué)課堂教學(xué)既培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能，又能提升學(xué)生的素養(yǎng)核心素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)的概念教學(xué)時(shí)尤其要強(qiáng)調(diào)情境教學(xué)，教學(xué)思路為創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)、數(shù)學(xué)知識(shí)理解、數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成等教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要途徑;數(shù)學(xué)概念教學(xué)是學(xué)生扎實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本技能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是教學(xué)的核心之一，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的第一要素。縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史表明數(shù)學(xué)不只是邏輯推理，還有實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面數(shù)學(xué)是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”隨著信息技術(shù)的發(fā)展，在課堂上可以融合信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以下以兩個(gè)數(shù)學(xué)概念教學(xué)案例具體說(shuō)明。

課堂案例1 指數(shù)函數(shù)的概念

課程標(biāo)準(zhǔn)：能夠在熟悉的實(shí)際問(wèn)題情境中，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，由具體到一般，抽象概括得出指數(shù)函數(shù)的概念。

活動(dòng)1 設(shè)置問(wèn)題情境、數(shù)據(jù)分析探路：

問(wèn)題1 （2019人教A版必修第一冊(cè)P111）比較A、B兩地景區(qū)2002年-2015年的游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？

研究問(wèn)題的思路：通過(guò)實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，為指數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)提供素材，回答了為什么要學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù);接著提出如何研究實(shí)際問(wèn)題的思路：提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題;具體可以通過(guò)定性研究到定量研究，數(shù)據(jù)分析到圖像分析，研究變量之間的變化規(guī)律。

借助Excel列表、畫出散點(diǎn)圖：

借助信息技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)分析，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖表和圖像的形成過(guò)程，通過(guò)圖像概括變量間的變化情況，學(xué)會(huì)用自然語(yǔ)言描述：線性增長(zhǎng)，非線性增長(zhǎng)。B景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長(zhǎng)，增長(zhǎng)率約為0.11。

活動(dòng)2 從特殊到一般、數(shù)學(xué)抽象成型

分析從1年后，2年后，3年后的游客人次，從特殊到一般的思維過(guò)程，歸納出經(jīng)過(guò)x年后的游客人次。

歸納得出經(jīng)過(guò)x年后的游客人次函數(shù)關(guān)系式為：y=278×（1+0.11）x，其中指數(shù)x是自變量。

這個(gè)環(huán)節(jié)從問(wèn)題情境中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，進(jìn)行探索，從特殊到一般的思維過(guò)程，且在運(yùn)算過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)的分解，最后歸納得一般的結(jié)論，符合高一學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)。布魯納指出：學(xué)生不是知識(shí)的接受者，而是積極的信息加工者。在這一環(huán)節(jié)中，教師通過(guò)引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和歸納推理能力，同時(shí)通過(guò)分解難點(diǎn)，建立分析問(wèn)題的模板，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的信心。

活動(dòng)3 構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、深化概念教學(xué)

問(wèn)題2的函數(shù)關(guān)系研究思路類比問(wèn)題1的活動(dòng)2的過(guò)程可得生物死亡年數(shù)x與死亡生物體內(nèi)碳14含量y的函數(shù)關(guān)系：

著名教育家夸美紐斯認(rèn)為：如果不先教明概念，便是教的不好。根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)，概念辨析是獲得概念的必須步驟，通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵與外延。因此在這一環(huán)節(jié)中，對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念進(jìn)行以下幾個(gè)方面進(jìn)行深化探究：

活動(dòng)4 總結(jié)研究思路、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)研究指數(shù)函數(shù)的概念的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行自主小結(jié)，可以利用思維導(dǎo)圖;也可以問(wèn)題串式小組進(jìn)行討論總結(jié)。比如問(wèn)題串式：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，用哪些研究方法？研究指數(shù)函數(shù)的基本思路是什么？你感受到了什么數(shù)學(xué)思想或者心得體會(huì)？小結(jié)的目的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)做中學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)與交流，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

課堂案例2 對(duì)數(shù)的概念

活動(dòng)1 回歸初心、問(wèn)題辨析

16世紀(jì)，天文學(xué)蓬勃發(fā)展，天文學(xué)家們每天要面對(duì)大量煩瑣的計(jì)算，如兩個(gè)較大數(shù)的連乘，比如：512×16384=？

問(wèn)1：請(qǐng)同學(xué)們不借助計(jì)算器，能否快速得出結(jié)果？接著展示下列表格：

問(wèn)2：借助表格數(shù)據(jù)，能否找到簡(jiǎn)化上述式子求解過(guò)程的方法？

因?yàn)?12=29，16384=214，因此512×16384=29×214=29+14=223=8388608，

問(wèn)題化歸為把因數(shù)寫成同底的指數(shù)冪的形式，轉(zhuǎn)化為求指數(shù)數(shù)值的和即可。

問(wèn)3：一般化，512×16384=2m×2n，求解m，n值。

問(wèn)4：更一般化，512×16384=10m×10n，求解m，n值。

問(wèn)5：方程512=10m是否有解？有幾個(gè)解？如何表示？

著名數(shù)學(xué)家丁石孫曾說(shuō)：“沒(méi)有問(wèn)題的學(xué)生不能算好學(xué)生。”問(wèn)題是創(chuàng)新的基石。這個(gè)環(huán)節(jié)從數(shù)學(xué)發(fā)展史引入，問(wèn)題設(shè)置接近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，情境材料具有探究性和趣味性，有利于學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、推理與交流等，讓學(xué)生的心理激發(fā)認(rèn)知的沖突，從而產(chǎn)生問(wèn)題意識(shí)，促進(jìn)探究學(xué)習(xí)，回答了為什么要學(xué)習(xí)新知識(shí)對(duì)數(shù)的概念。

活動(dòng)2 數(shù)形結(jié)合、探究求解

借助《幾何畫板》軟件探究方程512=10m的解問(wèn)題，讓學(xué)生有更直觀的認(rèn)識(shí)。為了畫圖探究的方便設(shè)置先探究方程

如圖點(diǎn)A的橫坐標(biāo)即方程2x=3的解，存在且唯一;同理方程512=10m的解存在且唯一。

本環(huán)節(jié)利用信息技術(shù)融合輔助教學(xué)，創(chuàng)設(shè)逼真的教學(xué)情境，直觀展示問(wèn)題的解，化抽象為直觀，數(shù)形結(jié)合思想的滲透，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

活動(dòng)3 溫故知新、類比推廣

問(wèn)1：方程2x=3解如何表示？

這個(gè)方程的解的表示超出已有的知識(shí)范圍，所以需要引入符號(hào)。教師引導(dǎo)回顧以前在學(xué)習(xí)解方程，當(dāng)遇到解超出數(shù)表示范圍是的情況：

問(wèn)2：將對(duì)數(shù)的概念一般化？

這個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)于對(duì)數(shù)符號(hào)的引入以溫故知新的形式產(chǎn)生，自然又不失單調(diào)，有類比推理，又為后面的對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算作鋪墊，學(xué)生的認(rèn)知也不會(huì)太突然，有符合學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”。由對(duì)數(shù)的概念可知，對(duì)數(shù)與指數(shù)密切相關(guān)。這是數(shù)學(xué)家歐拉在1770年出版的一部著作中首先使用log符號(hào)并指出“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”。然而對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，對(duì)數(shù)是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾于1614年出版《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書》標(biāo)志著對(duì)數(shù)的誕生。

數(shù)學(xué)家哈爾斯曾指出：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)需要教師進(jìn)行深度的挖掘，設(shè)置層層問(wèn)題情境，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為自己的概念，教師在整個(gè)教學(xué)過(guò)程起引導(dǎo)作用，創(chuàng)設(shè)概念的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程的問(wèn)題鏈，讓學(xué)生自主或以主體作用體會(huì)數(shù)學(xué)概念的形成，教師的引是關(guān)鍵，數(shù)學(xué)的探是主體，二者相輔相成。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成需要一個(gè)過(guò)程，平時(shí)教師在教學(xué)過(guò)程中需要不定時(shí)地引導(dǎo)滲透，根據(jù)不同數(shù)學(xué)概念內(nèi)容，教師一定要靈活設(shè)計(jì)，潛移默化的滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過(guò)數(shù)學(xué)概念課學(xué)習(xí)，讓學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：劉英得，福建省廈門市，福建省廈門市杏南中學(xué)。