神奇的自然常數e和一個重要極限

楊安平 周金剛

摘 要：極限的運算是高等數學的三大基本運算之一，本文闡述了自然常數e的發現過程，高等數學中的一個重要極限的證明和應用。

關鍵詞：自然常數，重要極限，核心地位

中圖分類號：G633

世界上原本沒有數學，只有十個數字，甚至這十個數字也是阿拉伯人發明的。數學是人們在認識自然和改造自然的過程中產生的，為了計數，人們發明了數字。用字母代替數字，產生了代數學。為了求圖形的面積，產生了幾何學，隨著人類文明的進步，科技的發展，逐漸出現了微積分學，概率和數理統計學，線性代數學，復變函數論等數學分支。數學來源于生活，它又為我們的生活服務。

在1690年，萊布尼茨在信中第一次提到常數e。在論文中第一次提到常數e，是約翰·納皮爾（John Napier）于1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德（William Oughtred）制作。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）。歐拉也聽說了這一常數，所以在27歲時，用發表論文的方式將e“保送”到微積分。

已知的第一次用到常數e，是萊布尼茨于1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數;而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（Mechanica）。雖然以后也有研究者用字母c表示，但e較常用，終于成為標準。以e為底的指數函數的重要方面在于它的函數與其導數相等。e是無理數和超越數（見林德曼-魏爾斯特拉斯定理（Lindemann-Weierstrass））。這是第一個獲證的超越數，而非故意構造的（比較劉維爾數）;由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）于1873年證明。其實，超越數主要只有自然常數e和圓周率π。自然常數的知名度比圓周率低很多，原因是圓周率更容易在實際生活中遇到，而自然常數在日常生活中不常用。

這里以一個銀行存款的例子簡單描述一下：我們在銀行存款是有利息的，而利息和本金一起，賺取更多的利息。當然，銀行不是慈善家，銀行的定期利息是很低的。

通過以上學習，我們認識自然常數的來歷和重要公式的證明及應用，教師在講解一個知識點時，要用生動的例子引入課題，探究事物的本質，從而提高學生學習數學的興趣，激發學生的想象力和創造力。

參考文獻：

[1]ELIMAOR.E的故事[M].北京：人民郵電出版社，2012.

（黃岡科技職業學院 湖北黃岡 438000）