一道高考試題的啟示

朱建

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)高度抽象的思維產(chǎn)物.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不能脫離具體的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，需要在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)思想方法的掌握過程中，通過逐步積累、領(lǐng)悟、內(nèi)省形成.也就是說，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升離不開教師的合理引導(dǎo).教師“教什么”“怎么教”，很大程度上影響著學(xué)生將具備怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng).近幾年高考數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)是新穎靈活，基本沒有偏題怪題，具有選拔性，深入研究可有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).比如2013年高考數(shù)學(xué)理科全國卷Ш第21題，滿分12分，學(xué)生得分情況：全省0.01%的學(xué)生得了12分;0.01%的學(xué)生得了11分;0.02%的學(xué)生得了10分;第（1）問5分，得5分的學(xué)生為23.67%;最低分0分;平均分2.53分.

原題呈現(xiàn)：已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m），

（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0.

第（1）問，由極值點(diǎn)求出m的值為1，進(jìn)而研究函數(shù)f（x）=ex-ln（x+1）的單調(diào)性，大多數(shù)學(xué)生在思維上沒太大問題，只是部分學(xué)生在求導(dǎo)計(jì)算的時(shí)候出了問題.第（2）問是本題，也是整張?jiān)嚲淼囊粋€(gè)難點(diǎn)，得分率不高，但仍有部分學(xué)生在緊張而激烈的競(jìng)爭(zhēng)中使用恰當(dāng)?shù)姆椒ńo出了正確的解答.現(xiàn)在，我們跟著這些學(xué)生的思路回顧一下當(dāng)時(shí)的場(chǎng)景，希望他們的思維過程可以給我們的教學(xué)一些啟發(fā).

解法一：

m≤2，x∈（-m，+∞）時(shí)，ln（x+m）≤ln（x+2），

故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，f（x）>0.

當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f ′（x）=ex-在（-2，+∞）單調(diào)遞增.

又f ′（-1）<0，f ′（0）>0，

故f ′（x）=0在（-2，+∞）有唯一實(shí)根x，

且x∈（-1，0），當(dāng)x∈（-2，x）時(shí)，f ′（x）<0;

當(dāng)x∈（x，+∞）時(shí)，f ′（x）>0，

從而當(dāng)x=x時(shí)，f（x）取得最小值.

由f ′（x）=0得ex0=，ln（x+2）=-x，

故f（x）≥f（x）=+x=>0.

綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）>0.

這種解法的巧妙之處是利用不等式的性質(zhì)，采用放縮法證明ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2）>0即可.想到了這一點(diǎn)問題就得以解決了，但是如何想到只需證明m=2呢？

證明ex-ln（x+m）>0即ex>ln（x+m），學(xué)生便會(huì)想起畫圖，利用圖形的直觀性來解決問題.學(xué)生容易畫出y=ex的圖象，而y=ln（x+m）是由y=lnx向左或者向右平移得到的.

當(dāng)m≤0時(shí)，y=ln（x+m）由y=lnx向右平移|m|個(gè)單位得到，從圖中可以看出y=lnx向右平移都滿足y>y，而當(dāng)m>0時(shí)，y=ln（x+m）由y=lnx向左平移m個(gè)單位得到.從下圖中可以看出y=lnx在平移過程中，首先是滿足y>y的，但有可能出現(xiàn)y=ln（x+m）的圖象在y=ex的上方，主要由m的值決定，但m≤2，若m=2成立，則y>y必然成立，所以想到了證明：ex-ln（x+2）>0.

解題反思：回顧解法一，主要綜合利用數(shù)形結(jié)合的思想、放縮法、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，將問題解決.從中可以看出新課標(biāo)的試題已不是簡(jiǎn)單的知識(shí)應(yīng)用，更多的是考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題以某個(gè)知識(shí)點(diǎn)為載體呈現(xiàn)，既考查了知識(shí)點(diǎn)，又對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行考查.思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，其實(shí)也是最高境界，又是數(shù)學(xué)的真諦.知識(shí)點(diǎn)、運(yùn)算只是能力考查的一個(gè)軀殼.這與新課標(biāo)提出的理念“對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)是螺旋式上升，逐步達(dá)到考查的要求”是相符的.我們的教學(xué)也應(yīng)該尊重科學(xué)，尊重課標(biāo)，尊重考高，有的放矢，少走彎路，不能僅憑經(jīng)驗(yàn)來教學(xué).高分再也不是狂練題可以得到的，教師必須在教授各塊知識(shí)時(shí)，提高到思想方法的層面，站在一定的理論高度上，以不變應(yīng)試題的萬變，用思想方法來指導(dǎo)解題.

解法二：

f（x）=ex-ln（x+m）定義域?yàn)椋?m，+∞），

f ′（x）=ex-，

f ′（x）在（-m，+∞）單調(diào)遞增.

當(dāng)x→-m時(shí)，f ′（x）<0;

當(dāng)x→+∞時(shí)，f ′（x）>0且f ′（x）在（-m，+∞）連續(xù)，

故存在x使得f ′（x）=0，則e-=0.

當(dāng)x∈（m，x）時(shí)，f ′（x）<0，

當(dāng)x∈（x，+∞）時(shí)，f ′（x）>0，

從而當(dāng)x=x時(shí)，f（x）取得最小值.

由f ′（x）=0得e=，ln（x+m）=-x，

f（x）=f（x）=e-ln（x+m）

=-lne

=+x

=+（x+m）-m.

∵x+m>0，

∴f（x）≥2-m，當(dāng)且僅當(dāng)=x+m時(shí)等號(hào)成立;x+m=±1而x+m>0.

∴x+m=1.

此時(shí)e-ln（x+m）=2-m，

e=2-m，

e=x+1當(dāng)x=0時(shí)成立，此時(shí)m=1.

而m≤2，f（x）≥2-m≥0，此時(shí)等號(hào)成立m=2，

不能同時(shí)滿足兩個(gè)地方等號(hào)成立，

∴f（x）>0，

綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）>0.

解題反思：第二種解法與第一種相比較，追求的是通性通法，不追求技巧，只要計(jì)算能力達(dá)到要求都能解決問題.按照許多人思考問題的過程，逐步解決問題，在解決問題的過程中不斷發(fā)現(xiàn)問題，最后利用函數(shù)的性質(zhì)、不等式的知識(shí)將問題解決.從求解的過程可以看出：知識(shí)點(diǎn)的交匯處是出題的著眼點(diǎn)，也是考查的重點(diǎn).如何將幾個(gè)看似不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，需要學(xué)生有較好的遷移能力.這也就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中不能死板，不可模式化地教授數(shù)學(xué)知識(shí).教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高實(shí)踐能力.

解法三：

當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）的定義域x∈（-m，+∞）.

令g（x）=ex-（x+1），

h（x）=ln（x+m）-（x+1），

g ′（x）=ex-1.

令g′（x）=0，則x=0

∴g（x）在（-m，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增.

∴g（x）=g（0）=0，

∴g（x）≥0即ex≥（x+1）當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

h′（x）=-1=，

令h′（x）=0則x=1-m.

∴h（x）在（-m，1-m）單調(diào)遞增，在（1-m，+∞）單調(diào)遞減.

∴h（x）=h（1-m）=m-2≤0.

當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=1-m=-1.

∴h（x）<0即ln（x+m）≤（x+1）.

∴ex≥ln（x+m）而兩個(gè)式子等號(hào)成立的條件不一樣，故不能取等號(hào).

∴ex>ln（x+m）

綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）>0.

解題反思：第三種解法巧妙地選擇第三個(gè)函數(shù)作為中間量，讓難以比較大小的兩個(gè)函數(shù)都與第三個(gè)函數(shù)進(jìn)行比較，進(jìn)而得到我們要的結(jié)論.其實(shí)第三種方法與第一種方法如出一轍，第一種方法是進(jìn)行數(shù)值的放縮，而第三種方法是函數(shù)的放縮.試題表面上考的是函數(shù)，其實(shí)函數(shù)所涉及的知識(shí)并不是很難，主要是考查不等式的證明及數(shù)學(xué)的思想方法.

從三種解法中可以看出，此題要求學(xué)生不僅要有過硬的計(jì)算能力，還要掌握良好的思想方法.學(xué)知識(shí)不能靠死記硬背，不能拘泥于形式，要打破常規(guī)，重組知識(shí)，關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的交匯.不同學(xué)科的知識(shí)、同學(xué)科不同塊的知識(shí)之間，需要我們用思想方法將他們串聯(lián)起來.我們應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程.這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行思考和作出判斷.新課改之下，學(xué)生要取得優(yōu)異的成績(jī)，靠題海戰(zhàn)術(shù)已經(jīng)不能達(dá)到目的，必須具備良好的學(xué)科核心素養(yǎng).教師的教學(xué)也應(yīng)該尊重科學(xué)，尊重課標(biāo)，尊重考高，有的放矢，少走彎路，不能只憑經(jīng)驗(yàn).

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，要求教師要更新觀念，培養(yǎng)并提升核心素養(yǎng)，不能依賴模仿、記憶，更需要理解、感悟，需要主動(dòng)、自覺，將以學(xué)生為本的理念與教學(xué)實(shí)際有機(jī)結(jié)合.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇