2020年昆明市初中數學學業水平考試試題分析與評價

王學先 吳禹杰

一、試卷的總體情況

2020年昆明市初中數學學業水平考試試題功能性明確，堅持能力立意的命題原則，試題注重對學生數學“核心素養”的考查，滲透數學文化，強調通性通法，重視數學知識的靈活應用，體現了數學的科學價值和理性價值.題目設計樸實巧妙，重點關注數學知識的應用，涉及了學生生活中許多熱點問題，在全面考查課程標準規定的義務教育階段的數學核心內容、核心知識的基礎上，注重對基礎知識、基本能力和基本思想方法的考查，關注對數學活動過程和活動經驗的考查，加強了探究性問題的設計與應用，重視思想方法的體現和綜合能力的運用.

2020年昆明市初中數學學業水平考試試題與往年相比，區別在創新幅度大，如第6題考查數字規律;第9題考查計算器的使用及實數大小的估計;第14題考查推理與操作;第19題考查函數圖象與實際問題;第20題考查尺規作圖;第21題引入了數學文化與實際問題;第23題是以折疊為背景的幾何綜合探究問題，主要考查了利用矩形的性質、相似三角形的性質、勾股定理的性質，綜合考查了學生的數學素養.整套試題體現“把握基礎、穩中求變、變中有新、關注應用、突出能力”的命題特點，有利于高級中學選拔優秀人才，有利于引導中學數學教學.

二、試卷的內容分布情況

昆明市初中數學學業水平考試試題內容比例

如上表，試題覆蓋面廣，考查到數與代數、圖形與幾何、統計與概率三個領域的內容分值分別是53分、49分和18分，占比約為44%、41%和15%.這與整個初中階段數學知識在三個領域的課時比例吻合度極高，如解答題中沒有對實數運算、平移旋轉軸對稱作圖題進行獨立設題考查;引入了數學文化試題并與數學知識考查結合緊密（第5題）;對二次函數的考查要求也相對較低（第22題）;解直角三角形知識注重對學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的考查（第21題）;壓軸題以教材中的數學活動為素材，以四邊形為背景，體現了很強的探究性（第23題）.

三、試題評價與分析

1.考查能力的要求

知識技能：能熟練掌握基礎知識，能準確、清晰地把握各個知識點之間的聯系，注重知識之間的靈活應用（如第14、23題）.

數學思考：能運用相關數學知識、對具體問題中的關系、變化規律有積極的思考，并及時給出相關解決方法和策略，對相應問題進行探究，給出合理的解釋（如第20、23題）.

問題解決：會運用已有的知識經驗，解決新情境中的數學問題（如第19、21題）.

情感態度：對于來自生活的、科技及社會領域中的簡單實際問題，能靈活運用基本的數學模型，熟練使用有關方法解決相關問題.同時，在閱讀材料中了解我國國情，增強愛國意識和民族自豪感（如第9、19、21題）.

2.知識覆蓋率：87%左右

（1）數與代數：考點70個左右

涉及考點數量：64個.其中未涉及的考點有6個：①運用有理數解決簡單問題;②無理數、實數的概念，實數與數軸上的點的一一對應關系;③乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的推導;④乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的幾何背景;⑤一次函數與二元一次方程的關系;⑥二次函數的實際應用.

（2）圖形與幾何：考點105個左右

涉及考點數量：89個.其中未涉及的考點有16個：①兩點之間線段最短;②角的單位換算;③過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線;④平行于同一條直線的兩條直線平行;⑤三角形的穩定性;⑥四邊形的不穩定性;⑦等圓、等弧;⑧圓錐的側面積和全面積;⑨反證法;⑩認識并欣賞自然界和現實生活中的中心對稱圖形; [1][1]平移的基本性質：一個圖形和它經過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等; [1][2]認識并欣賞平移在自然界和現實生活中的應用; [1][3]黃金分割; [1][4]直棱柱、圓錐的側面展開圖; [1][5]基本幾何體與其三視圖、展開圖在現實生活中的應用; [1][6]建立適當的平面直角坐標系描述物體的位置.

（3）統計與概率：考點20個左右

涉及考點數量：16個.其中未涉及的考點有4個：①扇形統計圖;②平均數的意義;③通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機現象的變化趨勢;④知道通過大量的重復試驗時的頻率可以作為事件發生概率的估計值.

（4）綜合與實踐：考點5個左右

3.核心知識點覆蓋率：92.7%左右

《云南省初中學業水平標準與考試說明》的層次有四個知識技能要求，分別是了解、理解、掌握、運用;過程性要求有三個分別是：經歷、體驗、探索.其中知識技能要求理解、掌握的知識點總計110個，考查到的為102個，占比92.7%左右（分布如下圖），未涉及的考點有以下幾個：①二次函數的實際應用;②過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線;③直角三角形的判定;④圓錐的側面積和全面積;⑤利用基本作圖方法作三角形;⑥扇形統計圖;⑦建立適當的平面直角坐標系描述物體的位置;⑧兩點之間線段最短.

4.難易程度、區分度、梯度的設計

試題難度按照《云南省初中學業水平標準與考試說明》要求進行設置.

5.亮點解讀

（1）源于教材，回歸生活

試卷中的第23題由《數學》人教版八年級下冊第64頁數學活動中的活動1改編而來.通過折紙的過程，引發學生思考，并研究折痕所在的位置不同，尋求新的探究方向，從而得到一些源于教材，卻升華教材的活動體驗.

試卷中的第5題由《數學》人教版九年級上冊第108頁綜合運用第5題改編而來.通過求一個正六邊形螺帽擰動后扳手尾部所走過的路徑長，充分考查了圓與正多邊形的知識（基礎知識），旋轉的作圖（基本技能）、旋轉路徑對學生空間想象力的培養（基本思想），以及生活中扳手的正確使用方法（基本活動經驗）.

（2）重動手，善用數學工具

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出要充分考慮信息技術對數學學習內容和方式的影響，注重實效.如第9題考查學生用計算器計算特殊三角函數值，引導學生正確使用計算器;第20題看似簡單，但認真做下來學生卻發現其涵蓋知識點豐富，注重考查動手能力，還考查了尺規作圖、幾何演繹推理、一題多解、運算能力等.

（3）閱讀新聞熱點，構建數學模型，增強民族自豪感

試卷中第21題講述了中國登山隊用中國科技定義世界新高度——時隔60年再次測量珠峰高度的新聞.通過對測量方法的介紹，給出實際生活中的例子，從中抽取數學模型，并用閱讀得到的信息，進行加工處理，從而得到正確解答.這個解答的過程不但有助于培養學生初步形成模型思想，還能進一步激發學生的學習興趣和民族自豪感，提高學生的應用意識.

（4）網格作圖似有限，探究創新真無限

試卷中第14題要求學生在一個有限的6×6網格中作相似三角形.三角形較特殊，為等腰三角形.這道題，首先看似有限地考查了學生的畫圖能力，可細看會發現，較容易畫出的圖形只有4個，實則6個，看似簡約卻不簡單.教師應該反思，剩下的2個圖形在哪里？應該怎么畫？原理是什么？把網格擴大，還會有幾個？是否可以把等腰三角形換成等邊三角形、直角三角形……我們應該如何引導學生去做此類題？這些問題都是值得教師深入探究的.

四、教學建議和教學策略探索

云南省初中學業水平考試命題要求設置易、中、難題目分值比例為7∶2∶1.也就是說初中學業水平考試數學學科有分值為70%的題目是基礎題，20%的題目是中等題，10%的題目是較難題.在數學課堂教學中，教師要面向全體學生，踏實做好基礎知識的教學工作，切實抓好基本概念、基本性質、基本技能和基本思想方法的教學工作.在這里筆者特別提出如下建議.

（一）重視基礎知識、基本技能的教學

“知識技能”既是學生發展的基礎性目標，又是落實“數學思考”“問題解決”“情感態度”目標的載體.學生應全面掌握數學知識點.在2021年起取消學業水平考試說明后，中考數學更要全面考核學生對數學基礎知識和基本技能的理解和掌握程度，所以建議教師教學時要注重概念教學，注意數學與生活的聯系，運用數學分析解決生活中的問題，特別是引導學生多關注生活中的數學問題，注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯，重視夯實學生的基礎知識和基本技能.在基本技能的教學中，教師不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理.同時，也建議學生要做好筆記累積，定時回頭復習，不留知識缺陷.

（二）落實課程標準的能力要求，強化數學問題過程方法的教學

從今年昆明市初中學業水平考試試題來看，有些題目特別注重對學生探究能力的考查，對學生“作圖、讀圖、用圖”的能力有更高的要求.教師在重視對學生基礎知識、基本技能和常用的數學思想方法培養的同時，要更加關注對學生一般能力和數學能力的培養.從命題的趨勢看，試題不僅考查了觀察、分析、歸納、類比，以及算法算理、推理證明等能力，還強化考查了學生的創新意識和創新能力.因此，教師要重視對數學知識形成過程的教學，尤其要注重對學生探索性思維能力和創新意識的培養，提高知識遷移能力、綜合運用能力，積累數學活動經驗.在中考數學命題中，區分度大的題目往往綜合性較強，需要考生在充分掌握各類基礎知識的前提下，靈活運用多個知識點和多種方法解決數學問題.教學中，教師要引導學生自主學習，注重結合具體的學習內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生、發展過程，體驗各種數學活動過程的結果，注重學生動手能力的培養.所以，教師在教學過程中要強化數學問題過程方法的教學.

（三）尊重學生的學習風格，讓數學核心素養落地

教學中，教師應努力給學生創造多元、開放，適合探索、思考和表現自己的機會和空間，所設計的問題應關注學生各自的數學認知心理特征，關注學生已有的數學經驗，尊重各種不同的解答問題的方法，尊重學生的意見和表達方式，鼓勵學生的創新欲望.在此基礎上，以學科核心素養為統領，核心內容為載體，思想方法為主線，能力培養為目的，將核心素養落實在學科教學中是關鍵，也是一項長期而艱巨的任務.發現問題、提出問題、分析問題和解決問題是培養學生核心素養的關鍵.教師需要“提出好問題”和“提好每個問題”，通過問題引導教學落實學生的核心素養，以教學設計為切入點，以單元（板塊）為整體，從學科核心內容出發，用能突出學科核心素養的幾個大問題（或活動、材料等）貫穿整個單元（板塊）的教學，形成總體呈上坡態勢的“大問題串”.教師再針對每個大問題，用若干個小問題逐步啟發學生思考，形成總體呈下坡態勢的“小問題串”，以保持思考力水平不下降，讓學生經歷數學學習的過程，找到數學學習的方法，悟到數學的思想，并使其內化成一種數學的智慧.

（四）教學策略探索

例1 （2020年·昆明市·15）計算：12021-+（π-3.14）0-（-）-1.

分析：本題綜合了1的奇數次冪、立方根、零指數、負整數指數，以及有理數的運算方面的知識.教材中盡管沒有出現過這樣的題目原型（將該題目分解幾個小部分后，在教材中就可以找到原型），但在以前的學業水平考試試卷和考試說明中此類題目隨處可見.在備考復習時，教師可以將知識分成求絕對值、乘方運算、求算術平方根、負整數指數冪的運算等部分專題訓練學生，尤其要讓學困生做到過關.教師要做到面批面改，及時輔導.同時，教師也可以充分借助小組互助的形式，讓一些學習好的學生輔導學習較差的學生，讓學生建立錯題本，及時糾正錯誤.教師要重點講解學生犯的典型錯誤，講解后要及時檢測學生的學習效果，這需要教師能夠針對性出題，以達到學生準確快速計算的效果，增強學生的成功體驗.這需要教師構建以學定教，以學生為主體，以教師為主導，以訓練為主線的高效課堂.

例2 （2020年·昆明市·16）如圖，AC是∠BAE的平分線，點D是線段AC上的一點，∠C=∠E，AB=AD.

求證：BC=DE.

分析：教師在復習“三角形全等的性質和判定”時，可以用“一題一課”的方式進行教學設計，利用一個背景將這部分知識貫穿其中，設計一題多解、多解一題、開放問題、變式問題等，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的實質中探求“變”的規律.深刻地講透一道題，可以教學生學會從多角度思考問題，靈活地找到問題的突破口，由一題橫縱聯系各章節的知識與方法，完善知識方法體系，達到“知一題會一類”的效果，使知識生成合理自然，達到找準核心，回歸本質，形成邏輯鏈的目標.如本題可用“AAS”或“ASA”證明.教師可以通過變換條件將本題設計為利用“SAS”“SSS”，以及“HL”進行證明的試題，還可以利用平移、旋轉等變換，將試題求解結論跟圖形的位置、數量建立聯系，從而綜合復習三角形的相關知識，形成知識間的橫縱聯系.

五、需要進一步商榷的問題

1.同類題型設計不盡合理，如選擇題中第8、10、13題，每個題四個選項均代表了不同的知識點，屬于多結論問題，增加了學生的思考時間，出現用時過長的狀況.

2.個別選擇題選項設置不合理，第14題是操作探索題，能找出6種情況實屬不易，但有一個選項為“7種”，讓找對結果的優秀學生不放心所做的結果，繼續思考，不敢輕易作答.此題選項設置不利于優秀學生的選拔，從考試結果看也體現效度太差.

3.整卷試卷運算量較大，如第12、14、21、22、23題，出現一部分考生沒完成答卷的情況.

◇責任編輯 邱 艷◇