立足基本模型 突破函數綜合

楊昆華

函數是高中數學內容的主干知識，是高考考查的重點.函數問題多與導數、數列、不等式相結合，側重考查理解和應用，突出考查函數與方程的思想、數形結合的思想、分類討論的思想等數學思想方法，體現能力立意的高考命題原則.

由于函數考查的綜合性強，方法靈活，數學能力要求高，所以在歷年的高考中函數的綜合問題均以壓軸題的形式出現，其中函數與不等式的證明是高考數學的重點和難點.如何突破這一難點？一個重要的辦法是立足基本模型，挖掘模型背后的數學本質，把復雜的問題分解為幾個小的簡單問題，以達到轉化問題、解決問題的目的.

一、源于教材，挖掘基本模型的數學本質

人民教育出版社高中新課程教材理科《數學》（選修2-2）第32頁，文科《數學》（選修1-1）第99頁，都有這樣的問題：利用函數的單調性，證明下列不等式：

（1）ex>x+1（x≠0）;（2）lnx0）.

看似簡單的練習，其實背后隱藏著深刻的數學本質.首先，我們來看第一個不等式ex>x+1（x≠0）.不等式的右邊表示直線y=x+1，而該直線就是函數f（x）=ex在x=0處的切線，當x=0時取“=”號.從圖象的直觀性來看，直線y=x+1位于f（x）=ex的圖象的下方，在x=0處相切，如圖1.

同理，另一個不等式lnx

綜合不等式ex≥x+1和lnx≤x-1可得：涉及指數函數f（x）=ex與對數函數f（x）=lnx相關綜合的不等式，可借助一次函數y=x±1及夾在兩直線y=x±1間與之平行的直線過渡，從而達到轉化的目的，如圖3.

其實，兩個重要的不等式ex≥x+1和lnx≤x-1更可追溯到高等數學的泰勒展開式ex=1+x++……，ln（x+1）=x-+…….泰勒展開式很好地把超越函數與中學的初等函數聯系起來，而找到超越函數與初等函數的聯系，往往是導數命題的重要形式.截取泰勒展開式的片段，可得不等式ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）.所以，我們可把不等式ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）作為轉化與劃歸的基本模型.

二、應用基本模型，巧妙破解函數綜合問題

例1（2018年全國卷Ⅰ文科·21）已知函數f（x）=aex-lnx-1.

（Ⅰ）x=2是f（x）的極值點，求a，并求f（x）的單調區間;

（Ⅱ）證明：當a≥，f（x）≥0.

分析：重點分析第（Ⅱ）問，因為a≥，所以aex-lnx-1≥ex-1-lnx-1.如果能證明ex-1-lnx-1≥0，則f（x）≥0.從要證明的不等式ex-1-lnx-1≥0的結構來看，含有指數函數和對數函數的形式，再聯想基本模型ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0），由ex≥x+1得ex-1≥x①，由lnx≤x-1得-lnx≥1-x②，所以①②相加得ex-1-lnx≥1，所以ex-1-lnx-1≥0成立，所以f（x）=aex-lnx-1≥ex-1-lnx-1≥0，即f（x）≥0.

例2（2018年全國卷Ⅲ文科·21）已知函數f（x）=.

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，-1）處的切線方程;

（Ⅱ）證明：當a≥1時，f（x）+e≥0.

分析：重點分析第（Ⅱ）問，要證明f（x）+e≥0，即證明ex+1

+ax2+x-1≥0，不等式的左邊含有指數型和二次函數型，再聯想基本模型ex≥x+1，由ex≥x+1得ex+1≥x+2.所以，若能證明（x+2）+ax2+x-1≥0，即證明ax2+2x+1≥0成立，那么f（x）+e≥0成立.由于ax2+2x+1=a（x+）+（1-），而a≥1，所以ax2+2x+1≥1-≥0.這樣，f（x）+e≥0就得到了證明.

從2018年全國卷Ⅰ和Ⅲ文科最后的函數綜合壓軸題的命題特點來看，函數模型立足指（對）數函數與多項式函數間的聯系.把復雜問題轉化為簡單的基本問題是解決問題的關鍵，而兩個基本模型ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）起到了構造函數及不等式的重要作用.

三、強化模型意識，研究函數綜合問題的命題思路

函數與不等式的綜合，尤其是復雜不等式的證明，構造函數轉化是關鍵.兩個基本模型ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）是基礎，但基本模型往往在問題中比較隱蔽.這就需要我們有構造模型的意識，牢牢抓住轉化與劃歸的思想方法，把復雜的問題轉化為我們熟悉的基本問題來處理.在平時的訓練中，教師以高考真題做變式可起到強化學生模型意識的作用.

例3 已知函數f（x）=.

（Ⅰ）求f（x）的單調區間;

（Ⅱ）設g（x）=x（x+1）f ′（x）（其中f ′（x）為f（x）的導函數），證明：對任意x>0，g（x）<1+e-2.

分析：重點分析第（Ⅱ）問，由g（x）=x（x+1）=，不等式的左邊含有指（對）數型，觀察到形式，聯想基本模型ex≥x+1，由ex≥x+1得<1，所以可以考慮放縮;又關注到1-x-xlnx的正負，所以需要分類討論.①當x≥1時，1-x≤0，lnx≥0，x+1>0，ex>0，所以g（x）≤0<1+e-2.②當00;當x∈（e-2，1）時，p′（x）<0.所以，當00，g（x）<1+e-2恒成立.

例4 （2017年全國卷Ⅲ理科·21）已知函數f（x）=x-1-alnx.

（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值;

（Ⅱ）設m為整數，且對于任意正整數（

1+）（

1+）…（1+）

分析：第（Ⅰ）問的本質就是基本模型lnx≤x-1（x≥0），而第（Ⅱ）問體現了基本模型在構造函數、賦值比較大小上的重要作用，體現了高等數學學習所需要的數學思想.從中我們可以看到lim（

1+）=e這一高等數學中的重要極限的影子.

◇責任編輯 邱 艷◇