例談函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題分類(lèi)討論策略

陳仁華

分類(lèi)討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生把好“四關(guān)”，即深刻理解基本知識(shí)與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)”;找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把好“分類(lèi)關(guān)”;保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”;注意對(duì)照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)”.在這里筆者以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題為例談?wù)勥\(yùn)用分類(lèi)討論思想解題的策略.

策略一：根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)或二次項(xiàng)系數(shù)確定分類(lèi)“界點(diǎn)”

【例1】已知f（x）=lnx，設(shè)A（x，lnx），B（x，lnx），且x

（1）設(shè)g（x）=f（x+1）-ax，其中a∈R，試求g（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）試判斷弦AB的斜率k與f ′（x）的大小關(guān)系，并加以說(shuō)明.

【解析】（1）g（x）=ln（x+1）-ax，定義域?yàn)椋?1，+∞）.g ′（x）=-a=.①當(dāng)a≤0時(shí)，由x>-1得g ′（x）>0，此時(shí)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞）;②當(dāng)a>0時(shí)，由-10，由x>-1得g ′（x）<0，此時(shí)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，-1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）.

（2）k==，f（x）==，則k-f ′（x）

=（ln-2×）=（ln-2×）.∵01.令=t>1，則k-f ′（x）=（lnt-2×）.令h（t）=lnt-2×（t>1），h ′（t）=-=>0，∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴由t>1得h（t）>h（1）=0，又∵x0，∴k>f ′（x）.

【點(diǎn)撥】在例1中，g′（x）的函數(shù)值符號(hào)由函數(shù)φ（x）=-ax-a+1（x>-1）的函數(shù)值符號(hào)決定.

（1）當(dāng)-a=0，即a=0時(shí)，φ（x）=1（x>-1）.

（2）當(dāng)-a≠0，即a≠0時(shí)，函數(shù)φ（x）零點(diǎn)為x=-1+，再按-1+與-1的大小分類(lèi)：①當(dāng)a<0時(shí)，-1+<-1;②當(dāng)a>0時(shí)，-1+>-1.

策略二：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)大小確定分類(lèi)“界點(diǎn)”

【例2】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2

-（4a+1）x+4a+3ex.

（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，求a;

（2）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

【解析】（1）∵f ′（x）=ax2

-（2a+1）x+2ex，∴f ′（1）=（1-a）ex，由題設(shè)可知f ′（1）=0，解得a=1，∴a的值為1.

（2）f（x）定義域?yàn)镽，f′（x）=ax2

-（2a+1）x+2ex=（ax-1）（x-2）ex，設(shè)g（x）=ax-（2a+1）x+2=（ax-1）（x-2）.

當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-x+2，由x<2得g（x）>0，f ′（x）>0，由x>2得g（x）<0，f ′（x）<0，此時(shí)f（x）在x=2處取得極大值，不符合題意.

當(dāng)a≠0時(shí)，令f ′（x）=0得g（x）=0，解得x=或x=2.

①當(dāng)=2，即a=時(shí)，g（x）=（x-2）2，由x∈R得g（x）≥0，f ′（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立），此時(shí)f（x）在R上單調(diào)遞增，f（x）沒(méi)有極值，不符合題意.

②當(dāng)<2，即a<0或a>時(shí)，其中：

若a<0時(shí)，由x<或x>2得g（x）<0，f ′（x）<0，由0，f ′（x）>0，此時(shí)f（x）在x=2處取得極大值，不符合題意;

若a>時(shí)，由x<或x>2得g（x）>0，f ′（x）>0，由

③當(dāng)>2，即0得g（x）>0，f ′（x）>0，由2

綜上所述，a的取值范圍是（，+∞）.

【點(diǎn)撥】在例2中，f ′（x）的函數(shù)值符號(hào)由函數(shù)g（x）=ax2-（2a+1）x+2的函數(shù)值符號(hào)決定.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-x+2.

（2）當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)和2，再按與2的大小分類(lèi)，即①=2，②<2，③>2.

策略三：根據(jù)判別式符號(hào)確定分類(lèi)“界點(diǎn)”

【例3】已知函數(shù)f（x）=x-+a（2-lnx），a>0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

【解析】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f ′（x）=x-+a（2-lnx）=1+-=.設(shè)g（x）=x2-ax+2，一元二次方程g（x）=0的判別式Δ=a2-8.

①當(dāng)a>0

Δ<0，即00得g（x）>0，f ′（x）>0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增;

②當(dāng)a>0

Δ=0，即a=2時(shí)，僅有g(shù)（）=0，f ′（）=0，對(duì)x>0且x≠，g（x）>0，f ′（x）>0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a>0

Δ>0，即a>2時(shí)，方程g（x）=0有兩不等實(shí)根x=，x=，且0x得，g（x）>0，f ′（x）>0，由x

綜上所述，當(dāng)02時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，）和（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（，）.

【點(diǎn)撥】在例3中，f ′（x）的函數(shù)值符號(hào)由函數(shù)g（x）=x2-ax+2的函數(shù)值符號(hào)決定，方程g（x）=0的判別式為Δ=a2-8，按Δ的符號(hào)分類(lèi)討論，即①Δ<0，②Δ=0，③Δ>0.

策略四：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)與定義域的關(guān)系確定分類(lèi)“界點(diǎn)”

【例4】已知函數(shù)f（x）=（a-1）lnx--x（a∈R）.

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程;

（2）若函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值為-2，求實(shí)數(shù)a的值.

【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx--x，f ′（x）=+-1，f（2）=ln2-3，f ′（2）=0，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程y=ln2-3.

（2）f ′（x）=+-1=（1≤x≤3），設(shè)g（x）=-（x+1）（x-a），令f ′（x）=0，即g（x）=0得x=-1（舍）或x=a.

①當(dāng)a≤1時(shí)，由1≤x≤3得g（x）≤0，f ′（x）≤0，∴f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，此時(shí)f（x）=f（1）=-a-1=-2，解得a=1;

②當(dāng)a≥3時(shí)，由1≤x≤3得g（x）≥0，f ′（x）≥0，∴f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）=f（3）=（a-1）ln3--3=-2，解得a=<3，舍去;

③當(dāng)10，f ′（x）>0，由a

綜上所述，a=1或a=e.

【點(diǎn)撥】在例4中，f ′（x）的函數(shù)值符號(hào)由函數(shù)g（x）=-（x+1）（x-a）的函數(shù)值符號(hào)決定，f ′（x）的零點(diǎn)即g（x）的零點(diǎn)為-1和a，其中a與定義域[1，3]的關(guān)系不確定，應(yīng)分為三類(lèi)，即①a≤1，②a≥3，③1

總之，在解函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題的過(guò)程中，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含函數(shù)g（x）=ax+b，且導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)由g（x）函數(shù)值符號(hào)決定，要根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi).當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含函數(shù)g（x）=ax2+bx+c，且導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)由g（x）函數(shù)值符號(hào)決定，要把握好分類(lèi)討論的層次.一般按下面次序進(jìn)行討論：首先，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi);其次，根據(jù)方程g（x）=0的判別式Δ的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi);最后，在根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類(lèi).

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇