求三角形周長（面積）范圍類問題解法探究

趙澤民

解三角形是高考的常考題型，主要出現在高考試卷的解答題中，以解答題第17題的位置較為常見，偶爾也會出現在選擇題和填空題中.其考法主要圍繞著正、余弦定理，結合三角恒等變換，重點考查正、余弦定理的邊角互化及三角恒等變換公式的靈活應用，往往要求考生計算邊長、周長和面積的大小或范圍.這類試題以中檔題為主，是考生志在必得卻又容易卡殼的題目之一.本文主要以三角形周長范圍的求解為例，探討此類題的解法，總結解題規律，幫助考生擺脫“會而不對，對而不全”的苦惱.

解決這類問題的方法主要有兩種：一是利用“正弦定理結合三角函數的值域”來求得最終范圍;二是利用“余弦定理結合基本不等式”來構造不等式使問題得到很好的解決.在遇到此類問題時，學生往往偏向于計算量相對較少的“余弦定理結合基本不等式”的解題思路來解決問題，但隨著解題的深入，往往會遇到諸如范圍被放大或縮小的困境;另外一部分學生會考慮用“正弦定理結合三角函數值域”的求解策略，但隨著解決問題的深入往往會受正弦定理轉化的影響使問題變得“無從下手”，最終使自己的心態從“滿滿的期待”轉變為“滿心的無奈與緊張”.那么，當我們遇到這樣的問題時，應該采取什么樣的解題策略呢？

原題呈現：在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=3，sinA+asinB=2.

（1）求角A的大小;

（2）求△ABC周長的取值范圍.

對于△ABC周長的取值范圍問題，我們駕輕就熟的往往是“已知三角形的一個內角和其對邊求周長的大小或周長的最值”這一類問題.而本題的第（2）問卻巧妙地避開了平時復習中“練熟練透”的解題方法，把已知條件由常規的“已知三角形的一個內角和其對邊”變為“已知三角形的一邊和與這條邊不相對的角”，還加上了一條限制——“△ABC為銳角三角形”，最終要求考生求“周長的取值范圍”，成功地把一道毫無新意的“陳題”裝滿了“新酒”.解決該題的第（2）問時無論考生選擇“余弦定理結合基本不等式”，還是選擇“正弦定理結合三角函數值域”的解題策略都會不同程度受挫，造成一定的心理負擔.

一、一波三折，嘗試解答

在解決第（2）問時，如果采用“余弦定理結合基本不等式”的解題策略，能順利地解決問題嗎？我們又會遇到哪些困惑呢？

第一種境遇，由第（1）問很容易求得A=，結合已知條件b=3，我們容易想到b2=a2+c2-2accosB或b2=（a+c）2

-2ac（1+cosB），但苦于B角未知導致解題受阻，進而嘗試a2=b2+c2-2bccosA或a2=（b+c）2-2bc（1+cosA），也因沒有任何解題進展而放棄，最終無奈地寫下“a+c>3”這一常見結論，出現雖“惺惺相惜，但不得不罷手”的遺憾，因為這個題由不得考生花太多的時間嘗試.

第二種境遇，嘗試用“正弦定理結合三角函數值域”求解，考生受制于定式思維的影響，往往第一時間想到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，進一步得到a+c=

2R（sinA+sinC），結合A+B+C=π，快速地達到統一角的目標，欣喜之余，發現2R成了解下去的攔路虎，解題受挫，產生“放棄與堅持”的糾結.

第三種境遇，考生靜下心來認真審視正弦定理===2R的結構和已知條件“b=3，A=”，找到解決問題的突破口，通過嘗試發現，雖然“邊不是角的對邊，角也不是邊的對角”，但只要搭配得當，也一樣可以達到統一角的目標，由=可知，a=;再由=可知，c=，進一步得到a+c=+，結合三角形內角和定理可知a+c=+，化簡得a+c=·+=·+=·+.到此，本題基本上可以算是考生的囊中之物了，但部分欣喜若狂的考生可能會忘記題設對“三角形為銳角三角形”這一條件的限制而出現“大意失荊州”的苦惱與失落.由△ABC為銳角三角形可知∈（，），進一步求得tan∈（2-，1），從而求得∈（1，2+），a+c∈（，3+6），又因為b=3，所以周長的取值范圍為a+b+c∈（，3+9）.

通過上述分析與解答，我們不難發現該題雖屬中檔題，每一個學生都是有思路的，但在解答的過程中卻總是遇到或這樣或那樣的解題挫折，從心理上給學生造成相當大的壓力，致使學生出現求之不得、棄之可惜的猶豫，導致寶貴的作答時間白白浪費.本題命題者設置了較多的“陷阱”，稍不留神，就會出現“會而不對，對而不全”的遺憾.另外，本題解題過程看似很新，實則還是利用了常規的“正弦定理結合三角函數值域”的解題策略，只是方法和以往解題常規略有差異導致考生解題時“困難重重”.

二、遇見真題，強化鞏固

變式：（2019年全國卷Ⅲ）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin=bsinA.

（1）求B;

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

分析：（1）已知邊角等式asin=bsinA.結合三角形內角和定理得到sin=cos，進一步可求得sin，最終求出角B.（2）由（1）求得角B，結合三角形面積公式、正弦定理，以及三角形內角和定理得到關于面積的表達式，從△ABC為銳角三角形出發，可求得面積的范圍.有前面的解題實踐，我們很快就可以將解題策略放在“正弦定理結合三角函數求值域”這一路徑上.

解答：（2）由（1）可知B=，又因為c=1，所以S=a.由正弦定理可知a===+.因為△ABC為銳角三角形，所以C∈（，），a∈（，2），S∈（，）.

點評：在本題第（2）問的解答過程中，準確地用好正弦定理是關鍵，其易錯點是忽視“△ABC為銳角三角形”這一題設條件，導致角A，C的取值偏大，從而影響最終結果.

三、反思

人教A版《數學》（必修五）第一章“解三角形”重點講了正弦定理及其變形、余弦定理及其變形和三角形面積公式，而這些內容往往結合三角恒等變換成為高考的熱點，深受命題者青睞.近幾年，這一題型的命題方式呈現考點被細化、方法更靈活、解題“陷阱”更隱秘的特點.表面上考生入手是容易的，但要做對、做全卻并非易事.在平時的教學中，無論是教師，還是學生都認為這道題往往是考卷中解答題的第一題，其難度中檔，是平時訓練力度較大、解題方法較全的題型.在大多數學生心中這類題是志在必得的題目，是后進生突破90分，中等生突破120分的關鍵題型之一，也是考生愉悅地解決后續大題的心理基礎，對提升應考狀態也至關重要.解決這類問題，定理的選擇很重要，有效的邊角互化是解題的關鍵，方法一旦出錯，便容易在這個問題上繞彎，甚至出現“無法自拔”的解題投入，最終是“求之不得，棄之不舍”的無奈.所以，教師在平時講解訓練時，一定要注重對方法的總結，鼓勵學生大膽嘗試，重視對一題多解和多題一解的強化.總之，所有解題時的從容應對，都是平時解題方法的日積月累，靜下心來，用心投入，所有的問題都經不起琢磨.

解三角形中的面積與周長的相關問題其難度一般屬于中檔題，解題關鍵是靈活應用正（余）弦定理及其變形，有效地結合三角函數值域或基本不等式來找到解題的突破口，但在解題時需破除解題定式干擾，勇于嘗試.一般情況是若已知當中給定的邊是角的對邊（或角是邊的對角），則選擇“余弦定理結合基本不等式”或“正弦定理結合三角函數值域”都可以解決問題;但如果題設條件中限制三角形為銳角三角形（或鈍角三角形）則宜選擇“正弦定理結合三角函數值域”來解決問題;若已知三角形的邊不是已知角的對邊（或已知三角形的角不是已知邊的對角），則優先選擇“正弦定理結合三角函數值域”來解決問題.在使用正弦定理時，應規避三角形外接圓半徑對解題的影響，直接使用正弦定理解決問題即可.解題時，必須注意三角形形狀對解題結果的影響，注意角的取值范圍.

從近幾年高考題來看，命題者往往選擇比較熟悉的命題背景，在題目中布下隱秘的陷阱.如在求周長或面積的范圍時，考生往往比較熟悉最值，而命題者在考生熟悉的解題題型上，稍加改進，就可能困住考生.譬如在已知條件中限制三角形形狀或所給的邊與角并不對應等.這提醒我們在平時的教學訓練中，應有針對性地進行一題多解和多題一解的訓練.這樣可有效地提高學生識別問題和解決問題的效率，可有效增強學生的解題自信.

在教學中，教師強化學生的解后反思意識是非常有必要的.引導學生寫好解題反思有助于學生發現解題亮點，關注解題過程中遇到的困難，優化解題過程和解題思路.通過對解題過程的回顧與探討、分析與研究，領悟解題的主要思想，關鍵因素，掌握數學中的基本思想和通性通法，并能靈活地應用其去解決不同的問題.

◇責任編輯 邱 艷◇