基于可線性化Wiener過程的牽引供電設備狀態檢修決策研究

林 圣，李 楠，楊 超，范瑞棟

(1．西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都 611756；2．國家電網內江供電公司，四川 內江 641100；3．中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安 710043)

牽引供電設備的可靠運行需要檢修維護工作的有效開展。當前，定期維修模式仍是我國牽引供電設備的主要檢修維護手段。該模式存在維修頻繁和效率低下的問題，導致設備運行費用高昂[1]。基于檢測結果的狀態檢修可以較好地消除日常定期維修的缺點，已經引起了許多科研工作者和運維單位的關注[2-3]。

圍繞設備狀態檢修決策，文獻[4-7]以可靠性、經濟性以及運行條件等因素為約束條件或決策目標已做了大量工作。文獻[5-6]基于可靠性分析建立檢修決策模型，以降低期望檢修費用率為目標，實現最優檢測周期決策。在此基礎上，文獻[7]針對GIS設備易受劇烈負荷沖擊的情況，基于Gamma過程與復合泊松過程的競爭性失效模型，完成了沖擊維修閾值與檢測周期的最佳組合，旨在實現最高的檢修性價比。

然而，上述研究都是在勻速劣化失效模型或勻速劣化失效與沖擊失效組成的競爭失效模型基礎上展開的；實際上設備性能劣化將隨時間逐步加速[8-10]。同時，現有研究基本將維修效果設置為修復如新，即完美維修；而實際維修操作基本都是不完美維修[11]。基于此，文獻[12]利用兩階段Wiener過程建立設備的劣化模型，通過兩個參數不同的傳統Wiener過程描述設備正常狀態與有缺陷狀態的劣化過程，在正常狀態和有缺陷狀態設備分別按不同的速度勻速劣化，設備正常狀態和有缺陷狀態間有明顯轉折點。文獻[13]將預防性維修考慮為不完美維修，并以期望運行費用率最低為目標進行最優檢修決策，但未考慮設備失效后修復性維修的不完美性。綜上所述，現有研究在設備劣化速度和不完美維修方面的綜合考慮尚不完善，有必要進行更加深入的研究。

為此，本文同時考慮牽引供電設備性能劣化非均勻性與維修效果不完美的特點，提出一種新的檢修決策方法。利用Wiener過程的特征描述設備劣化過程逐步加速的過程，使用正態分布刻畫預防性維修以及修復性維修都是不完美維修的特點，根據劣化模型分別推導預防性維修和修復性維修實施的概率，進而得到設備運行費用率的期望值，并以實現最低的運行費用率為目標，求解最優的檢測周期和預防性維修閾值。最后，通過算例分析驗證了方法的有效性。

1 牽引供電設備劣化模型

1.1 設備性能劣化過程分析

設備性能劣化主要是因為老化和磨損[14]。除此之外，一些外部因素也會影響設備劣化過程，如環境濕度、負載變化以及人為干擾等[15]。內外因素的共同作用使牽引供電設備性能演變過程隨運行時間的增加呈現出如下特點：

(1)短時間尺度上，隨著設備外部運行條件的變化，設備劣化出現非單調變化[16]。

(2)長時間尺度上，隨著設備運行時間的增加，設備劣化主要為加速劣化。

設備劣化值下降到某種程度將會導致設備故障，劣化值越大，設備故障的可能性也越大。因此，在設備群中設備故障可能性越大，故障累計數量也就越多。統計某地區從2006年3月24日到2014年9月16日的483個同類牽引供電設備的故障次數，可以得到設備群總故障次數的變化規律，如圖1所示。

圖1 設備群總故障次數及變化規律

由圖1可知設備群故障次數的變化特點如下：

(1)短時間尺度上，設備群在一定時間段內的故障數量可以比前后相同時間段更多或更少，這表明設備的劣化出現非單調變化。

(2)長時間尺度上，隨著設備運行時間的增加，設備群中的故障數量會緩慢加速變大，這表明設備的劣化趨于加速。

1.2 劣化過程數學模型

可線性化Wiener過程[17-18]通過對傳統Wiener過程的改良，不僅可以表征短時間尺度上的非單調特性，還可以表征長時間尺度上的逐步加速特性。因此本文使用可線性化Wiener過程來建立描述設備劣化的數學模型。

根據劣化值Xd(t)刻畫設備在t時刻的劣化狀態，該值基于可線性化Wiener過程建模可表示為

Xd(t)=μ·tγ+σ·B(tγ)t≥0

(1)

式中：{B(tγ),t≥0}為tγ的標準Wiener過程，其中，γ為不小于1的修正參數;μ、σ分別為漂移參數、擴散參數。由Wiener過程特征：Xd(t)是均值為μtγ方差為σ2tγ的正態分布，由參考文獻[17]中的極大似然估計法得到μ和σ的值。

(2)

式中：Φ(·)為標準正態分布。

參考文獻[7]中對可靠度的定義，在設備能夠正常工作的范圍內，Xd(t)不大于失效閾值L的概率即為設備在t時刻的可靠度，根據式(2)可靠度R(t)可以表示為

(3)

1.3 維修后劣化模型

在進行維修后設備的性能將會提高，處于“恢復如新”和“恢復如舊”之間。設備維修后的狀態決定其可以繼續可靠運行的時長，而其可靠運行時長又決定了在總的服役時間內需要維修的次數，推廣到同類設備群時，設備維修后的狀態分布特征可以利用同類設備群維修次數的分布特征描述。統計圖1中從2006年3月24日到2014年9月16日這段時期內的483個同類牽引供電設備的維修次數(包括定期預防性維修和故障后修復性維修)，采用極大似然估計法擬合統計數據，可以得到設備維修次數的分布特征，如圖2所示。

圖2 設備維修次數統計及分布規律

由設備維修次數分布規律可知，在同類設備群中維修次數符合正態分布。因此，可以使用正態分布來建模牽引供電設備維修后狀態的分布特征[19]，并且維修后設備性能狀態將恢復為原始設備特征重新變化。同時，隨著維修次數的增加設備預防性維修的效果會逐漸下降[11,13]。

1.3.1 預防性維修后劣化模型

在檢測設備狀態時，如果發現其劣化值大于或等于預防性維修閾值(前提是該設備劣化值小于失效閾值)，則應進行預防性維修以改善其狀況，如果在t0時刻對設備開展預防性維修，則根據式(1)，得到維修后的值Xdp(t)為

Xdp(t)=Xp(t0)+μ·(t-t0)γ+σ·B((t-t0)γ)

t≥t0

(4)

式中：Xp(t0)為實施預防性維修后設備性能改善后的劣化值，且Xp(t0)～N(kμ1,kσ12)，μ1為首次預防性維修后劣化值的期望；σ1為對應的標準差，其值可以參考文獻[20]中的方法進行求解，由預防性維修的歷史數據估算得到，其中k為已實施的預防性維修次數。

(5)

因此，預防性維修后可靠度函數Rp(t,t0)可表示為

(6)

1.3.2 修復性維修后劣化模型

由于牽引供電設備的逐漸劣化存在隨機性，任一運行時刻設備劣化值都存在達到失效閾值進而發生失效的可能。因為設備的失效過程體現了“自明性”[19]，失效后需立即對設備進行維修以恢復其正常運行。在維修中，主要方法是替換有故障的部件而不替換未損壞的部件；但實際上沒有損壞的部件由于運行了一段時間也存在部分劣化，導致修復性維修是一項不完美的維修模式。修復性維修如果在t0時刻實施，根據式(1)修復性維修后設備的劣化值Xdc(t)為

Xdc(t)=Xc(t0)+μ·(t-t0)γ+σ·B((t-t0)γ)

t≥t0

(7)

式中：Xc(t0)為修復性維修后設備性能恢復后的劣化值，且Xc(t0)～N(μ2,σ22)，μ2為修復性維修后劣化值的期望，σ2為對應的標準差，可以參考文獻[20]中的方法進行求解。

(8)

因此，修復性維修后設備可靠度函數Rc(t,t0)可表示為

(9)

2 基于可線性化Wiener過程的檢修模型

2.1 預防性維修模型建立

在設備服役時期，按照恒定周期T開展檢測工作獲取設備性能信息，若在檢測時刻得到劣化值大于預防性維修閾值Lp，同時在失效閾值L以下，則對設備實行預防性維修。在執行實際的維修活動時，維修時間(取為1 d)比設備運行時間(取為1 a)要短得多，因此本文沒有考慮維修花費的時間。在第j(j=1,2,…)次檢測中，也就是jT時刻是否實施預防性維修可分3種情形，如圖3所示。

圖3 設備jT檢測時刻進行預防性維修

(1)情形1：在jT時刻以前，設備從未開展過任何維修，即設備處于全新狀態，劣化值從0開始增大。

(2)情形2：在jT時刻以前，上一次維修為預防性維修，劣化值從預防性維修后性能改善后的值Xp(t0)開始增大。

(3)情形3：在jT時刻以前，上一次維修為修復性維修，劣化值從修復性維修后性能恢復后的值Xc(t0)開始增大。

若設備劣化值在(j-1)T時刻小于Lp，且在jT時刻大于等于Lp但小于L時，則在jT時刻對設備進行預防性維修。

由式(2)，設備劣化值在(j-1)T時刻小于預防性維修閾值Lp的概率可以表示為

P1=Pr{Xd((j-1)T)

(10)

同理，在jT時刻設備性能劣化值大于等于預防性維修閾值Lp，同時小于失效閾值L的概率可以表示為

P2=Pr{Lp≤Xd(jT)

(11)

根據式(10)和式(11)，對圖3(a)所示的第1種情形，預防性維修發生在設備運行到jT時刻的概率Ppm1可表示為

Ppm1(j,T)=Pr{Xd((j-1)T)

(12)

同理，對圖3(b)所示的第2種情形，預防性維修發生在設備運行到jT時刻的概率Ppm2可表示為

Ppm2(j,T)=

Pr{Xdp((j-1)T)

(13)

同理，對圖3(c)所示的第3種情形，預防性維修發生在設備運行到jT時刻的概率Ppm3可表示為

Ppm3(j,T)=

Pr{Xdc((j-1)T)

(14)

2.2 修復性維修模型建立

同預防性維修，設備在[(j-1)T,jT)時段內是否實施修復性維修可分為3種情形，如圖4所示。

圖4 設備[(j-1)T,jT)時段進行修復性維修

若設備在運行到(j-1)T時刻其性能劣化值均小于預防性維修閾值Lp，但在Ts時刻(Ts∈[(j-1)T,jT))其性能劣化值達到失效閾值L，那么設備在Ts時刻需實施修復性維修以恢復其正常運行。

根據式(2)可知，設備劣化值在Ts時刻的劣化值達到失效閾值L的概率可以表示為

P3=Pr{(j-1)T≤Ts

(15)

根據式(10)和式(15)，對圖4(a)所示的第1種情形，修復性維修發生在設備運行到[(j-1)T,jT)時段內的概率Pcm1可表示為

Pcm1(j,T)=

Pr{Xd((j-1)T)

(16)

同理，對圖4(b)所示的第2種情形，修復性維修發生在設備運行到[(j-1)T,jT)時段內的概率Pcm2可表示為

Pcm2(j,T)=

Pr{Xdp((j-1)T)

fdp(t|(j-1)T,nT,L-l)]dldt

(17)

同理，對圖4(c)所示的第3種情形，修復性維修發生在設備運行到[(j-1)T,jT)時段內的概率Pcm3可表示為

Pcm3(j,T)=

Pr{Xdc((j-1)T)

fdc(t|(j-1)T,nT-z,L-l)]dldtdz

(18)

3 決策模型與求解

3.1 決策目標模型的建立

本文以實現設備運行費用率最低為決策目標，同時保證設備的可靠運行(即設備劣化值不超過L)。

s.t.Xd(t)

(19)

設備全壽命周期內運行費用率期望可表示為

(20)

式中：Tlife和Ctotal分別代表牽引供電設備的設計壽命和全壽命周期的總費用，具體包含設備采購、檢測、預防性、修復性維修和失效風險等費用。

E(Ctotal)=cpm·E(Npm)+ccm·E(Ncm)+

cr·E(Nr)·pr+ci·Ni+Cc

(21)

式中：cpm為一次預防性維修成本；Npm為全壽命周期中預防性維修數量的總和；ccm為一次修復性維修成本；Ncm為全壽命周期中修復性維修數量的總和；cr為失效一次的成本；Nr為全壽命周期中失效數量的總和；pr為備用設備不能正常投入工作的概率；ci為一次檢測的成本；Ni為全壽命周期中檢測數量的總和；Cc為設備采購成本。

在設備運行過程中，按恒定時間T檢測設備實際劣化值，全壽命周期內的檢測次數可表示為

(22)

根據式(12)～式(14)，設備全壽命周期內預防性維修次數的期望可表示為

E(Npm)=

(23)

根據式(16)～式(18)，設備全壽命周期內修復性維修次數的期望可表示為

E(Ncm)=

(24)

設備失效不能正常工作的次數是指設備在其整個壽命期間執行的修復性維修次數，因此有

E(Nr)=E(Ncm)

(25)

3.2 模型求解

本文的檢修決策模型中有兩個需要決策的變量，分別為檢測周期T和預防性維修閾值Lp。以設備運行費用率最低為決策目標，尋找T和Lp的最優組合得到最優檢修方案。由于常規的解析法在本模型中計算量大且困難，因此本文利用Monte Carlo法對上述模型進行仿真求解。求解流程如圖5所示。

圖5 模型求解流程

4 算例分析

變壓器是變電站內轉換電能的重要設備，是運維公司的重點維護對象。本文以某城軌牽引變電所干式變壓器數據為例進行分析。表1為該干式變壓器相關數據信息，設劣化過程參數μ=3.78，σ=1.78，維修效果參數μ1=1.64，σ1=0.37，μ2=1.89，σ2=0.57，取γ=2，失效閾值L=15[7]，備用設備投入失敗概率pr=0.297[21]。

表1 干式變壓器相關參數

表2為干式變壓器的檢修費用統計，其中失效費用假設為cr=20 000元/次。

表2 檢修費用統計

4.1 狀態檢修決策結果分析

利用本文決策模型和相應參數，在Lp取值為9～14時，不同檢測周期對應的設備運行費用率和不考慮預防性維修時運行費用率對比如圖6所示。

圖6 待決策變量取值范圍

由圖6可知，預防性維修閾值Lp取值從9逐漸增加至14時，設備運行費用率最低值先逐漸變小再逐漸變大，結果顯示最佳的預防性維修閾值處于9～14之間。當檢測周期T從0.1逐漸增加至2時，設備運行費用率最低值先逐漸變小再逐漸變大，結果顯示最佳的檢測周期處于0.1～2之間。

因此，預防性維修閾值Lp的取值范圍選為9～14，步長選為0.1；檢測周期T的取值范圍選為0.1～2，步長選為0.1。采用Monte Carlo法按照圖5所示步驟求解本文的決策模型。為降低Monte Carlo法求解過程中隨機性的影響，仿真次數取為1 000后計算平均值，不同檢修組合下的運行費用率如圖7所示。

圖7 運行費用率仿真結果

圖8 最優決策結果

由圖8可知，最優決策中設備運行費用率最優值是10 296元/年，相應的最佳檢測周期是0.3年，最佳預防性維修閾值是10.2。

通過分析可知，不管是隨著T還是Lp的增加，設備運行費用率都呈先減小后增大的變化趨勢。原因在于，在T或Lp值過小的時候，進行了過多的預防性維修，造成設備過度維修以至于運行成本變大；在T或Lp值過大的時候，進行的預防性維修太少，造成設備維修不足以至于失效可能性變大，修復性維修和失效風險成本進一步增加了運行成本。因此，本文所提方法可以改善出現維修“過剩”和“不足”的情況。

4.2 最優決策結果的可靠度分析

通過Monte Carlo仿真設備的劣化狀態，當T=0.3年，Lp=10.2時，設備在運行期間的劣化值變化過程如圖9所示。

由圖9可知，隨運行時長的增加設備的劣化值也隨之加速增加。從圖9還可以看出，在2.7、5.4、7.8和10.2年時設備的劣化值均大于預防性維修閾值10.2，此時應對設備開展預防性維修，此外，設備在運行期間未失效。圖9表明，設備維修后的性能并沒有完全恢復，隨著每次維修其性能會逐漸劣化，這說明預防性維修具有不完美維修的特點，同時維修次數的增加還會導致維修質量逐漸下降。

由式(3)、式(6)和式(9)可得到設備在全壽命周期內的可靠度曲線，如圖10所示。

圖10 設備運行期間可靠度曲線

由圖10可知，當檢測周期T為0.3，預防性維修閾值Lp為10.2作為檢修方案時，在任一檢修周期內設備長時保持可靠度為1的狀態運行，隨運行時間的增加劣化值快速增大，可靠度隨之快速由高降低。當設備劣化值超過預防性維修閾值且在檢測時刻時，及時的預防性維修措施阻止了設備可靠性降至零。除此之外，可靠度在降至為零前(即劣化值超過失效閾值)采取預防性維修，盡可能地增加了一個檢修周期內設備的運行時間，從而減少了設備在整個服役期間的維修次數，又避免了設備失效，這就是本文決策模型的決策結果可以改善傳統維修方式維修“過剩”和“不足”的原因。

綜上所述，采用本文決策模型得到的最優決策結果作為設備的檢修方案時，可以有效避免設備劣化值超過失效閾值，保證了設備運行期間的可靠性。

4.3 方法對比

為驗證本文所提方法的有效性，在相同的服役過程檢修情況下分析現有檢修決策方法。根據傳統的Wiener過程建立模型，考慮設備相同的劣化結果和費用，最后得到的最優決策結果見表3。

表3 傳統方法最優決策結果

根據表3分析，設置同樣的參數時，本文提出的決策方法和傳統方法的最佳檢測周期相同均為0.3年，但最佳預防性維修閾值變為11.3，相比于本文中的10.2有所提高。在設備的運行成本方面，傳統的檢修決策最小運行費用率為11 160元/年，高出本文最佳運行費用率8.4%。這是由于傳統的檢修在推遲設備預防性維修的同時使得失效可能性變大，在設備失效可能性變大后設備損失的費用大于增加運行時間所節省的費用。故本文的方法有效改善了現有的檢修策略。

4.4 模型中參數靈敏度分析

本文建立的劣化模型包含了3個參數，分別為漂移參數μ、擴散參數σ和速度修正參數γ。固定任意2個參數不變，以文中模型參數所取值的1/10為變量，變動余下的第3個參數值，代入決策模型后得到相應的最優決策結果，可以反映出劣化模型參數對最終決策結果的影響，如圖11所示。

圖11 劣化模型參數對最優決策結果的影響

由圖11可知，3個劣化模型參數均會影響決策結果。在固定3個參數相對變化量相同時，模型3個參數對最后結果的影響程度由大到小分別是γ、μ和σ。原因在于，γ造成模型隨時間增加成指數變化，其較小的變動即可造成模型較大的變化，對決策結果影響非常顯著；μ造成模型隨時間增加成線性變化，對模型的影響小于γ，對決策結果的影響較小；σ造成模型分布呈離散變化，對模型的影響均小于γ和μ。

在本文的決策模型中檢修費用由三部分組成，分別為檢測費用ci、預防性維修費用cpm和修復性維修費用ccm。固定任意2個費用參數不變，同樣以文中檢修費用參數取值的1/10為變量，變動剩下的第3個參數值，代入決策模型后得到相應的最優決策結果，可以反映出檢修費用參數對最終決策結果的影響，如圖12所示。

圖12 費用參數對最優決策結果的影響

由圖12可知，3個檢修費用參數均會影響決策結果。在固定3個參數相對變化量相同條件下，檢修費用的3個參數對決策結果的影響程度各不相同，影響程度由大到小為cpm、ci和ccm。原因在于本文決策目標是在保證設備可靠運行(劣化值不超過失效閾值)的條件下，使設備運行費用率最小。為了實現上述目標，檢修活動只能包含低成本的檢測和預防性維修，不能出現昂貴的修復性維修。由于預防性維修成本超過檢測成本，故會出現以上影響。

由于同一個牽引所的不同設備其劣化模型參數是不同的，不同地區的牽引供電設備其檢修費用參數也是不同的，所以通過參數靈敏度分析可以直觀的指導運維人員在建立相關設備檢修決策模型時應重點關注模型參數，使得最終的決策結果更符合實際。

5 結束語

本文提出的基于可線性化Wiener過程的狀態檢修決策方法，不僅考慮了設備加速劣化的特性還考慮了實際維修活動的不完美特點，建立的劣化模型更加符合實際，在此劣化模型基礎上推導了狀態檢修決策方法數學解析表達式，并利用Monte Carlo法求解決策模型最優解。算例證明，該方法能有效避免維修過剩和不足的問題，既降低了運行費用，又保證了設備運行的可靠度，對牽引供電設備的狀態檢修工作有一定的指導作用。