中低速磁懸浮雙線簡支軌道梁的沖擊效應研究

王亞朋, 藺鵬臻

(蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070)

中低速磁浮交通因其轉彎半徑小、爬坡能力大、運營噪聲低、環境污染小且適應地形強等優點，特別適合城市中短距離的運輸，在未來城市交通中具有良好的前景[1]。中低速磁浮列車通過主動調節帶有控制的電磁力使列車懸浮在額定間隙附近，從而實現車輛的平穩運行，而該懸浮力的大小與懸浮間隙密切相關，因此磁浮車輛對軌道的不平順性要求較高[2]。磁浮列車在預應力混凝土簡支軌道梁上運行時，軌道梁產生的變形會改變磁浮間隙，進而改變軌道的平順性，需要不斷改變電磁力的大小來保持運行平穩性，因此該過程與輪軌交通一樣，涉及車輛與軌道梁的動力相互作用問題[3-8]。相比傳統輪軌交通的橋梁，磁浮軌道梁剛度小、質量輕，因此在磁浮車輛動載作用下的沖擊效應對軌道梁系統的平穩性尤為重要，這也是磁浮車輛-軌道梁動力相互作用問題研究的重要內容之一。

目前國內對中低速磁浮研究中，主要側重于磁浮車輛系統的動力學性能和懸浮控制系統[3-5]，而對于磁浮軌道梁的動力響應的相關研究較少，李小珍等[3]研究了中低速磁浮列車-橋梁系統豎向耦合振動，但并未分析F軌對軌道梁動力系數影響。耿杰等[6]以長沙中低速磁浮快線簡支梁為例，實測并分析了磁浮車輛通過軌道梁時的耦合振動特性，通過實測擬合得到了動力系數關于速度的函數關系式，并未討論與軌枕間距、扣件剛度的變化關系。劉德軍等[9]構建了磁浮車輛-控制器-橋梁系統耦合動力模型，討論和分析了典型車速、車輛荷載下橋梁、車輛和懸浮系統的動力響應，并未對沖擊系數問題進行討論分析。楊平等[10]研究了中低速磁懸浮車輛作用下車速、車重及橋梁阻尼比對20 m簡支軌道梁沖擊系數的影響規律，并未討論不同軌枕間距及扣件剛度的影響。目前各國規范對動力系數的規定也不統一，在實際橋梁設計時，一般通過動力系數的經驗公式，近似考慮車輛荷載的動力效應，但動力系數不僅與橋梁結構基頻有關，還與行車速度、車重、扣件剛度及軌枕間距等因素有關。

中低速磁浮車輛與軌道梁的動力相互作用問題涉及橋梁動力學、車輛系統動力學、控制理論、電磁理論等多種學科，準確模擬車輛-軌道梁動力相互作用是制約該問題解決的瓶頸。本文針對我國中低速磁浮交通，建立了完整考慮滑臺、迫導向等復雜運動機構的中低速磁浮車輛模型，在此基礎上建立了車輛-F軌-鋼軌枕-軌道梁耦合振動分析模型，對25 m雙線簡支軌道梁動力系數進行分析，提出了中低速磁懸浮軌道梁動力系數計算的相關建議。

1 中低速磁浮列車-F軌-鋼軌枕-軌道梁耦合系統振動分析模型

將中低速磁浮車輛、U型懸浮鐵、懸浮控制器、F軌、鋼軌枕及軌道梁模型，按照一定的磁軌作用和空間位置關系進行組合，考慮軌道不平順影響，建立磁浮車橋耦合動力仿真分析模型，見圖1。

圖1 中低速磁浮車-橋耦合動力分析模型

運用車輛系統動力學、電磁理論、控制理論、橋梁動力學等研究方法，分別建立車輛、F軌道、鋼軌枕、軌道梁的運動方程，車輛與F軌以懸浮控制力為紐帶，采用數值分析方法，求解磁浮車-橋系統動力響應[8,11]。

1.1 中低速磁浮車輛系統模型

中低速磁浮車輛主要由車體、懸浮架、懸浮電磁鐵、抗側滾梁、空氣彈簧、牽引拉桿等組成。每節車體由五個懸浮架單元支撐，每個懸浮架單元由左、右兩個懸浮架組成，且左、右懸浮架之間由前、后共兩套抗側滾梁連接，每個懸浮電磁鐵上設置前后4個加速度傳感器,車體下共5組滑臺及2套迫導向機構，每套迫導向機構由T型長、短轉臂及拉桿組成。每節車輛模型中，車體和懸浮架分別考慮伸縮、橫移、沉浮、側滾、點頭、搖頭共6個自由度，U型懸浮鐵考慮伸縮、沉浮、點頭共3個自由度，抗側滾梁僅考慮搖頭自由度，T型長、短轉臂僅考慮搖頭自由度，第1、3、5組滑臺考慮橫移自由度，第2、4組滑臺與車體固結。空氣彈簧、牽引拉桿等視為彈簧-阻尼單元。每節車輛模型共計216個自由度，見表1，三編組車輛共計648個自由度。

表1 車輛模型自由度

根據達朗貝爾原理可建立車輛系統動力方程[11]

(1)

表2 中低速磁浮車輛主要計算參數(24 t車重為例)

1.2 F軌、鋼軌枕、軌道梁系統模型

F軌、鋼軌枕、軌道梁均采用有限元法建立，因此根據達朗貝爾原理分別建立F軌、鋼軌枕、軌道梁的運動方程

(2)

1.3 U型磁鐵懸浮控制系統模型及電磁力計算

中低速磁浮列車依靠吸力懸浮，系統自身不能自穩，必須加入主動控制，通過計算電磁鐵的位移、速度和加速度，將該結果輸入給控制系統，計算得到電磁力大小，并反饋給多體系統，如此反復迭代，使得列車在額定間隙附近穩定懸浮[10-11]。

對于圖2所示中低速磁極模型，由于角點的存在只對磁場的局部區域產生影響，并導致產生橫向力，即當產生橫向距離y時產生橫向力Fy，使得U型磁鐵恢復到軌道中心線位置，垂向力大小按照電磁鐵寬度Wm增加一個附加寬度δ時按照平行區域磁場強度分布計算得到。圖2中U型磁鐵單側矩形磁極為細長型矩形磁鐵，可將其簡化為單位長度的圖3所示二維模型問題。S為懸浮間隙；N為線圈匝數；Wm為極板寬度。

圖2 具有橫向位移y的U型磁鐵與F軌道模型

圖3 矩形磁極二維四角問題模型

dF=μ0[H(H-dS1)-0.5H2dS1]

(3)

式中：μ0為真空磁導率；dS1為間隙S中包圍產生電磁力的一個閉合曲面在投影平面的閉合曲線的線積分。

參考文獻[12-13]，圖3所示四角問題經保角變化及根據柯西-黎曼方程，再根據式(3)計算得到圖3所示模型在單位長度電磁鐵發生橫向位移y時的垂向力與橫向力

(4)

對于圖2所示完整U型磁鐵，根據式(4)，對于長度為l0的U型電磁鐵垂向力與橫向力

(5)

對于圖2所示電路，假定鐵芯磁通等于氣隙磁通，全部磁阻等于氣隙磁阻，則此時整個回路中的電流則為I=0.5I′，帶入式(5)化簡

(6)

式中：F=μ0AN2I2/(4S2)，A=l0Wm。

由式(6)可知，F=μ0AN2I2/(4S2)恰好為圖2所示磁路中假定氣隙均勻分布，并忽略磁阻和磁通飽和得到的電磁力計算式，即Brezina基于平面矩形磁極的二維電磁力計算式。因此可先計算F，再計算U型磁鐵所需要的垂向力與橫向力。令λ=2S0/(πWm)，S0為額定氣隙，則式(6)可進一步化簡

(7)

根據電磁定律計算電壓方程

(8)

式中：R為磁阻，R=2S/(μ0A)；Ψ為線圈的磁鏈；L為繞組瞬時電感，L=μ0AN2/(2S)。

引入電壓控制模型

(9)

式中：U0為額定電壓；I0為額定電流；F0為額定電磁力；Us為位移反饋系數；Uv為速度反饋系數；Ua為加速度反饋系數；Uis為在不同荷載條件下維持恒定的額定間隙引入的積分項反饋系數。

將式(7)帶入式(8)，得到最終的控制模型

(10)

結合式(7)與式(10)編寫中低速磁浮U型磁鐵控制模型見圖4。

圖4 基于電壓的中低速磁浮控制流程

1.4 電磁力與F軌的傳力計算

電磁力F作用于F軌單元(本文采用6面體8節點單元)時，首先判斷其作用單元位置(設此刻單元為單元m)，再判斷力作用到單元的具體位置(設該位置為n)，通過坐標變化，建立該單元自然坐標系(ξ,η,ζ)下的八結點六面體等參單元(即為母單元)，單元形函數取

i=1,2,…,8

(11)

位移u的插值函數取

u=α1+α2ξ+α3η+α4ζ+α5ξη+α6ηζ+

α7ζξ+α8ξηζ

(12)

式中：α1～α8為待定系數，由結點上的函數值ui確定。單元其他兩個方向位移v和w的插值函數取與式(12)相同形式。可知式(12)中一個自變量固定時，函數為另外兩個自變量的雙線性函數，因此在立方體單元每個側面上，該插值函數由該面四個結點的函數值唯一確定，故相鄰單元公共面上，只要在其中四個公共結點上函數值相同，插值函數就一定是連續的。式(12)可寫為

(13)

式中：Ni(ξ,η,ζ)為多項式函數，在結點i處取值1，其余結點取0。

因此單元m的n點作用電磁力Fn時，各結點力的分配可按下式進行計算

(14)

式中：Fex=[Fx1,…,Fx8]T；Fey=[Fy1,…,Fy8]T;

Fez=[Fz1,…,Fz8]T；ξn,ηn,ζn為點n的無量綱坐標，即為單元自然坐標系下；Fnx、Fny、Fnz為力Fn的投影。

由以上分析，可將電磁力作用到軌道梁上，實現磁浮列車與軌道梁的動力相互作用。

2 算例背景

針對某中低速磁浮快線上一孔25 m雙線簡支梁橋進行車橋耦合振動分析，該線路設計為雙線，設計速度最高100 km/h。單線軌道梁梁寬1.4 m，梁高2.1 m，梁體采用C50混凝土；兩幅軌道梁之間設置5道橫梁連接為整體，端部橫梁順橋向寬0.6 m，高1.2 m，中橫梁順橋向寬0.3 m，高0.8 m。承軌臺高0.208 m，寬0.4 m，縱橋向寬0.6 m，采用C40混凝土。F軌與鋼軌枕固結，鋼軌枕通過扣件與承軌臺連接，扣件下墊橡膠墊片。每片軌排長12.5 m，縱橋向相鄰軌排間通過指型板連接成整體。圖5分別給出了簡支梁跨中截面和F軌、鋼軌枕、承軌臺截面尺寸。

圖5 結構尺寸圖(單位:mm)

F軌、鋼軌枕、軌道梁采用Ansys軟件建立三維實體模型。扣件、指型板采用線性彈簧-阻尼力元考慮。F軌與鋼軌枕通過螺栓固結。軌道梁按照實際簡支受力施工模型約束。

中低速磁浮車輛多剛體模型采用UM軟件建立，編組形式為“Mc1+M+Mc2”。電磁力控制模型采用公式(9)的電壓控制模型。

本文采用文獻[3,10]中提供的針對磁浮柔性高架線路隨機不平順譜理論推導得到的不平順功率譜，其函數為：φ(ω)=Ar/ωn，其中ω為空間波數(本文取為3 000)，n為頻率特征參數(本文取為2)，Ar為表面粗糙度系數(取6.1×10-8)。依次生成10組隨機不平順樣本共分析，其中某條左垂向不平順見圖6。

圖6 左軌道垂向不平順

磁浮車-橋耦合系統動力學微分方程組為剛性微分-代數方程組，因此本文采用Park[14]提出的剛性穩定法進行該方程組的積分求解，該方法為“預估-校正”格式的隱式變步長迭代算法[15]。

仿真工況見表3，分析各參數對軌道梁動力沖擊系數的影響，取10條不平順計算值的平均值作為最終值。磁浮混凝土軌道梁相關規范規定見表4。

表3 分析工況

表4 磁浮混凝土軌道梁(直線)動力系數φ規范規定

為驗證模型正確性，取軌枕間距1.0 m、車重24 t (空載)、車速90 km/h仿真結果，與文獻[6]提供實測結果進行對比，見圖7。由圖7可知,該仿真結果與實測結果基本吻合，因此該模型可作為前述車橋耦合動力分析計算。

圖7 軌道梁仿真與實測結果對比

3 軌道梁動力系數分析

3.1 車速變化對軌道梁動力系數的影響

為分析中低速磁浮車輛通過軌道梁時，車速變化對軌道梁動力系數的影響，選取表3分析工況1，統計不同軌枕間距、車速下軌道梁Ⅰ的動力系數見圖8。由圖8可知，中低速磁浮車輛以20～120 km/h通過25 m雙線簡支軌道梁時：①不同軌枕間距下軌道梁動力系數隨車速增大而增大，這一規律與普通鐵路橋梁的動力系數趨勢一致，但相同速度不同軌枕間距時沖擊系數并非隨間距增大而增大或減小，尤其是當速度較低時此規律更不明顯，整體而言剛度較低時沖擊系數增長較為緩慢；②該分析工況下，軌道梁動力沖擊系數變化范圍為1.011～1.131，對比120 km/h速度下軌道梁時域曲線可知軌枕間距較大時存在共振現象，而較小時共振不明顯；③與國內外相關規范對比，該結果且大于文獻[17]和文獻[20]規定，而小于其他4種規范的設計取值。

圖8 速度變化對軌道梁動力系數的影響

3.2 車輛質量變化對軌道梁動力系數的影響

為研究車輛質量變化對動力沖擊系數的影響，取車輛空載、座客、定員、超員載荷四種情況，對應車輛重量為24、26、30、33 t，其他各參數保持不變。不同軌枕間距、車輛質量下，軌道梁Ⅰ動力系數見圖9。由圖9可知：①整體而言軌道梁跨中動力系數隨車輛質量增大而增大，但結果不同質量下動力系數相差較小，部分軌枕間距下隨質量增大先增大后減小，這是由于該工況下系統共振所引起；②該分析工況下，軌道梁動力系數變化范圍為1.014～1.038，與國內外磁浮規范相比，該動力系數介于文獻[17]規定的1.1和文獻[20]規定的1.0之間，小于其他5種規范的設計取值。

圖9 車輛重量變化對軌道梁動力系數的影響

3.3 枕下扣件剛度變化對軌道梁動力系數的影響

中低速磁浮鋼軌枕通過扣件系統與軌道梁的承軌臺連接，扣件系統由軌枕下膠墊及連接螺栓等組成。為研究枕下扣件剛度變化對軌道梁動力系數的影響，取表3所示分析工況3，統計不同軌枕間距、扣件剛度下軌道梁Ⅰ動力系數見圖10。由圖10可知：①整體而言軌道梁動力系數隨扣件剛度增大而增大，個別軌枕間距下會先增大后減小，這是由于該軌枕間距及扣件剛度共同影響下軌道梁與車輛頻率接近，存在共振現象所導致；②該分析工況下，軌道梁動力系數變化范圍為1.010～1.077，與國內外磁浮規范對動力系數規定相比，該結果大于文獻[20]規定的1.0，而小于其他5種規范的設計取值。

圖10 軌下扣件剛度變化對軌道梁動力沖擊系數的影響

中低速磁浮車輛通過不同扣件剛度、軌枕間距時軌道梁Ⅰ的跨中撓度見圖11。由圖11可知，隨著扣件剛度的增大，軌道跨中撓度減小，且呈反比例函數形式減小，這是因為F軌、鋼軌枕與軌道梁組合成為一個空間體系，其整體豎向抗彎剛度隨扣件剛度增大而增大，在相同車輛荷載作用下，軌道梁撓度將減小，因此減小軌枕間距，可有效降低軌道梁跨中撓度。

圖11 軌下扣件剛度變化對軌道梁跨中撓度的影響

3.4 軌枕間距變化對軌道梁動力系數的影響

為研究軌枕間距對軌道梁動力沖擊系數影響，取表3所示分析工況4，不同速度、車輛質量、扣件剛度隨軌枕間距變化見圖12。由圖12可知：①相比輪軌關系的車橋耦合動力問題，磁軌關系的車橋耦合問題其動力沖擊問題規律性并不明顯，整體而言軌道梁動力系數隨軌枕間距會減小，當軌枕間距為1.2 m時，較大的扣件剛度使得系統共振更明顯；②相比車輛質量變化，速度、扣件剛度變化對軌道梁動力系數影響顯著；③該分析工況下，軌道梁動力系數變化范圍為1.010～1.131，與國內外磁浮規范對動力系數規定相比，該結果大于文獻[17]和文獻[20]規定，而小于其他4種規范的設計取值。

圖12 軌枕間距變化對軌道梁動力沖擊系數的影響

4 結論

本文以某中低速磁浮快線25 m雙線簡支軌道梁為研究對象，基于UM和Ansys聯合仿真，建立了中低速磁浮車輛-F軌-鋼軌枕-軌道梁動力相互作用模型，通過與該線實測結果對比驗證了模型正確性，重點研究了車速、車重、扣件剛度及軌枕間距對軌道梁動力系數的影響，主要結論如下：

(1)本文基于電磁鐵理論和PID主動懸浮控制原理建立了適用于中低速磁懸浮車輛-軌道梁動力相互作用的分析模型，通過與實測結果的對比具有較好的精度，說明本文模型可用于分析中低速磁浮軌道梁的動力沖擊效應。

(2)由于磁浮車橋耦合系統的復雜性，共振極易出現，規律性不太明顯，整體而言軌道梁動力沖擊系數隨車速、車輛質量、軌下扣件剛度增大而增大，隨軌枕間距增大而減小。

(3)算例結果分析表明，各分析工況下，中低速磁浮軌道梁動力系數最大為1.131，其值大于文獻[17]和文獻[20]的取值，接近文獻[19]規定的1.15，而對所有計算的動力系數值統計可知，約99%的計算值小于等于1.10，而95%的數據點小于等于1.06，這表明文獻[20]對動力系數的取值偏小，不利于橋梁的運行安全，而文獻[19]規定的1.15偏大，文獻[20]的1.10取值較為合理。

(4)磁浮車輛與軌道梁的動力相互作用是個復雜的系統問題，由于PID主動懸浮控制存在，軌道不平順的隨機性對系統影響很大，極易出現共振現象，本論文將電磁力簡化為集中力進行分析，與均布荷載時結果以及不同電磁力計算公式情況下的結果進行對比，下一步將結合電磁有限元分析手段，使得計算模型更接近實際工作狀態，對F軌及軌道梁動力問題細致分析。