以圖形直觀提升學生數學思維能力

浙江省杭州市富陽區龍門鎮中心小學 方慶忠

根據腦科學研究，人類大腦處理信息有50%與視覺有關。在小學數學教學中，利用圖形直觀一方面可以提升學生學習數學的興趣，消減學生的數學學習疲勞，另一方面可以幫助學生將比較抽象的問題變得更加形象和具體，使隱性的思維顯性化，促進思考的深入，提升數學思維品質。

一、借助實物圖形，建立靜態思維支架

隨著教育和科技的發展，人類的大腦在不斷地開發提升。根據現代腦科學研究，大腦可以進行復雜的思維，但短期記憶的空間不大，如果沒有刻意去背臨時接觸的信息，記憶只能保持十多秒。人的短期記憶能力遠遠落后于思維能力。因此，在數學教學中，教師需要幫助學生尋找具體的形或物作為數學思維的支點，并以此為基礎，向未知領域探索。

（一）尋找實物作為思維原型

數學來源于生活，作為對客觀現象抽象概括而形成的科學語言與工具，數學的原型就是現實世界中的時空事物。因此，數學教學應該和生活對接，從生活中尋找數學思考的原型，幫助學生建立數學思維的支點。

六年級下冊比較負數大小出現了三種情形：負數和正數比、負數和0 比、負數和負數比。前兩種學生都容易掌握，但對于第三種情形學生理解特別困難，究其原因，是學生腦海中缺乏相關形象和經驗的支撐。在自然數比較大小時，我們通常將“大與小”轉化成“多與少”，通過具體數量來比較，如5 個蘋果比3 個蘋果多，所以5 比3 大。負數教學時，這一經驗成了負遷移，六年級學生對于“負數大小的比較和正數大小的比較剛好相反，數字越大這個數就越小”理解不了，在潛意識里將負數大小比較等同于絕對值大小比較。這時，我們需要給學生提供一個具體的形或物，作為問題思考的支點。溫度計0 刻度線下面是負數，0 刻度線上面是正數。把玻璃溫度計放入溫水中，可以看到液柱逐漸上升，從而直觀地理解溫度在升高，數值在變大。在比較了-20 和-15、-10和0、0 和5 的大小后，再將溫度計橫放，底部朝左頂部朝右，剛好類似于一條數軸，從而將數軸與溫度計建立起形象的關聯，數軸上的數字就像溫度計上的刻度一樣，越往右邊數字越大。這樣，在比數的大小時，學生的思考有了一個具體思維的支點，看到兩個數，就能想象它們在數軸上的大致位置，無論是正數還是負數，右邊的數比左邊大。負數大小比較也就迎刃而解。

（二）畫圖示意搭建思維支架

培養廣大學生的實際應用數學的意識是現代數學基礎教育的一個重要教學目標。學生在碰到具體問題時，最大的困難是沒有辦法開始，無法將生活問題轉化成數學問題。

排隊問題是生活中常見的問題，如：“大課間做操，二（1）班和二（2）班的小朋友排成一個方陣，從前面往后面數小紅是第4 個，從后面往前面數小紅是第5 個。這列隊伍一共有幾個小朋友？”二年級學生還缺乏相應的經驗，在解決問題時出現三種思路：（1）4+5；（2）4+5+1；（3）4+5-1。究竟哪一種是對的，不明所以。

在教學中，可以引進畫圖法，用●表示小紅，用○表示其他同學，畫一畫當時的情景，從而將抽象的文字轉化為具體的圖形符號。對照示意圖（○○○●○○○○），思維有了具體的支點，有利于幫助學生厘清三類關系：一是前后之間的位置關系；二是序數和基數的關系；三是重合問題的處理。在此基礎上，我們可以借圖發揮，將原題變式：“大課間做操，二（1）和二（2）班的小朋友排成一個方陣，從前面往后面數小紅是第4 個，從后面往前面數小紅是第5 個。從左往右數，小紅是第3 個，從右往左數，小紅是第6 個。這個方陣一共有多少人？”從而進一步提升思維含量，促使數學思考的持續深入。有了前車之鑒，學生很快畫出新的示意圖，結合前面所學，想象出方陣的樣子：有8列隊伍，每列8人。根據圖示，學生思維支點變得直觀可視，更容易理解前后左右的位置關系，計算出每列幾人、一共幾列，從而化繁為簡，突破難點。

又如植樹問題的三種情況：只種一端、兩端都種、兩端都不種，同時還出現了變式，如環形植樹、間隔交叉種樹等問題。可用符號表示樹，讓學生通過畫一畫、數一數、想一想等活動，結合圖示，棵樹與間隔數的關系就一目了然了。

二、利用圖形演示，再現數學動態思維路徑

小學生的思維正處在由形象思維向抽象思維過渡的階段，在持續性思考數學問題時，學生的經驗和認知還不足以支持長時間的思考，思維會前后不連貫。這時，我們需要有一個直觀可視的載體，借助這個載體，使思維更加連貫清晰。

（一）通過實物擺放，讓思考有物可依

學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、驗證等活動過程，通過這些活動，培養學生的數學思維。小學生的數學猜測還處于起步階段，是一種簡單的數學想象，這種想象建立在他們的基本數學活動經驗和生活經驗之上。在提出數學想象進行數學驗證的過程中，借助圖形直觀，既簡化驗證的流程，又能激發學生的興趣。

三年級上冊數學第七單元（人教版），在學習了周長之后教材中出現了這樣一道題目：用16 張邊長1 分米的正方形紙拼成長方形和正方形，怎樣拼才能使拼成的圖形周長最短？要解決這個問題，如果用算術演繹很難找到規律。對此，我們可以讓學生先想想這些小正方形可以拼出哪些圖形，然后再拼一拼，看看得到哪些長方形和正方形，引導學生用算式表示：16×1、8×2、4×4，并一一記錄下來。接下來，對各種情況一一進行觀察、對比、計算、分析、歸納，最后得出結論：在面積一定的情況下，長方形的長和寬越接近，周長越短。

在得出這一結論后，再經過課件演示，可以推廣到等周長的平面圖形中圓的面積最大。當學生再遇到類似問題，就多了一把形象的尺去測量。等周長的圖形，它的形狀越接近圓，面積就越大。進而還可以擴展到在表面積相等的情況下，球體的體積是最大的。

同樣，在小學數學學習中，平行四邊形容易變形、三角形的穩定性、三角形的內角和、等底等高圓柱與圓錐的體積關系等，都能借助具體實物，通過比一比、拉一拉得到驗證。

（二）通過畫流程圖，讓思維有跡可循

數學中的建模不是我們憑空想象的，它首先需要從我們現實生活中抽象地提出數學問題，用數學符號來表示密切相關的數量之間的關系和變化規律。這個表示過程常常需要我們借助一定的媒介工具來加以實現，畫圖表示就是一種很好的表示方法，它不僅可以直觀準確地表示數量之間的關系和變化規律，還能展現思維的進程，使思維過程可視化。

雞兔同籠問題是我國的一個熱門數學問題，小學四年級下冊首次出現。此類問題用列表法、假設法、方程法都能解決，但四年級的重點是利用假設法，教學的難點是理解多出來的足所表示的意義（缺少的足）。如，籠子里一些兔子和雞，數數頭一共有8 個，數數腳一共有26 只。籠子里有多少只兔子，多少只雞？教材提供了思路：如果全部都是雞，只有8×2=16 只腳，這樣就多出了26-16=10 只腳。接下來的思考有兩個難點，一是多出來的10 只腳所表示意義的理解，二是對于10÷2=5，5 到底表示雞還是兔有疑問。

如果將這個過程用畫圖的方法展示，思維過程就轉化為一個有趣的流程圖。

兒童的推理能力還處在起步階段，還未建立嚴謹有序的認知結構，借圖形推演，步步深入，理解各部分之間的數量關系，當他們再碰到類似問題時，就能找到問題原型，有序思考。

三、借助綜合圖形，提升綜合思維品質

數學學習建立在理解的基礎上，沒有理解就沒有學生深度的數學思維。華東師范大學李士琦教授說：“學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當有效的認知結構，并使之成為個人內部知識網絡的一部分，那么就說明他是理解了。”增進數學理解的一條重要路徑就是溝通數學知識之間的聯系，融通方法，從而形成系統，讓數學思維更加深入。

圖1

圖2

（一）利用圖形類比，讓思維更加深刻

五年級教學多邊形面積后，筆者出示了這樣一幅圖：一組平行線之間的距離是6 厘米，分別求出三個圖形的面積。然后再思考一下：能否用一種方法同時求出三個圖形的面積？

在計算出三個圖形的面積都是12 平方厘米后，學生經過觀察、對比，提出猜想：可以將一個三角形看作是上底長度為0 的特殊梯形，將平行四邊形看作是上下底長度相等的特殊梯形，用梯形面積公式進行計算：SΔ=（a+b）×h÷2=（0+4）×6÷2=12 平方厘米，S ?=（a+b）×h÷2=（2+2）×6÷2=12平方厘米，從而證實了這一猜想。

圖3

有的學生提出沿中線切割三角形、平行四邊形和梯形，將上半部分向下翻轉，轉化成一個平行四邊形，用平行四邊形的面積公式進行計算。經過觀察對比，可以發現新得到的平行四邊形的底邊長度剛好是原圖形上下底之和，高是原圖形的一半，因此S=（a+b）×（h÷2）。

圖4

這時，教師再進一步深入，沿著三角形、平行四邊形和梯形的高，縱切一刀，沿著中位線橫切一刀，兩邊分別向下翻轉，轉化成三個同樣的長方形，用長方形面積公式計算它們的面積。新得到的長方形的長等于原圖形上下底的和，寬是原圖形高的一半。因此S=（a+b）×（h÷2）。

圖5

經過對三組圖的觀察對比，可以發現計算這些圖形面積的方法雖然不同，但最后都可以將公式轉化為S=（a+b）×h÷2，梯形面積公式是這些圖形面積計算的通式。在這一過程中，學生的注意力始終牢牢鎖在圖形上，圖形是思維的承載。借助圖形，引導學生的思考不斷深入，體會轉化的精妙，完成了從低階思維向高階思維的轉變。

又如圓柱、長方體、正方體以及各類棱柱的體積計算，通過課件演示，化靜為動，以“層層加高”的形式，通過圖形演變，讓學生理解這些形體的體積都可以想象成是一層一層累積的結果。如用16 個棱長是1 厘米的小正方體擺成底面呈正方形、長方形、品字形、凹字形、近似圓、近似三角形，這時它們的體積都是16 立方厘米，即1×16=16 立方厘米；在原來基礎上加上一層，體積就是16×2=32 立方厘米。以此類推，可以直觀感受到這些形體體積計算的通式，都是底面積乘高，即V=sh。進而得出結論：各類柱體，無論截面是什么形狀，只要底面積和高相等，體積都相等。

借助圖和形的直觀，引導學生對數學知識二度組合，通過對比、歸納、求同，發現規律，理解轉化，形成體系，促進學生思維向縱深發展。

（二）借助思維導圖，讓思維更加系統

數學知識的教學，要注重生長點和延伸點，把每堂課教學的知識置于整體的知識體系當中，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性。在教學中，指導學生畫思維導圖，從一個點散發開去，通過不同的線條、色塊將相關知識點的層級關系表示出來，形成一個整體。這個點可以是一個單元，一個形體，甚至一冊教材。畫圖的過程，就是將腦海中的數學知識化歸、比較、引申、補充的過程。最后知識整合成一張圖，將學過的知識進行梳理，形成體系，實現結構化認知，更生動地留存于學生的記憶中。

思維是數學教學的核心，在全面提升學生綜合素養的今天，數學思維的訓練和提升顯得更加重要。以圖形直觀幫助學生找到思考的支點，以圖形轉化讓學生的思考有跡可循，通過圖形的對比讓學生的思考更加系統和深刻。在這個過程中，學生的數學思維變得更加靈活、系統、深刻，從而實現數學思維由低階向高階的轉化。