基于最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則的水力裂紋起裂特征研究

趙凱凱，姜鵬飛，馮彥軍，孫曉冬，程利興，鄭建偉

( 1. 煤炭科學(xué)研究總院 開采研究分院，北京 100013；2. 煤炭科學(xué)研究總院 煤炭資源高效開采與潔凈利用國家重點實驗室，北京 100013；3. 中煤科工開采研究院有限公司，北京 100013；4. 天地科技股份有限公司 開采設(shè)計事業(yè)部，北京 100013 )

水力壓裂是指巖體裂隙在高水壓作用下起裂、擴展并連通的過程。水力壓裂在諸多巖土工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，如頁巖氣開采、地?zé)豳Y源開發(fā)、煤層氣開采等[1-3]。其在煤礦堅硬頂板控制、高應(yīng)力巷道卸壓和沖擊地壓防治等方面也成功推廣應(yīng)用[4-6]。研究水力裂紋起裂特征具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。

近年來，煤炭科學(xué)研究總院開采研究分院對水力壓裂技術(shù)進行了集中攻關(guān)，開發(fā)了一系列礦用水力壓裂工藝和機具，獲得了良好的經(jīng)濟技術(shù)效 果[7-8]。其中，定向水力壓裂技術(shù)是在巖體中預(yù)制起裂裂紋，采用高壓注水使巖體沿預(yù)制裂紋破裂，造成巖體破碎或分層，弱化巖體強度，破壞巖體結(jié) 構(gòu)[8-9]。定向水力壓裂技術(shù)期望控制頂板在指定位置或某一特定的方向斷裂，而水力裂紋沿預(yù)制裂紋起裂后往往會發(fā)生不同程度的偏轉(zhuǎn)[10-12]。定向水力壓裂方案與參數(shù)設(shè)計需要進一步認識水力裂紋的起裂和擴展特征。

水力裂紋的起裂和擴展受制于地應(yīng)力、巖體結(jié)構(gòu)及施工參數(shù)等。在試驗研究方面，吳擁政[13]等在砂巖中預(yù)制切槽進行定向壓裂試驗，探究了應(yīng)力差和層理對起裂壓力和裂縫擴展形態(tài)的影響；林健[14]等對預(yù)留鉆孔和縱向切槽水泥試塊水力壓裂過程中不同泵流量對裂縫偏轉(zhuǎn)距的影響規(guī)律進行了詳細研究；劉正和[15]等采用預(yù)制裂紋的紫砂巖試樣進行了水力壓裂試驗，研究了預(yù)制裂紋傾角、水平應(yīng)力差和注液速率對裂紋偏轉(zhuǎn)角和起裂壓力的影響；姜滸[16]等針對定向射孔壓裂，探究了裂紋起裂及擴展特征在不同應(yīng)力條件和射孔參數(shù)下的變化規(guī)律。試驗研究取得了許多有益的成果，但試驗成本高昂、耗時較長且得到結(jié)果有限，難以全面揭示多參數(shù)變化的影響規(guī)律。理論計算能夠方便控制影響參數(shù)變化，因而被廣泛采用。

在理論研究方面，常用的擴展準(zhǔn)則有：最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則[17]、應(yīng)變能密度準(zhǔn)則[18]、能量釋放率準(zhǔn)則[19]等。JIN Xiaochun[20]等應(yīng)用上述3種擴展準(zhǔn)則分別計算了裂紋起裂角受多因素影響下的變化規(guī)律，并對3種準(zhǔn)則計算的起裂角進行了對比分析；陳勉[21]利用最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則建立了水力裂紋起裂和偏轉(zhuǎn)的控制方程，分析了裂紋偏轉(zhuǎn)擴展的關(guān)鍵影響因素和力學(xué)特征；唐世斌[22]等采用最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則研究了井筒預(yù)制對稱射孔時，起裂水壓和起裂角在不同射孔參數(shù)和應(yīng)力條件下的變化規(guī)律。隨著理論研究的深入，學(xué)者們[23-25]逐漸認識到裂紋尖端非奇異應(yīng)力( T應(yīng)力 )的影響，采用不同斷裂準(zhǔn)則同時考慮T應(yīng)力對水力裂紋起裂角及臨界水壓的變化規(guī)律進行了研究。需要指出的是各類準(zhǔn)則均有各自的假設(shè)條件及適用范圍，尚不存在萬能的斷裂準(zhǔn)則。最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則形式簡單且能較好地預(yù)測巖石裂紋斷裂特征，得到了廣泛應(yīng)用。

水力裂紋起裂角和起裂所需的臨界水壓對于確定合理的預(yù)制裂紋參數(shù)及施工泵壓參數(shù)具有重要的參考意義。起裂角和臨界水壓的主要影響因素包括：地應(yīng)力、注入水壓、預(yù)制裂紋傾角和尺寸等。本文基于斷裂力學(xué)理論和最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則，分析各關(guān)鍵因素對水力裂紋起裂角和臨界水壓的影響，研究成果可為定向水力壓裂的設(shè)計施工提供參考。

1 水力壓裂力學(xué)模型與裂紋擴展準(zhǔn)則

如圖1所示，長度為2a的傾斜裂紋受到遠場壓力σH( 最大水平主應(yīng)力 )和σh( 最小水平主應(yīng)力 )的作用。β為預(yù)制裂紋傾角；θ為裂紋起裂角( 順時針為負 )。

裂紋面上的正應(yīng)力σn和切向應(yīng)力τn為

圖1 水力壓裂力學(xué)模型 Fig. 1 Mechanical model of crack under hydraulic pressure

式中，P 為注入水壓；α1為比奧系數(shù)；p0為孔隙水壓。

圖1中水力裂紋的Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強度因子為

圖2為線彈性材料裂紋尖端應(yīng)力分布及變量示意，極坐標(biāo)系中裂隙尖端應(yīng)力分量表達式[26]為

式中，σr為徑向應(yīng)力；σθ為周向應(yīng)力；τrθ為剪切應(yīng)力；r為裂紋擴展區(qū)半徑。

圖2 裂紋尖端應(yīng)力場 Fig. 2 Stress field around crack tip

假設(shè)裂紋在周向拉應(yīng)力最大方向上起裂，裂紋起裂角θ應(yīng)滿足以下條件：

根據(jù)式( 5 )和( 6 )可得：

求解式( 7 )可得到基于最大周向拉應(yīng)力理論的裂紋臨界起裂角θc為

將式( 3 )和( 4 )代入式( 8 )可得θc的顯式解為

此外，由式( 5 )可得：

水壓達到臨界水壓Pc時，周向拉應(yīng)力達到其最大值，巖石產(chǎn)生拉張開裂，應(yīng)力強度因子KI達到其I型斷裂韌度KIC。

聯(lián)立式( 8 )，( 10 )，( 11 )可得[22]：

由式( 12 )可得裂紋起裂所需的臨界水壓Pc。

2 起裂角影響因素分析

基礎(chǔ)模型參數(shù)為：σH=7.5 MPa，σh=5 MPa， P=16 MPa，1α =0.8，0p =5 MPa，β=45°，a=0.04 m，KIC=2 MPa·m1/2。基于式( 9 )分析4因素(β，P，Δσ=σH-σh，0p )對起裂角的影響規(guī)律。保持其他參數(shù)不變，改變裂紋傾角β( 取值范圍0°～90° )，應(yīng)用式( 9 )可得起裂角-θc隨預(yù)制裂紋傾角β的變化規(guī)律( 采用基本模型計算所得θc均為負數(shù)，做圖均采用 -θc)。如圖3所示，起裂角-θc隨裂紋傾角β增加呈先增加后減小的趨勢，曲線形態(tài)呈拱形。當(dāng)β取值為45°～55°時，-θc達到拱頂平臺，即在此范圍內(nèi)-θc量值變化較小；β取值為47°左右時，-θc達到峰值( 約為10.3° )；β=0°和90°時，-θc量值最小為0°。

圖3 預(yù)制裂紋傾角β對起裂角-θc的影響 Fig. 3 Effect of inclination angle on the crack initiation angle

保持其他參數(shù)不變，改變注入水壓P( 取值范圍6～45 MPa )，應(yīng)用式( 9 )可得起裂角-θc隨水壓P的變化規(guī)律。由圖4可知，隨著水壓P增加，起裂角-θc逐漸降低，且降低的速率逐漸減小。P從6 MPa增加至20 MPa時，-θc從31.3°減少至7.9°，降幅約為23.4°。P從20 MPa增加至45 MPa時，-θc降幅約為4.6°。低水壓條件下，裂紋易發(fā)生大角度偏轉(zhuǎn)，而隨著水壓增高，裂紋偏轉(zhuǎn)角度逐漸降低。水壓繼續(xù)增加，裂紋偏轉(zhuǎn)角對水壓變化的敏感性逐漸降低。現(xiàn)場應(yīng)用中可通過提高水壓來減輕裂紋的偏轉(zhuǎn)程度，使得水力裂紋趨向于沿預(yù)制方向擴展。過高的水壓對減小起裂角的效果已不明顯，綜合考慮壓裂泵性能及預(yù)期擴展方向可確定合理的水壓。

圖4 水壓P對起裂角-θc的影響 Fig. 4 Effect of hydraulic pressure on the crack initiation angle

保持其他參數(shù)不變，改變最大水平主應(yīng)力σH( 取值范圍5～10 MPa )，應(yīng)用式( 9 )可得起裂角-θc隨應(yīng)力差( Δσ=σH-σh)的變化規(guī)律。由圖5可知， -θc隨著Δσ的增加呈單調(diào)遞增趨勢，應(yīng)力差從0增加至5 MPa，-θc從0°增加至21.2°。應(yīng)力差的增加導(dǎo)致裂紋偏轉(zhuǎn)角度的增加，裂紋偏轉(zhuǎn)方向為最大水平主應(yīng)力σH方向。

圖5 應(yīng)力差Δσ對起裂角-θc的影響 Fig. 5 Effect of stress difference on the crack initiation angle

保持其他參數(shù)不變，改變孔隙水壓0p ( 取值范圍0～10 MPa )，應(yīng)用式( 9 )可得起裂角-θc隨孔隙水壓0p 的變化規(guī)律。由圖6可知，-θc隨著0p 的增加呈單調(diào)遞減趨勢，應(yīng)力差從0增加至10 MPa，-θc從14.1°減少至7.9°，降幅約為6.2°。

圖6 孔隙水壓 0p 對起裂角-θc的影響 Fig. 6 Effect of pore pressure on the crack initiation angle

為了更加全面了解各因素對起裂角-θc的影響，將3因素( β，P，Δσ )相互組合，研究雙因素共同作用下的起裂角變化規(guī)律( 各因素取值范圍與前文所述一致 )。預(yù)制裂紋傾角β和水壓P共同影響下起裂角-θc的變化規(guī)律如圖7所示，當(dāng)水壓P取值較低，裂紋傾角取值為45°～55°時，計算所得起裂角-θc較大；當(dāng)水壓P逐漸增加或預(yù)制裂紋傾角β趨向于0°或90°時，起裂角-θc逐漸減小( 圖3和圖4分別為圖7在P=16 MPa、β=45°處的垂直剖面 )；高水壓、低傾角或高傾角條件下裂紋偏轉(zhuǎn)角度較小，而低水壓、裂紋傾角為45°～55°時，裂紋偏轉(zhuǎn)角度較大。

圖7 預(yù)制裂紋傾角β和水壓P對起裂角-θc的影響 Fig. 7 Combined effect of inclination angle and hydraulic pressure on the crack initiation angle

預(yù)制裂紋傾角β和應(yīng)力差Δσ共同影響下起裂角-θc的變化規(guī)律如圖8所示。當(dāng)Δσ較小時，裂紋傾角β的變化對起裂角-θc無顯著影響；當(dāng)Δσ取值增大，起裂角-θc對傾角β的變化逐漸變得敏感，-θc隨β變化曲線仍呈拱形；在低傾角或高傾角條件下，Δσ的變化對起裂角-θc無顯著影響。隨著β取值從0°或90°趨向于45°～55°時，-θc對應(yīng)力差Δσ的變化逐漸變得敏感，-θc隨著Δσ的增加呈近似直線增加，且增加的速率隨β趨向于45°～55°而逐漸增加( 圖4和圖5分別為圖8在β=45°、Δσ=2.5 MPa處的垂直剖面 )。

圖8 應(yīng)力差Δσ和預(yù)制裂紋傾角β對起裂角-θc的影響 Fig. 8 Combined effect of inclination angle and maximum horizontal principal stress on the crack initiation angle

水壓P和應(yīng)力差Δσ共同影響下起裂角-θc的變化規(guī)律如圖9所示。當(dāng)水壓P取值較高且應(yīng)力差Δσ較低時，裂紋偏轉(zhuǎn)角度較低( 趨近于0° )；相反，隨著應(yīng)力差的增加、注入水壓的降低，裂紋偏轉(zhuǎn)角度迅速增加。應(yīng)力差為5 MPa，水壓為6 MPa時，-θc達到峰值( 約為53° )。

圖9 應(yīng)力差Δσ和水壓P對起裂角量值-θc的影響 Fig. 9 Combined effect of maximum horizontal principal stress and hydraulic pressure on the crack initiation angle

3 臨界水壓影響因素分析

基于式( 12 )分析5因素( β，Δσ，a，KIC，0p )對裂紋起裂所需的臨界水壓Pc的影響規(guī)律。保持其他參數(shù)不變，改變預(yù)制裂紋傾角β，應(yīng)用式( 12 )可得臨界水壓Pc隨傾角β的變化規(guī)律。如圖10所示，Pc隨β的增加呈逐漸增加的趨勢。β從0°增加至90°時，Pc從6.6 MPa增加至9.1 MPa，Pc總增幅約為2.5 MPa；β的取值為0°～20°和80°～90°時，Pc增加速率較小；β的取值為20°～80°時，Pc的增加速率相對較大，在此區(qū)間內(nèi)Pc增幅約為2.3 MPa。

圖10 裂紋傾角β對臨界水壓P c的影響 Fig. 10 Effect of inclination angle on the critical initiation pressure

臨界水壓Pc隨應(yīng)力差Δσ的變化規(guī)律如圖11所示，Pc隨Δσ的增加呈先快速增長后緩慢降低的趨勢。Pc的增長速度隨Δσ的增加而逐漸變緩，Pc峰值約為7.6 MPa，出現(xiàn)在Δσ=4 MPa附近；隨Δσ繼續(xù)增加，Pc呈下降趨勢，但降幅較小。

圖11 應(yīng)力差Δσ對臨界水壓P c的影響 Fig. 11 Effect of maximum horizontal principal stress on the critical initiation pressure

預(yù)制裂紋傾角β和應(yīng)力差Δσ共同影響下臨界水壓Pc的變化規(guī)律如圖12所示。整體而言，傾角β和應(yīng)力差Δσ均較高時，裂紋擴展所需臨界水壓Pc較高；而低傾角、低應(yīng)力差條件下，裂紋起裂所需的臨界水壓Pc較低。值得注意的是，β的取值為0°～20°時，Pc隨Δσ的增加無顯著變化，Pc隨Δσ的變化曲線為斜率近似為0的直線；β的取值大于20°時，Pc隨Δσ的增加開始顯著變化；當(dāng)β的取值為45°左右時，Pc隨Δσ的變化呈先增加后緩慢下降的趨勢( 圖11 )。若β的取值為80°～90°時，Pc隨Δσ的變化曲線變?yōu)檩^高斜率的直線，即Pc隨Δσ的增加近似呈直線增加。

圖12 應(yīng)力差Δσ和裂紋傾角β對臨界水壓P c的影響 Fig. 12 Combined effect of inclination angle and maximum horizontal principal stress on the critical initiation pressure

臨界水壓Pc隨預(yù)制裂紋半長a( 取值范圍0.01～0.10 m )的變化規(guī)律如圖13所示。隨著裂紋半長a的增加，Pc呈逐漸減少的趨勢，且減少的速率逐漸降低；隨著a從0.01 m增加至0.04 m，Pc從13.3 MPa降低至7.3 MPa，降幅約為6.0 MPa，約占總變化幅度的74%；而隨著a從0.04 m增加至0.10 m，Pc降幅僅為2.1 MPa左右。臨界水壓Pc隨裂紋半長a的增加而逐漸降低。當(dāng)裂紋長度較大時，臨界水壓Pc對裂紋長度變化的敏感性逐漸降低。現(xiàn)場應(yīng)用中可通過增加預(yù)制裂紋長度來降低起裂所需的臨界水壓，過長的預(yù)制裂紋對降低臨界水壓的效果已不明顯，綜合考慮切縫設(shè)備性能及預(yù)期擴展程度可確定合理的預(yù)制裂紋長度。

圖13 裂紋半長a對臨界水壓P c的影響 Fig. 13 Effect of half-length of crack on the critical initiation pressure

臨界水壓Pc隨巖石斷裂韌度KIC( 取值范圍1～2 MPa·m1/2)的變化規(guī)律如圖14所示。臨界水壓Pc隨斷裂韌度KIC的增加呈近似單調(diào)遞增的趨勢，KIC從1 MPa·m1/2增加至2 MPa·m1/2，Pc從8.3 MPa增加至13.0 MPa。

圖14 斷裂韌度K IC對臨界水壓P c的影響 Fig. 14 Effect of rock toughness on the critical initiation pressure

裂紋半長a和斷裂韌度KIC共同影響下臨界水壓Pc的變化規(guī)律如圖15所示。當(dāng)a取值較小時，Pc隨KIC的增加而迅速增加；當(dāng)a取值較大時，Pc隨KIC增加而增長的速率較小。當(dāng)KIC取值較大時，Pc隨a的增加而下降，其降幅比KIC取值較小時降幅更大。整體而言，在裂紋較長且斷裂韌度KIC較小時，裂紋擴展所需臨界水壓較小。

圖15 裂紋半長a和斷裂韌度K IC對臨界水壓P c的影響 Fig. 15 Combined effect of half-length of crack and rock toughness on the critical initiation pressure

孔隙水壓p0( 取值范圍0～10 MPa )對臨界水壓Pc的影響規(guī)律如圖16所示。臨界水壓Pc隨孔隙水壓p0增加呈近似單調(diào)遞減趨勢。p0從0增加至10 MPa時，Pc從11.5 MPa減少至3.5 MPa，降幅約為8.0 MPa。

圖16 孔隙水壓p0對臨界水壓P c的影響 Fig. 16 Effect of pore pressure on the critical initiation pressure

4 水力壓裂試驗驗證

文獻[27]采用砂漿試樣進行了如圖1所示模型的水力壓裂試驗，試樣尺寸為300 mm×300 mm×300 mm，試樣中心鉆孔直徑為15 mm，孔身處預(yù)制2條對稱裂紋，裂紋長度為30 mm。圖17為Δσ=3 MPa和5 MPa條件下，起裂角-θc理論值與試驗值的對比結(jié)果。圖17( a )中，裂紋傾角β=45°時，起裂角-θc理論值與試驗值的差值最大( 約為1.4° )；β=30°時，差值最小( 約為0.9° )。圖17( b )中，裂紋傾角β=45°時，起裂角-θc理論值與試驗值的差值最大( 約為4.9° )； β=30°時，差值最小( 約為1.6° )。對比圖17( a )和( b )可以發(fā)現(xiàn)，相同裂紋傾角條件下，Δσ=5 MPa對應(yīng)的起裂角較大，一定程度上反映了圖5所展示的規(guī)律。此外，圖17中起裂角理論值均大于試驗值。整體而言，起裂角理論計算結(jié)果與試驗值較吻合。

圖17 起裂角-θc理論值與試驗值[27]對比 Fig. 17 Comparison of theoretical and experimental data[27] of the initiation angle

文獻[15]采用砂巖試樣開展了如圖1所示的水力壓裂試驗，試樣尺寸為300 mm×300 mm×300 mm，試樣中心鉆孔直徑為25 mm，孔身處預(yù)制2條對稱裂紋，裂紋深度為10 mm。改變預(yù)制裂紋傾角，監(jiān)測臨界水壓的變化。圖18為臨界水壓Pc理論值與試驗值對比結(jié)果。裂紋傾角β=15°時，臨界水壓Pc理論值與試驗值的差值最大( 約為0.39 MPa )； β=60°時，差值最小( 約為0.02 MPa )。此外，預(yù)制裂紋傾角β≤60°時，理論值小于試驗值，β＞60°時，理論值大于試驗值。整體而言，臨界水壓理論計算結(jié)果與試驗值比較吻合。值得指出，由于試驗條件及測量方法的影響，試驗結(jié)果可能具有一定的離散性和誤差。需要進一步開展水力壓裂試驗，驗證采用最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則預(yù)測起裂角及臨界水壓的準(zhǔn)確性。

圖18 臨界水壓P c理論值與試驗值[15]對比 Fig. 18 Comparison of theoretical and experimental data[15] of the critical initiation pressure

5 結(jié) 論

( 1 ) 起裂角隨預(yù)制裂紋傾角的增加呈先增加后減小的趨勢。隨著水壓的增高，起裂角逐漸降低。高注水壓力條件下，起裂角對水壓變化的敏感性降低。隨著應(yīng)力差的增加，起裂角呈單調(diào)遞增趨勢。起裂角隨孔隙水壓增加呈單調(diào)遞減趨勢。當(dāng)預(yù)制裂紋傾角較低或較高時，起裂角隨應(yīng)力差增長的速率緩慢，傾角量值中等( 45°～55° )時，起裂角隨應(yīng)力差增加的速率較高。

( 2 ) 臨界水壓隨預(yù)制裂紋傾角增加呈增加趨勢。整體而言，臨界水壓隨應(yīng)力差增大而增加，變化趨勢受傾角影響較大。當(dāng)裂紋傾角較低時，臨界水壓隨應(yīng)力差變化并不顯著，裂紋傾角較高時臨界水壓隨應(yīng)力差增加呈近似直線增長，且增加速率較高。

( 3 ) 臨界水壓隨預(yù)制裂紋長度的增加而逐漸降低。當(dāng)裂紋長度較大時，臨界水壓對裂紋長度變化的敏感性逐漸降低。臨界水壓隨斷裂韌度的增加呈單調(diào)遞增趨勢。在裂紋長度較低時，臨界水壓對斷裂韌度的變化更為敏感。在斷裂韌度較大時，臨界水壓對裂紋長度的變化更為敏感。臨界水壓隨孔隙水壓增加呈單調(diào)遞減趨勢。

( 4 ) 采用最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則預(yù)測的水力裂紋起裂角及臨界水壓與試驗值較吻合。起裂角理論值與試驗值的差值最大約為4.9°，臨界水壓理論值與試驗值的差值最大約為0.39 MPa。

致謝 感謝國家留學(xué)基金委“國家建設(shè)高水平大學(xué)公派研究生項目”對本文第一作者在加拿大Simon Fraser University聯(lián)合培養(yǎng)期間的資助。