車輛跟馳模型穩(wěn)定的充分必要條件

韓祥臨，歐 橋，王心宇,瓦 米

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

交通流的穩(wěn)定性是目前交通流研究的熱點[1-8].Bando等[9]考慮了如下情形：在長度為L的圓形道路上有N(N≥2)輛車，假設(shè)每輛車有一個優(yōu)化速度V，它只依賴當(dāng)前車與其前車的車頭間距Δxn(t)=xn-1-xn=hn(t)，其中xn為第n輛車的位置.文獻[9]提出了優(yōu)化速度模型：

(1)

其中，a>0為常數(shù)，表示當(dāng)前車司機的敏感系數(shù).

文獻[9]用動力學(xué)系統(tǒng)方法對模型(1)的穩(wěn)定性進行了分析.由于平衡態(tài)的數(shù)據(jù)在實際中很難觀測到，故先將系統(tǒng)線性化，即在平衡態(tài)

(2)

線化模型(1)后再進行研究，進而給出模型(1)無擁堵的充分條件：

(3)

許多學(xué)者對這一模型進行了優(yōu)化或改進[10-13].Huijberts[13]對條件(3)進行了分析，認(rèn)為這一條件僅僅是一個充分條件，而不是必要條件，于是他給出并證明模型(1)穩(wěn)定的充分必要條件為：

(4)

Wilson[14]比較系統(tǒng)地總結(jié)了跟馳模型的線性穩(wěn)定性分析方法，以及對應(yīng)的穩(wěn)定性條件，并指出下列一般性模型一定是短波穩(wěn)定的：

(5)

(6)

就一般形式的跟馳模型(5)而言，條件(6)只是一個充分條件.本文試圖給出該模型穩(wěn)定的充分必要條件，進而說明充分條件(6)的局限性,以及給出必要條件的重要性.

1 模型(5)的穩(wěn)定性條件及其證明

將模型(5)線性化，得到ξn的線化方程：

其中，ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)T,η=(η1,η2,…,ηn)T，0為n×n零矩陣，I為n×n單位矩陣，

故設(shè)擾動系統(tǒng)的解為：

由zξ=η,zη=Aξ+Dη，得：

z2ξ=Aξ+zDξ.

于是可以得到特征方程：

det|z2I-zD-A|=0,

即

p(z)=(z2+(p2-p3)z+p1)N-(p2z+p1)N=0.

(7)

顯然，當(dāng)N=1時，p(z)=0的非零根z=p3恒為負(fù),即在周期邊界條件下道路上只有一輛車時，車流是穩(wěn)定的.為分析N>1時的車流穩(wěn)定性，本文先給出以下引理：

引理1記s=z2+mz=x+iy，其中x,y為實數(shù)，則特征方程(7)非零根實部均為負(fù)數(shù)的充分必要條件為：

由非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的充分必要條件為：

即

(8)

又因為

將r代入，兩邊平方并化簡得：

定理1模型(5)的穩(wěn)態(tài)流穩(wěn)定的充分必要條件為：

(9)

證明記

則q(s)=0的非零根可表示為：

于是有：

由引理1可知，模型(5)的特征方程根實部為負(fù)的充分必要條件為上式小于零，從而得出系統(tǒng)(4)穩(wěn)定的充分必要條件為：

(10)

其中,k=1,2,…,N.

當(dāng)k=1時,條件(10)就是條件(9).只要證明若k=1時條件(10)成立，再推出k=2,3,…,N時條件(10)也成立即可(因為本文要證明的結(jié)論與k無關(guān)，也就是k=1的情形).事實上，當(dāng)k=1時，條件(10)成立，即

則k=2,3,…,N時，有：

所以，條件(10)對所有k=1,2,…,N成立的充分必要條件為條件(10)對k=1時成立.于是得到系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的充分必要條件為：

即

2 結(jié)論與例析

本文分析和研究了下列一般形式的車輛跟馳模型的穩(wěn)定性：

本文從數(shù)學(xué)的角度給出了該模型穩(wěn)定的一般性結(jié)論，并推廣了已有的結(jié)果，為分析該模型的穩(wěn)定性提供了一般性的理論依據(jù).

下面分析充分必要條件(9)的兩個極端情形：

(11)

(11)式正是現(xiàn)有文獻中的結(jié)果.

上述分析表明，現(xiàn)有文獻中的穩(wěn)定性條件只有當(dāng)N→∞時才是必要的.

(12)

模型(12)穩(wěn)定的充分必要條件為：

(13)

條件(13)與文獻[6]所述的條件等價，進一步說明條件(9)的一般性，也從側(cè)面驗證了條件(13)的準(zhǔn)確性.

推論2速度差模型[8]：

(14)

穩(wěn)定的充分必要條件為：

(15)

速度差模型在車輛跟馳模型中有一定的代表性，在以往的穩(wěn)定性分析中，學(xué)者們往往只給出模型(14)的一個必要條件：

(16)

顯然，條件(15)比條件(16)更精確.