Walker星座性能修復構型重構的彈性力學解法

賀波勇, 李恒年, 周慶瑞, 麻蔚然

(1.西安衛星測控中心 宇航動力學國家重點實驗室, 陜西 西安 710043;2.西北工業大學 航天學院, 陜西 西安 710072; 3.中國空間技術研究院 錢學森空間技術實驗室, 北京 100094)

Walker星座是全球覆蓋最有效星座[1]，常用于對地觀測、導航和互聯網通信等。近年來，隨著衛星和運載火箭標準化、商業化和產業化，星座部署成本降低。而全球觀測覆蓋率、重訪時間分辨率等需求增長使得星座中衛星數量急劇增長，如Space-X公司Star-link互聯網星座預計最終部署約42 000顆衛星。因單顆衛星系統故障解體或空間碎片撞擊引發Kessler效應[2]可能導致Walker星座中同軌道面相鄰多顆衛星均處于碎片帶，進而產生故障，引起星座整體性能下降[3]。星座性能快速修復有2種途徑：①地面具備快速發射響應能力，補充衛星來彌補失效衛星原有職能[4]；②依靠在軌衛星構型重構對星座整體性能進行一定程度修復[5]。前者由于近年來快速響應火箭技術發展逐漸被重視，但快響火箭運載能力和響應周期仍難滿足現實需求，而后者因其可快速實現性被學者長期研究。對于衛星數量較少的星座可以采用軌道力學專家知識簡單計算出可接受重構策略[5-6]，甚至采用間接法給出最優策略[7]，而對于衛星數量稍多的情況采用智能進化算法[8-10]或拍賣算法[11]給出可行重構策略。一些學者也將多Agent技術引入到衛星編隊構型重構問題中來[12]，但重構位置分配問題仍利用拍賣算法求解[13]。隨著星座中衛星數量急劇增長，軌道力學專家知識方法難以勝任，基于進化算法或拍賣算法的搜索方式顯現出維數災難問題[14]。

本文試用薄膜彈性力學理論求解Walker星座性能修復構型重構策略。

1 在軌重構問題描述

星座重構一般發生在星座分階段部署、任務調整重構和衛星故障在軌重構等場景。分階段部署可以利用發射窗口[15]、升交點進動[16]和大氣阻力[17](低軌)等節能方式部署；任務調整重構的典型場景如指定區域詳細觀測任務，一般利用專家知識[6]或進化算法[8]給出可行解；衛星故障在軌重構任務可以分為單星故障、同軌道面多星故障和多軌道面多星故障3類需要重構的場景，構成多約束多目標優化問題[18]。

1.1 Walker星座及典型故障

Walker星座可用5個參數N,P,F,h,i描述。(N,P,F)為離散正整數,分別為衛星總個數、分布軌道面數和相位因子,0≤F≤P-1。h,i分別為軌道高度和軌道傾角,Walker星座默認所有衛星高度和軌道傾角相同。升交點赤經

Ωi=Ω0+i·ΔΩi=1,…,P-1

(1)

1.1.1 全球覆蓋率

全球覆蓋率主要由傾角i、軌道高度h和衛星的對地覆蓋波束半張角θ決定,如圖1所示,全球覆蓋率為

(2)

(3)

(4)

圖1 Walker星座對地觀測幾何

1.1.2 時間分辨率

除對地可見光觀測衛星外,Walker星座時間分辨率主要有經度方向和軌道面內2個方向:

(5)

式中，ωe=7.292 115×10-5rad/s為地球自轉角速度。

(6)

導致Walker星座中單顆衛星失效的原因可能來自于衛星自身故障或空間碎片小動量碰撞,而同軌道面多星故障可能來自于衛星姿態控制系統失效導致的衛星解體或空間碎片大動量碰撞產生的碎片帶(云),這些碎片云會貼近軌道面沿軌道跡向散開,一段時間后散布相位區間增大[19],引起Walker星座單顆、相鄰多顆、甚至某個軌道面內所有衛星均失效。

1.2 軌道調整模型

考慮星座重構時為了節約燃料消耗,均采用Gauss攝動方程進行軌道小偏差調整。

1.2.1 相位調整

為保證均勻對地覆蓋,Walker星座中衛星均為近圓軌道(e≈0),考慮地球扁率J2=1.083×10-3項影響,忽略高階項,軌道平相位角速率為

(7)

(8)

(9)

(10)

1.2.2 升交點赤經調整

由Gauss攝動方程知,直接調整升交點赤經燃料消耗代價較大,通常采用半長軸和傾角偏置產生升交點赤經漂移速率差值調整升交點赤經。同樣考慮近圓軌道地球扁率影響,平升交點赤經漂移速率為

(11)

(12)

(13)

(14)

如果采用切向速度增量Δvt和法向速度增量Δvh在最佳時刻分別調整軌道半長軸和傾角,有

(15)

(16)

2 薄膜彈性力學解法

當Walker星座中衛星數量較多時,可以認為所有衛星分布在地心球面或球帶面薄膜板上,當某一個或某些軌道平面衛星失效,可以等效為該球膜或球帶薄膜產生漏洞,如圖2所示。

圖2 星座修復重構仿生薄膜彈性力學示意圖

星座在軌重構等效為使用外力拉伸漏洞附近薄膜,使之發生薄膜形變位移,來縮小漏洞面積,一定程度上恢復漏洞區域衛星的缺失職能。由于Walker星座衛星軌道調整不會給所在球面或球帶面帶來軌道高度顯著變化,這與薄膜板彈性力學無彎曲應力形變相似。

2.1 仿正交異性薄膜板剛度矩陣

不考慮剪切應變的正交異性薄膜板剛度矩陣如下

(17)

式中:Exx,Eyy分別為局部坐標x,y軸向的等效彈性模量;νxy,νyx分別為x,y軸向的泊松比;柔度矩陣S=D-1,應變與應力關系為ε=Sσ。

(18)

對于限定軌道調整時長t的星座重構任務而言,相位和升交點調整量分別為

(19)

2.2 彈性力學Ritz解法

設星座重構調整總勢能函數為

Π=U+W

(20)

式中:U為星座重構軌道機動代價等效函數;W為星座重構前后整體性能指標下降量。

圖3 Walker星座重構前后失效區域示意圖

(21)

設2個相鄰軌道面內相位接近的2sdis衛星分別從左右兩側靠近失效區域調整升交點赤經ΔΩ,則其余軌道面相位接近的衛星向失效區域調整升交點赤經量為

(22)

進一步可以通過(18)式和(19)式計算出最佳時刻軌道調整速度增量累加值Δvt和Δvh,則可設軌道機動代價等效函數為

(23)

參考文獻[5]中修復比例概念,設星座未受損時時間分辨率為Δtini,Δtini取(5)式和(6)式較大值。受損后星座時間分辨率為

(24)

修復后時間分辨率為

(25)

則可設星座重構前后整體性能指標下降量等效函數為

(26)

仿照彈性力學理論中最小勢能原理對(20)式求偏導,使偏導數為0。

(27)

(28)

(29)

(30)

星座重構軌道機動代價等效函數U會隨容許的軌道調整時長t變化。

3 算 例

3.1 算例1

參考文獻[5]中Walker星座[(N/P/F),(h,i)]=[(18/3/2),(1 000 km,30°)],星座未受損時的時間分辨率為48 s,由(6)式可計算地面覆蓋角約為28.626°。與文獻[5]相同,假設失效衛星為2顆和3顆,按照本文方法計算重構前后性能與文獻指標對比如表1所示。

表1 對比文獻[5]方法星座重構性能指標

由受損后時間分辨率可知,本文考慮地球扁率的模型更為精確。設置同樣的重構時間,相比于文獻[5]計算結果,本文重構策略各種性能指標也更優。原因是:利用彈性力學方法,使剩余衛星分別從兩側同時向故障衛星方向實施軌道機動,分攤到每顆衛星的機動能耗和所有機動衛星的總機動能耗均有所減少,這種星座重構策略更接近自然界中材料的彈性力學協調變形行為,但代價是幾乎全部剩余衛星都需機動。

3.2 算例2

以新一代銥星星座軌道高度為例[20],假設Walker星座參數[(N/P/F),(h,i)]=[(66/6/？),(774.63 km,86.39°)],赤道連續覆蓋Δtini=Δtλ=0,通過(5)式可知單星地面覆蓋角d≥30°,取d=30°,假設重構時長為t=86 400 s,則某軌道面內相鄰失效衛星數量sdis=1,2,3,…,11時,重構前后性能指標如表2所示。

表2 新一代銥星星座重構性能指標

算例2設置的重構時長為1天,約為算例1的10倍,最大速度增量及速度增量總和顯著降低至百米每秒量級,具備工程實施可能。當軌道面失效衛星數接近該軌道面所有衛星數時,即便留100天重構時長用于其余軌道面衛星調整升交點赤經,也需千米每秒量級的變軌速度增量,在軌衛星很難付出這樣的代價,建議由地面發射新衛星補充失效衛星原功能。

4 結 論

本文提出利用薄膜板線彈性力學Ritz方法求解Walker星座典型故障場景中,在軌衛星機動重構星座構型的問題。算例表明該方法可以解析求解重構策略,求解的重構策略相比已有文獻結果更優更協調。