一種基于多層設(shè)計(jì)空間縮減策略的近似高維優(yōu)化方法

葉鵬程, 王聰聰, 潘光

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安 710072;2.西北工業(yè)大學(xué) 無(wú)人水下運(yùn)載技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072;3.中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司 洛陽(yáng)電光設(shè)備研究所, 河南 洛陽(yáng) 471000)

現(xiàn)今復(fù)雜產(chǎn)品的設(shè)計(jì)往往包含大量高維昂貴黑箱優(yōu)化問題的求解，需要進(jìn)行數(shù)以千計(jì)的高精度仿真分析，耗費(fèi)大量計(jì)算資源[1]。盡管目前計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力和運(yùn)算速度持續(xù)增強(qiáng)，但數(shù)值仿真分析軟件諸如有限元分析(finite element analysis,FEA)、計(jì)算流體力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)等同樣變得越來(lái)越復(fù)雜與精細(xì)[2]。目前最有效方法是建立代理模型來(lái)代替實(shí)際昂貴黑箱模型，從而通過對(duì)代理模型的優(yōu)化得到真實(shí)模型的近似優(yōu)化值。

當(dāng)前廣泛使用的代理模型包括多項(xiàng)式響應(yīng)面模型(polynomial response surfaces,PRS)、徑向基函數(shù)模型(radial basis functions,RBF)和克里金模型(Kriging,KRG)等。基于代理模型優(yōu)化方法能夠準(zhǔn)確近似反映昂貴黑箱問題，有效降低計(jì)算成本，在工程優(yōu)化領(lǐng)域得到深入研究與廣泛應(yīng)用[3-4]。然而GOEL等[5]指出對(duì)于不同特性優(yōu)化問題，不同代理模型擁有各自優(yōu)勢(shì)和不足，在諸如精度、效率、魯棒性和透明度等方面表現(xiàn)各異。另外，經(jīng)典代理模型雖然能夠較好地解決工程優(yōu)化領(lǐng)域的低維問題，但隨著優(yōu)化問題維度和復(fù)雜度的增加，構(gòu)建代理模型所需的計(jì)算花費(fèi)也將呈指數(shù)增長(zhǎng)，大大降低了高維問題優(yōu)化效率。組合代理模型擁有選取的多個(gè)單一代理模型的優(yōu)點(diǎn)，能夠同時(shí)獲取更多關(guān)于未知優(yōu)化問題的信息，有效降低粗糙近似模型的消極影響，提高高維昂貴黑箱模型預(yù)測(cè)精度。Wang等[6]提出了基于RBF和KRG組合代理模型的高維優(yōu)化方法SAEAs，通過不同維度數(shù)值試驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法在處理高維問題時(shí)的優(yōu)越性。Gu等[7]提出了基于PRS、RBF和KRG組合代理模型的高維優(yōu)化方法HMBSM，在搜索過程中同時(shí)采用3種代理模型的響應(yīng)值大小，優(yōu)先選取對(duì)應(yīng)3種近似模型目標(biāo)函數(shù)值都較低的樣本點(diǎn)，成功應(yīng)用于汽車輕量化設(shè)計(jì)。

雖然使用代理模型可以一定程度上緩解高維昂貴黑箱問題的計(jì)算壓力，但是維度過高仍將導(dǎo)致基于代理模型優(yōu)化方法難以獲得令人滿意的優(yōu)化精度和效率[8]。設(shè)計(jì)空間縮減策略作為一種積極有效的方法被提出來(lái)克服這個(gè)難題，通過分析設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)之間關(guān)系，探索全局最優(yōu)解可能位于的區(qū)域來(lái)提高優(yōu)化質(zhì)量和優(yōu)化效率。Farias等[9]提出基于信賴域流體結(jié)構(gòu)耦合設(shè)計(jì)優(yōu)化框架，通過自適應(yīng)更新設(shè)計(jì)子空間，逐步提高近似模型在局部區(qū)域內(nèi)的精度。Long等[10]提出了智能空間探索策略，進(jìn)而發(fā)展了一種改進(jìn)的高效自適應(yīng)響應(yīng)面方法。李春娜等[11]使用模糊聚類算法確定關(guān)鍵的設(shè)計(jì)子空間，然后在每個(gè)子空間內(nèi)通過最大化目標(biāo)函數(shù)的期望提高函數(shù)和最小化模型預(yù)測(cè)目標(biāo)來(lái)增加新的樣本，發(fā)展了一種適用于氣動(dòng)優(yōu)化的高效自適應(yīng)全局優(yōu)化方法。

考慮到高維昂貴黑箱問題的復(fù)雜性，無(wú)論采用何種設(shè)計(jì)空間探索策略，都無(wú)法有效提高局部搜索能力。本文聯(lián)合多種設(shè)計(jì)空間探索策略，提出了多層設(shè)計(jì)空間縮減策略，同時(shí)結(jié)合組合代理模型，以提高其處理高維昂貴黑箱優(yōu)化問題的效率。本文提出的基于多層設(shè)計(jì)空間縮減策略的近似高維優(yōu)化方法，采用多層設(shè)計(jì)空間縮減策略確定有效的設(shè)計(jì)子空間，并在縮減的設(shè)計(jì)子空間內(nèi)自適應(yīng)增加有效樣本點(diǎn)。組合代理模型和縮減的設(shè)計(jì)子空間在迭代過程中自適應(yīng)地更新、重建，直至收斂獲得全局最優(yōu)。最后通過標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化函數(shù)和工程優(yōu)化實(shí)例測(cè)試分析，驗(yàn)證近似高維優(yōu)化方法HSRAHO的性能優(yōu)勢(shì)。

1 組合代理模型

組合代理模型由多個(gè)選用代理模型線性加權(quán)組合而成，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(1)

在迭代過程中,選用代理模型權(quán)重因子通過智能求解如下優(yōu)化問題獲得

(2)

2 多層設(shè)計(jì)空間縮減策略

本文提出多層設(shè)計(jì)空間縮減策略以幫助研究人員識(shí)別全局最優(yōu)解潛在區(qū)域,減少不必要的計(jì)算資源,提高優(yōu)化效率。該策略采用已有的“昂貴”樣本點(diǎn)(指采用真實(shí)分析模型計(jì)算得到實(shí)際目標(biāo)函數(shù)值)確定2個(gè)減小的設(shè)計(jì)子空間“subspace1”和“subspace2”。文中按照所有樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的真實(shí)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行排序,選擇目標(biāo)函數(shù)值較小的前M1個(gè)樣本點(diǎn)(M1取值為“昂貴”樣本點(diǎn)數(shù)量一半,其中樣本點(diǎn)數(shù)量根據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)動(dòng)態(tài)變化)。然后使用模糊C均值聚類算法[14](fuzzy C-means,FCM)計(jì)算得到設(shè)計(jì)子空間subspace1,具體計(jì)算公式如下

i=1,2,…,c

(3)

相比設(shè)計(jì)子空間subspace1,設(shè)計(jì)子空間subspace2是一個(gè)更小的立方體空間。選用真實(shí)目標(biāo)函數(shù)值較小的前M2個(gè)“昂貴”樣本點(diǎn)(M2設(shè)為8),分別計(jì)算subspace2的中心C和尺寸W。

Wj=Uj-Lj,j=1, 2, …,n

(4)

(5)

HSRAHO方法通過在設(shè)計(jì)子空間subspace1和subspace2進(jìn)行開發(fā)和和探索,以此加快局部收斂速度。設(shè)計(jì)子空間subspace1通常包含更多的局部最優(yōu)點(diǎn),而subspace2則更專注于探索關(guān)鍵區(qū)域。在迭代過程中,subspace1和subspace2可能出現(xiàn)不包含實(shí)際全局最優(yōu)解情況。為了避免HSRAHO方法陷入局部最優(yōu),同樣在初始全局空間OGS內(nèi)進(jìn)行全局尋優(yōu)。HSRAHO方法每隔3次迭代分別在OGS、subspace1和subspace2內(nèi)進(jìn)行全局尋優(yōu),并通過補(bǔ)充有效樣本點(diǎn)來(lái)更新組合代理模型和下一次迭代的設(shè)計(jì)子空間subspace1和subspace2。

圖1 HSRAHO方法流程圖

3 近似高維優(yōu)化方法

本文提出的近似高維優(yōu)化方法HSRAHO聯(lián)合組合代理模型和多層設(shè)計(jì)空間縮減策略,主要包含以下4個(gè)部分:①構(gòu)造單一代理模型PRS、RBF、KRG和組合代理模型;②采用多層設(shè)計(jì)空間縮減策略確定設(shè)計(jì)子空間subspace1和subspace2;③采用混合自適應(yīng)有效樣本方法(hybrid and adaptive promising sampling,HAPS[12])增加有效樣本點(diǎn)(HAPS方法在下面做詳細(xì)介紹);④判斷是否滿足收斂準(zhǔn)則。HSRAHO方法流程如圖1所示,具體步驟如下:

1) 建立真實(shí)分析模型,確定設(shè)計(jì)變量和設(shè)計(jì)空間,初始化HSRAHO方法參數(shù),令迭代參數(shù)k=1。

2) 使用快速優(yōu)化拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[15](fast optimal Latin hypercube sampling design,FOLHD)在初始全局空間內(nèi)生成8個(gè)初始樣本點(diǎn),同時(shí)調(diào)用真實(shí)分析模型計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值。將初始樣本點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的真實(shí)目標(biāo)函數(shù)值保存到樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中。

3) 提取樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中的所有樣本點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的真實(shí)目標(biāo)函數(shù)值,分別構(gòu)造單一代理模型PRS、RBF和KRG。

4) 使用SQP算法求解公式(2)中的優(yōu)化問題,計(jì)算獲得優(yōu)化權(quán)重因子,構(gòu)造組合代理模型。公式(2)中參數(shù)α和β初始值分別設(shè)為0.05和-1。

5) 判斷迭代數(shù)k是否滿足公式rem(k,3)=2。如果滿足,則計(jì)算設(shè)計(jì)子空間subspace1;否則,轉(zhuǎn)入步驟7)。rem表示計(jì)算余數(shù)。

6) 使用HAPS方法在設(shè)計(jì)子空間subspace1內(nèi)產(chǎn)生3個(gè)有效樣本點(diǎn),轉(zhuǎn)入步驟10)。

7) 判斷迭代數(shù)k是否滿足公式rem(k,3)=0。如果滿足,則計(jì)算設(shè)計(jì)子空間subspace2;否則,轉(zhuǎn)入步驟9)。

8) 使用HAPS方法在設(shè)計(jì)子空間subspace2內(nèi)產(chǎn)生3個(gè)有效樣本點(diǎn),轉(zhuǎn)入步驟10)。

9) 使用HAPS方法在初始全局空間OGS內(nèi)產(chǎn)生3個(gè)有效樣本點(diǎn)。

10) 將獲得的有效樣本點(diǎn)和樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中已有樣本點(diǎn)進(jìn)行比較,滿足公式(6)的有效樣本點(diǎn)將被剔除。保存剩余新樣本點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的真實(shí)目標(biāo)函數(shù)值到樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中。

(6)

11) 重復(fù)步驟3)～10)直到滿足終止準(zhǔn)則,終止準(zhǔn)則表達(dá)式如下。

(7)

式中:fopt表示獲得的最優(yōu)解;fmin表示實(shí)際最優(yōu)解;Nfe表示復(fù)雜仿真分析模型調(diào)用次數(shù)(number of function evaluations,NFE)。當(dāng)Nfe大于閾值300時(shí),當(dāng)前最優(yōu)結(jié)果將作為獲得的最優(yōu)解。

本文提出的HAPS方法操作步驟如下:

2) 基于不同的單一代理模型分別構(gòu)造4種組合代理模型。為便于描述,AES-PRK表示選用3種單一代理模型PRS、RBF和KRG構(gòu)造組合代理模型,AES-PR表示選用2種單一代理模型PRS和RBF,AES-PK表示選用2種單一代理模型PRS和KRG,AES-RK表示選用2種單一代理模型RBF和KRG。

7) 計(jì)算獲得同時(shí)出現(xiàn)在任意2個(gè)樣本集或3個(gè)樣本集的樣本點(diǎn),3個(gè)樣本集A,B,C將被劃分為7個(gè)樣本子集E～K(如圖2所示),數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

(8)

圖2 樣本子集E～K示意圖

8) 在所有樣本子集E～K中選取數(shù)量為3個(gè)有效樣本點(diǎn),各子集分配到的樣本點(diǎn)數(shù)量Si由(7)式?jīng)Q定

Si=round(3×λi),

(9)

式中:i表示各樣本子集E～K序號(hào);round表示對(duì)結(jié)果進(jìn)行四舍五入;λi為反映不同樣本子集重要性的權(quán)系數(shù),由各樣本子集本身重要性指數(shù)li和包含的樣本點(diǎn)數(shù)量ri共同決定。本文將li設(shè)為樣本子集涉及的代理模型數(shù)量,即l1=3,l2-4=2,l5-7=1。

4 測(cè)試結(jié)果與分析

4.1 標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化函數(shù)

選用6個(gè)經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化函數(shù)來(lái)測(cè)試HSRAHO方法的優(yōu)化性能,同時(shí)選取近似優(yōu)化方法ESGOHSR[3]和HAM[4]進(jìn)行比較分析。ESGOHSR和HAM方法同樣使用了多個(gè)代理模型和設(shè)計(jì)空間縮減策略,能夠有效處理不同類型工程優(yōu)化問題。Shan和Wang[1]將設(shè)計(jì)變量n≥10定義為高維問題。

1) Paviani函數(shù)(Paviani),n=10

x∈[2.1, 9.9],fmin=-45.778 4

(10)

2) Trid函數(shù)(Trid),n=10

x∈[-100, 100],fmin=-210

(11)

3) Ellipsoid函數(shù)(Ellipsoid),n=12

(12)

4) Sum Squares函數(shù)(SumS),n=15

(13)

5) 16維函數(shù)(F16),n=16

i=1, 2,…,n,x∈[-2, 2],fmin=25.875 0

(14)

式中,αij取值參考文獻(xiàn)[4]。

(6) Sphere函數(shù)(Sphere),n=20

(15)

在實(shí)際工程應(yīng)用中,優(yōu)化時(shí)間基本上取決于調(diào)用真實(shí)分析模型次數(shù)Nfe,本文采用Nfe來(lái)表征優(yōu)化效率,同時(shí)采用收斂全局最優(yōu)解fopt反映優(yōu)化精度和魯棒性。為了減小測(cè)試過程中的隨機(jī)誤差,分別使用3種優(yōu)化方法HSRAHO、ESGOHSR和HAM連續(xù)運(yùn)行50次,并對(duì)優(yōu)化結(jié)果做統(tǒng)計(jì)分析。優(yōu)化精度與優(yōu)化效率測(cè)試結(jié)果對(duì)比如表1至2所示,分別包括fopt和Nfe最小值、最大值和平均值,表中fopt和Nfe最小平均值采用加粗表示。另外,表2中符合“>”表示在Nfe超過閾值maxm時(shí),優(yōu)化算法仍無(wú)法獲得滿足收斂條件的優(yōu)化解,其中括號(hào)內(nèi)數(shù)字表示50次重復(fù)數(shù)值試驗(yàn)過程中無(wú)法獲得滿意優(yōu)化結(jié)果次數(shù)。

分析表1優(yōu)化精度測(cè)試結(jié)果可知,HSRAHO方法能夠成功捕捉到所有測(cè)試函數(shù)的收斂?jī)?yōu)化解,除Trid和Ellipsoid函數(shù)外優(yōu)化精度均好于比較方法ESGOHSR和HAM。ESGOHSR方法在Trid和Ellipsoid函數(shù)中獲得的fopt平均值最接近實(shí)際全局最優(yōu)解,但在函數(shù)Paviani、SumS、F16和Sphere中,分別有數(shù)十次無(wú)法獲得滿足收斂條件的優(yōu)化解。HAM方法在函數(shù)Paviani、Trid、Ellipsoid和F16中,獲得的優(yōu)化結(jié)果平均值最大,優(yōu)化精度最低。為了進(jìn)一步展示HSRAHO方法魯棒性,圖3給出了各函數(shù)50次優(yōu)化結(jié)果的分布圖。從圖中可以清楚看出,HSRAHO方法獲得的優(yōu)化解分布均勻,魯棒性最強(qiáng),ESGOHSR方法其次,HAM魯棒性最弱。優(yōu)化結(jié)果表明,ESGOHSR和HAM方法在搜索過程中容易陷入局部最優(yōu),而HSRAHO方法采樣策略很好地平衡了局部開發(fā)和全局探索,有效避免“落入早熟陷阱”。

分析表2優(yōu)化效率測(cè)試結(jié)果可知,HSRAHO方法在除Trid函數(shù)外均能以最小計(jì)算資源獲得收斂?jī)?yōu)化解。以Paviani函數(shù)為例,HSRAHO方法平均只需要調(diào)用真實(shí)分析模型129.7次,比ESGOHSR方法平均少超過109.1次,比HAM方法平均少超過163.7次。另外,ESGOHSR方法在函數(shù)Paviani、SumS、F16和Sphere中,分別有35,21,29和34次無(wú)法獲得收斂?jī)?yōu)化解。HAM方法則在所有測(cè)試函數(shù)中僅有數(shù)次獲得令人滿意的優(yōu)化解。結(jié)果表明,本文提出的多層設(shè)計(jì)空間縮減策略能夠準(zhǔn)確識(shí)別包含實(shí)際全局最優(yōu)解的有效設(shè)計(jì)子空間,而ESGOHSR和HAM方法采用的設(shè)計(jì)空間縮減策略則無(wú)法準(zhǔn)確定位。

總之,HSRAHO方法采用多個(gè)代理模型和自適應(yīng)空間探索方法,在增強(qiáng)優(yōu)化精度和魯棒性的同時(shí),能夠有效減輕計(jì)算壓力,優(yōu)化效率明顯高于比較方法ESGOHSR和HAM。

表1 優(yōu)化精度測(cè)試結(jié)果對(duì)比

表2 優(yōu)化效率測(cè)試結(jié)果對(duì)比

圖3 獲得最優(yōu)解分布圖

4.2 翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化問題

飛翼布局水下滑翔機(jī)作為一種效率高、續(xù)航能力強(qiáng)新型無(wú)人水下潛航器,在海洋資源開發(fā)、環(huán)境監(jiān)測(cè)、深海搜救,乃至軍事應(yīng)用方面都具有極大研究意義。高升阻比是飛翼布局水下滑翔機(jī)的一個(gè)重要指標(biāo),設(shè)計(jì)優(yōu)化翼型剖面形狀成為提高其水動(dòng)力性能的一個(gè)重要手段。本文通過優(yōu)化設(shè)計(jì)飛翼布局水下滑翔機(jī)的剖面翼型(11維NACA0012翼型)來(lái)提高其水動(dòng)力性能,同時(shí)進(jìn)一步驗(yàn)證HSRAHO方法的工程實(shí)用性。采用形狀類別函數(shù)變換方法(class function/shape function transformation,CST[16])描述翼型的幾何外形。CST參數(shù)化方法表達(dá)式如下

(16)

式中:x表示沿翼型弦線方向的橫坐標(biāo)值;yu0,yl0,yu和yl分別表示基準(zhǔn)翼型和目標(biāo)翼型的上下弧面縱坐標(biāo)值。參數(shù)n表示伯恩斯坦多項(xiàng)式階數(shù),本文取n=5。權(quán)重系數(shù)Aui和Ali表示翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。

(17)

考慮到翼型上下弧面曲線的前緣半徑應(yīng)保持一致,式中Al0=-Au0。

以NACA0012為初始翼型,優(yōu)化翼型在馬赫數(shù)Ma=0.5,攻角α=3°,雷諾數(shù)Re=5×106工況下的升阻比(lift to drag ratio,LDR),約束條件為翼型的最大相對(duì)厚度和面積不小于初始翼型。優(yōu)化模型如下

式中:Cl和Cd分別表示翼型升力系數(shù)和阻力系數(shù),由翼型流場(chǎng)仿真軟件XFOIL計(jì)算得到;s,s0,t,t0分別表示優(yōu)化翼型和基準(zhǔn)翼型的最大相對(duì)厚度和面積大小。各設(shè)計(jì)變量的上下邊界值由NACA0008和NACA0016翼型采用最小二乘法確定。

使用HSRAHO方法對(duì)翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解,并與ESGOHSR和HAM方法進(jìn)行比較。本文采用罰函數(shù)[17]將約束問題轉(zhuǎn)換為非約束問題,罰因子設(shè)為106。優(yōu)化過程中,初始樣本點(diǎn)數(shù)量設(shè)為50,真實(shí)分析模型調(diào)用最大次數(shù)設(shè)為300。3種方法對(duì)翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化問題分別連續(xù)優(yōu)化11次,優(yōu)化結(jié)果中位數(shù)見表3。

表3 BWBUG外形設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

由表中結(jié)果可知，HSRAHO、ESGOHSR和HAM 3種方法獲得的優(yōu)化翼型最大相對(duì)厚度和面積都滿足約束，且升阻比相比初始翼型分別提升63.02%，59.61%，50.39%，其中HSRAHO優(yōu)化翼型升阻比提升最為顯著，達(dá)到103.65。另外，圖4描繪了3種方法的翼型優(yōu)化迭代結(jié)果。從圖中可以清楚看出，相比ESGOHSR和HAM方法，HSRAHO方法能夠更快速地收斂到最優(yōu)翼型，而且占用的計(jì)算資源更少。

圖4 3種優(yōu)化方法的翼型優(yōu)化迭代結(jié)果

在Nfe到達(dá)168前，ESGOHSR方法具有一個(gè)較快的收斂速度，但在此之后升阻比并沒得到明顯提高。HAM方法收斂速度最慢，并且獲得的升阻比最小。

圖5給出了初始翼型和HSRAHO優(yōu)化翼型的外形比較。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，相比初始翼型外形，優(yōu)化翼型的上弧面厚度增大，下弧面厚度減小，這種翼型外形的變化提升了翼型升阻比。總之，HSRAHO方法在優(yōu)化效率和全局收斂性方面具有較明顯的優(yōu)勢(shì)，表明HSRAHO方法具有良好的工程實(shí)用性。

圖5 初始翼型和HSRAHO優(yōu)化翼型的外形比較

5 結(jié) 論

本文針對(duì)高維昂貴黑箱問題求解過程中，傳統(tǒng)優(yōu)化方法需要耗費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間和計(jì)算資源的問題，提出一種基于多層設(shè)計(jì)空間縮減策略的近似高維優(yōu)化方法。獲得結(jié)論如下：

1) 多層設(shè)計(jì)空間縮減策略打破了傳統(tǒng)優(yōu)化方法依賴經(jīng)驗(yàn)給定設(shè)計(jì)空間的局限，通過構(gòu)建減小的設(shè)計(jì)子空間，逐步提高組合代理模型在最優(yōu)解附近的近似精度，最后引導(dǎo)優(yōu)化快速收斂到全局最優(yōu)解。

2) 采用6個(gè)高維標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化函數(shù)和翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化實(shí)例對(duì)HSRAHO方法的性能進(jìn)行測(cè)試，并與同樣采用設(shè)計(jì)空間縮減策略的優(yōu)化方法ESGOHSR和HAM進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明HSRAHO方法在全局收斂性、優(yōu)化效率和魯棒性方面具有明顯優(yōu)越性。

3) HSRAHO方法在處理實(shí)際高維工程應(yīng)用還有待進(jìn)一步研究。在未來(lái)工作中，考慮引入維度降低策略。