理論力學教學中的土力學算例設計與實踐

盧玉林，陳曉冉，林 瑋

(1.防災科技學院 土木工程學院，北京 101601；2.防災科技學院 地質工程學院，北京 101601)

0 引言

理論力學是土木類專業的一門重要基礎課，是從抽象力學到實用力學轉變的伊始，更是專業知識和專業素養提升的重要基石[1]。如何更好地突出理論力學在專業人才培養中的作用，是當前力學教師思考的熱點問題之一。

在“雙創”教育背景下，理論力學面臨學時壓縮的嚴峻挑戰，更有部分學生和專業課教師對理論力學在專業人才培養中的作用認識不深，加劇了基礎力學課程與專業課程學時分配的矛盾。根據多年的基礎力學教學經驗，分析和總結了產生這一矛盾的主要原因有：(1)理論力學的授課教師專業多以力學背景為主，或理論力學課程歸屬在各高校的理學院或基礎部，教師在講授過程中偏向基礎理論講解，而缺乏必要的專業工程背景介紹和應用；(2)理論力學教材中的案例設置偏向機械、航空類專業，運動學和動力學部分的例題和習題多以傳動機構為主，與土木、交通類專業中以“靜”為主的工程案例截然不同，抑制了理論力學的學習動力；(3)理論力學教學中的力學思維模式和解析方法的思想未能建立，造成了專業課中涉及計算的問題，還要回顧和重復已學的知識，降低了理論力學的核心作用[1-4]。

如何保持理論力學的青春活力，在講授過程中引入一定的工程案例是值得提倡的。選取案例必須慎重，既要保證理論力學和專業課程的契合度，又要減輕專業課程中力學計算的負擔。筆者授課的對象有土木工程、城市地下空間工程和地質工程等專業，而土力學是3個專業后續共有的基礎課，在理論力學教學中引入土力學算例，直面算例的工程性，可豐富理論力學的吸引力和創造力[5-8]。通過連續2年的跟蹤調查，實踐表明這一教學設計在教學效果中發揮了重要的積極作用，緩解了土力學授課教師講授工程案例計算的壓力，提高了理論力學在學生中的地位，助力了土木類專業的人才培養。

1 土力學算例設計

1.1 一道例題引發的思考

哈爾濱工業大學理論力學教研室編寫的《理論力學》第8版中例2-6描述了平面力系的簡化問題，如圖1所示[1]。由此例題思考了這樣一個問題，例題中的F1=300 kN和F2=70 kN是一個集中力，顯然F1和F2描述的應該是重力壩兩側靜水壓力的合力，用合力代替分布力是該題的簡化措施，目的是使學生易懂，遺憾的是靜水壓力通常以分布力來表示，這與土力學中給出工程算例不符。

值得注意的是F1距壩底的高度是3 m，恰作用在蓄水高度的1/3處，這與靜水壓力的合力所在位置是重合的。然而，如果按照合力計算公式得到F1=0.5ρgh2=0.5×1000×9.8×92=396.9 kN，這與例題給出的已知量又不符，出現了矛盾。如何解釋這一矛盾？是因為例題并未完全考量自身的工程性。

圖1 例題2-6示意圖 圖2 庫倫土壓力計算模型示意圖

基于例題的工程性和與后續課程銜接性的考量，在理論力學教學中，根據授課內容設計和引入土力學相關算例，用理論力學的思維方法思考、分析和求解，用以建立統一的課程閉環。以下分別從靜力學、運動學和動力學三部分列舉土力學中的例題設計。

1.2 靜力學中的算例設計舉例

土壓力是土力學中的主要計算內容之一，分為靜止土壓力、主動土壓力和被動土壓力。法國科學家庫倫(Coulomb)于1773年提出了主動土壓力和被動土壓力的概念和計算方法，他在滑動土體上建立力系的平衡條件求解土壓力，見圖2所示[5]。可以看出，圖2與例題2-6的本質是一樣的，都是平面力系下的簡化和平衡問題，求解思路完全一致，只需交代一下相關計算參數就可實現求解，但該算例已成功過渡到了土力學問題，對土木類專業而言是非常有吸引力的。

朗肯土壓力是英國科學家朗肯(Rankine)于1857年根據半無限空間體的應力狀態和土體單元的極限平衡所得出的，本部分內容在引入時并不涉及應力狀態的概念，而是從應力分布函數講起，并結合合力矩定理和平面力系的簡化來分析、求解。

朗肯土壓力分布和例題2-6中的靜水壓力分布有著密切的聯系，都是壓力隨深度的增加而線性增加，因此距地面任意位置處的土壓力可用土體的重度與深度之積表示，再根據壓力類型乘以相關系數即可得到相應的土壓力值。這一點在授課中主要強調壓力的計算方法，對壓力系數的由來以及推導過程不做重點介紹。對于無黏性土，由于黏聚力為零，無黏性土的三種土壓力分布都是表現為隨深度的三角形函數，即土壓力的合力位于深度的1/3處，見圖3所示[5]。如果將土壓力向擋土墻底部簡化，還可以可得到擋土墻的傾覆力矩，為擋土墻的安全性評價提供基礎。

(a)靜止土壓力分布 (b)主動土壓力分布； (c)被動土壓力分布

對于黏性土，土壓力分布見圖4所示，其主動土壓力和被動土壓力分布并不相同，主動土壓力的計算仍可以簡化為三角形荷載問題處理，但被動土壓力需簡化為梯形荷載處理。由平面力系的合力矩定理即可計算出相應的土壓力合力以及所在位置，運用的分析方法仍然是平面力系的基本知識，但例題已具有了較強的實用性[5]。

(a)主動土壓力分布； (b)被動土壓力分布

在靜力學部分，理論力學教材上還有很多涉及梁的問題，與土木工程專業聯系密切，也是授課過程中重點要講授的算例，此處不再贅述。

值得注意的是土力學中重要的砂土強度理論表示為τf=σtanφ，即抗剪強度與破壞面上法向應力之比為內摩擦角的正切值，該公式與理論力學中的庫倫摩擦定律非常相似。

1.3 運動學中的算例設計舉例

運動學是理論力學中貫穿靜力學與動力學的基礎，這部分中點的合成運動和剛體的平面運動是學生早前未接觸的新知識點，教材中列舉的大部分例題是圍繞機械運動展開的，如何將這部分知識點化解為土力學的算例是個難點。

防災科技學院是以防災減災教育為主的特色院校，《自然災害》是本科生的一門通識課，講授內容包括地震、海嘯、滑坡、泥石流等常見的自然災害知識。以下舉例用合成運動分析土力學中邊坡受振動運動的案例，如圖5所示。邊坡受振動后出現滑坡災害，運動的滑體與山體之間產生了相對運動，而滑體與遠處不動山體構成了絕對運動，振動的山體與靜止的大地構成了牽連運動，由此可以從滑坡運動中解釋點的合成運動中的三個基本概念。點的合成運動的關鍵是動點的選取，然而在土力學中針對某一點的研究非常罕見。土力學以平面滑體為研究對象，而舉例中的滑坡運動分析似乎與點的合成運動在概念上又是不統一的。如果把滑坡的運動分析進一步精化為力學模型，實質上滑坡運動就是點的合成運動的具體化。

圓弧法是邊坡穩定分析的基本方法之一，是瑞典教授彼得森(Petterson)在1916年提出的條分法的改進形式，它的基本思想是將邊坡失穩簡化為繞某一圓心的滑動。基于上述理論，滑體自身是剛體，則滑體可看作一質點系，精細化為質點；滑動面的位置是固定的，不隨時間和振動的強弱發生改變，則滑動面可等效一圓弧狀的滑槽。經過簡化，滑坡的運動力學模型是符合點的合成運動的，簡化模型如圖6所示。

圖5 邊坡滑體滑動示意圖 圖6 點合成運動下的邊坡滑動簡化圖

以上講解時要特別注意簡化的思想以及鉸支座與滑體之間二力桿的由來，重點是理解運動學中的基本概念，以此來擴展分析思路，為合成運動的求解提供基礎。

1.4 動力學中的算例設計舉例

動量矩定理是動力學中的重要定理之一，質點系的動量矩定理可描述為：質點系對于任意點的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的外力對同一點矩的矢量和，對平面內取固定點或固定軸，則可以用投影式來表示，即

(1)

以下舉例說明利用動量矩定理的投影式來求解土力學中邊坡失穩的運動學參數。土力學中瑞典圓弧法計算的核心是滑體繞某一空間位置產生整體滑動，滑動面猶如一圓柱面，如圖7所示。為了方便計算，可將三維滑動投影至平面得到滑坡整體失穩的平面計算模型，如圖8所示。

圖7 邊坡整體失穩示意圖[9] 圖8 邊坡失穩計算示意圖[10]

通過滑體運動學分析可知，滑體在滑動過程中表現為平面運動，如9所示。基于剛體平面運動的瞬心法，通過滑體不同位置的速度可以確定出滑體的矩心就是滑體的速度瞬心，且滑體質心與速度瞬心的距離保持不變，由此可以推斷出滑體相對于速度瞬心的動量矩對時間的導數，就等于作用在滑體的外力系對速度瞬心的主矩。而土力學中瑞典圓弧法計算的力矩與動量矩定理等式右端出現的力矩表達式是一致的，邊坡穩定性系數可通過滑動面上抗滑力矩與下滑力矩之比來表示，即

(2)

取滑體為研究對象，滑體上所有外力對O點之矩，就歸類為下滑力矩和抗滑力矩，而二者的合即為動量矩定理等式右端的力矩項。通過上述分析，在瑞典圓弧法中應用動量矩定理就可以確定滑體在下滑時滑動面上的角加速度。角加速度確定后，再建立滑體整體臨界條件下的加速度，這對分析失穩具有重要參考價值。

此外，該例題計算過程中還要涉及滑體的質心位置、轉動慣量、平行移軸公式等知識點，是一道綜合性強的算例。

以上舉例可以說明，在理論力學教學中可以有效地穿插土力學算例，從靜力學、運動學到動力學，設計有關算例對理解理論力學的基本概念和核心公式有極大地啟發作用。另外，在講解案例時，可結合理論公式的歷史背景展開，點題深思、擴展廣度和深度，為繼續深入學習和掌握土力學的相關理論提供幫助[11]。

圖9 滑體滑動示意圖 圖10 結果總體分布

2 教學效果調查與反思

理論力學開設學期為大一春季，土力學開設學期為大三秋季，連續跟蹤了2015級和2016級土木工程專業2個教學班和2016級城市地下空間專業1個教學班的學習情況，在土力學的教學中通過匿名問卷調查了兩門課程的銜接度和滿意度，最終將調查結果概化為四級，即滿意、較為滿意、一般和無意義，如表1所示。

表1 跟蹤班級調查結果

通過表1可以看出，引入案例的教學設計總體效果令人滿意，大多數學生認為理論力學中的一些算例對土力學的學習有積極的作用，能夠較為熟練地對算例進行受力分析和計算，雖然初次計算結果不理想，但能自主利用已學知識完成糾錯。

3個班級的整體調查結果分布如圖10所示，較為滿意的學生人數最多為39%，認為一般和無意義的學生總占比為33%，即2/3的學生都認可此類教學設計，對學習有一定的積極作用。圖10也反映出一定數量的學生對教學設計并不積極，通過調查發現主要問題在于以下3點：(1)兩門課程的時間跨度大，已學的知識點基礎不牢，無法形成知識鏈；(2)運動學和動力學部分的基本概念模糊不清，理解有偏差；(3)教學算例與授課形式單調，缺乏生動性鏈接。

上述提出的3點問題是值得反思的，也為今后的教學設計提供了改進建議。首要解決的問題是強化理論力學中的基本概念和基本公式的講解，要夯實知識點。另外，在算例選取上還需經過嚴格的論證，要不斷與土力學教師研討，借鑒思路。

3 結束語

在理論力學教學中設計和引入土力學相關算例是教學內容的一個嘗試，目的是讓學生了解理論力學對后續專業課程的作用，同時也對專業培養方案中不同的課程形成了閉環。實踐表明，大多數學生認可此類教學設計，但也存在不同觀點，這就對授課教師提出了更高的要求，需要教師不斷地改進教學設計和豐富案例，抓住課程之間的共性點，多舉措提高基礎力學的教學效果[12]。