機械設計手冊一組力學公式的探討

周治，趙家樂，胥正皆

（1.重慶天辰精工科技有限公司，重慶402760；2.重慶伊士頓電梯有限責任公司，重慶401336）

0 引言

機械設計手冊作為機械行業廣泛使用的工具書，具有權威性、準確性、實用性，所選內容基本、常用、重要，工程技術人員工作中參考它可提高機械設計制造質量和效率，使用者往往對機械設計手冊中給出的數學公式、物理公式、力學公式、設計方法深信不疑。因此，如果機械設計手冊一旦有錯誤，使用者一般也會隨之出現認知上的錯誤，從而給設計制造帶來失誤。

直線導軌與滑塊廣泛地運用于夾具、機器設備，尤其是在自動化設備中，機械設計手冊給出了常見的四滑塊工作臺直線運動載荷計算公式。圖1為四滑塊工作臺載荷受力圖[1]。文獻[1]給出的使用條件是：工作臺水平使用（滑塊運動），勻速運動或靜止時，外加載荷W不與工作臺中 心 重 合；P1、P2、P3、P4分別為4個滑塊A、B、C、D因工作臺外加載荷W所導致受到的壓力；假設臺面是剛體，工作臺質量不計。文獻[1]給出求解P1、P2、P3、P4值的公式如下：

圖1 四滑塊工作臺載荷受力圖

與文獻[1]載荷計算公式相同的還有文獻[2]～文獻[4]。另外與文獻[1]載荷計算公式本質相同的還有文獻[5]、[6]，文獻[5]、[6]只是再考慮了工作臺質量；在忽略工作臺質量的情況下,文獻[1]及文獻[5]、[6]載荷計算公式是一致的。

例1：在圖1中，設取l0=1500，l1=900，l2=500，l3=300，W=2400 N，試計算P1、P2、P3、P4受力大小。

將已知數據代入式（1）～式（4）求得：P1=600 N，P2=-200 N，P3=600 N，P4=1400 N。

其中P1、P3、P4為正值，其物理意義說明外加載荷W確實引起了由工作臺向對應處的滑塊A、滑塊C、滑塊D的壓力；而P2為負值,其物理意義說明外加載荷W在滑塊B處引起了一個由滑塊B向工作臺的力，對此，從生活經驗及力學知識來說是不能理解的。

同時，筆者工作經歷中曾設計汽車檢測中的整備質量設備，其受力模型與圖1一致，對應于滑塊A、B、C、D處安裝有重力傳感器，所測得P1、P2、P3、P4的值與按公式（1）～式（4）計算所得也相差甚遠，這就讓筆者懷疑文獻[1]～[6]中相應載荷計算公式的正確性。

本文按圖1中文獻[1]所給出使用條件，對求P1、P2、P3、P4的公式進行簡單推導，并通過Creo5.0有限元分析，依據例1中的已知數據進行驗證，從而說明其正確性。

1 公式推導

1.1 公式理論推導

在圖1中，設滑塊A、B、C、D的中心點分別為點A、B、C、D，因此，可設點A、B、C、D分別為滑塊的集中受力點；在圖2中便以此表示滑塊而使得圖形表達更清晰，對應滑塊 受 力 為P1、P2、P3、P4。四滑塊工作臺施加外加載荷W后處于平衡狀態，現可將外加載荷W按圖2轉化，可先將W轉化成分別位于點C、D連線邊上的P5力及點A、B連線上的P6力，其受力方向由工作臺指向滑塊，而P5、P6的大小遵循杠桿原理：

圖2 工作臺外加載荷W轉化圖

再把P5轉化成P3、P4，而P3、P4的大小也遵循杠桿原理：

由式（5）、式（6）可解出：

與推出P4同理，有：

將例1中的已知數代入式（7）～式（10），可求得：P1=333.33 N，P2=66.67 N，P3=333.33 N，P4=1666.67 N。

1.2 公式簡化表達

式（7）～式（10）表達較復雜，不便記憶與運用。

圖3為滑塊載荷計算面積比圖。今將工作臺過外加載荷W作用點處，作分別平行于連線AB、連線AD的平行線，則將工作臺上由點A、B、C、D為四角頂點構成的大矩形分割成4個小矩形，如圖3所示。它們的對角線 分 別 為WA、WB、WC、WD，對應地分別 用SWA、SWB、SWC、SWD表示各小矩形的面積，用SABCD表示工作臺上矩形ABCD的面積，則有：

載荷計算公式（11）～式（14）本質上與式（7）～式（10）一樣，但式（11）～式（14）表達簡單、容易記憶、直觀性強。

需注意：當外加載荷W施于矩形ABCD的邊上時，則矩形ABCD被分割成的4個小矩形中相應的矩形退化成直線的情形，其面積為0。

2 Creo5.0分析驗證

2.1 Creo5.0分析要點及注意事項

按例1中的已知數據，通過Creo5.0進行建模分析。分析過程中要充分體現幾何建模的形似，有限元分析時體現神似，這樣才能確保分析結果準確。

在Creo5.0分析中，進行材料定義時，為體現桌面是剛性的,文中彈性模量取值為2.1×109MPa,而非鋼材的一般取值2.1×105MPa，如圖4所示。

為體現4個滑塊A、B、C、D支承工作臺，對點A、B、C、D進行圖6所示的約束。通常實體之全約束是對實體面進行X、Y、Z三個方向的平移約束;而此處對工作臺上代表滑塊的A、B、C、D四個點進行6個自由度的約束。在圖5中，工作臺面為Y、Z坐標軸所在平面，工作臺面的法向為X軸，現對D點進行X、Y、Z三個方向的平移約束，對A點進行X、Z方向平移約束，對B、C兩點進行X方向約束。在滑塊A、B、C、D上建立對應于載荷公式（7）～式（10）計算所得的P1、P2、P3、P4測量點。

圖4 材料定義

圖5 工作臺滑塊約束、施力與測量圖

圖6 分析結果信息

其余按照Creo5.0 有限元分析流程進行分析即可。分析后查詢結果如圖6所示。

P1=333.9 N，P2=66.1 N，P3=333.9 N，P4=1666.1 N。

2.2 Creo5.0分析結果說明

Creo5.0 分析結果與按載荷計算公式（7）～式（10）計算所得略有差異。本文中例1所給數據分析結果的絕對誤差約為0.5 N，相對誤差不足1%，完全滿足工程需要。這種差異由兩方面導致：一是有限元分析方法所致。眾所周知，有限元分析實質就是將連續系統通過網格劃分轉變為離散系統。“離散就意味著精度喪失，也可以說每一種離散都體現了某種程度的精度”[7]。二是Creo5.0軟件程序設計所致。

從Creo5.0對例1中數據的分析結果來看，正好驗證了本文推導的載荷計算公式（11）～式（14）及式（7）～式（10）是正確的。

3 結語

通過本文的推導與Creo5.0有限元分析，筆者認為，目前文獻[1]～[6]本質上所給出圖1中的滑塊載荷計算公式是錯誤的，其正確解可按文中公式（11）～式（14）或式（7）～式（10）計算求得，不過比較而言，式（11）～式（14）簡捷許多。只要受力模型與圖1中一致，文中式（11）～式（14）或式（7）～式（10）即可利用。其為夾具、機械手、自動化等設備設計制造中載荷的計算提供了正確的理論依據。