發揮數學的內在力量引導學生增強思考力

李平香 林運來

（1.三明市第二中學，福建三明 365000；2.廈門大學附屬實驗中學，福建漳州 363123）

“核心素養”是適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.如何將“核心素養”轉化為學生看得見用得上的素質能力？章建躍博士指出：根據核心素養與數學學科特征，應抓住整體性、系統思維和單元教學等關鍵詞.實施單元教學能有效地把整體性教學和系統思維的培養融為一體［1］.數學學科核心素養之一是“數學思考”.“思考”是指“進行比較深刻、周到的思維活動”［2］；“思考”是思維的一種探索活動，“思考”的核心是“思考力”，“思考力”則是在思維過程中產生的一種具有積極性和創造性的作用力.2014年，呂傳漢教授提出“教思考、教體驗、教表達”的“三教”教育理念，呂教授指出，“教思考”旨在讓學生學會“想數學”，促進學生思辨能力的培育［3］.在物理學中，力具有三個基本要素：大小、方向、作用點；在數學學習中，思考力同樣離不開三個基本要素：大小、方向、作用點［4］.

在“整體—局部—整體”的單元教學方式中，前一個“整體”是先行組織者，是章節學習的“導游圖”，主要呈現研究一個數學對象的概要思路、普適性的思想方法、解決問題的策略等，從宏觀上解決“學什么”“怎么學”“為什么學”等問題，讓學生能始終保持正確的路徑和明確的方向；中間的“局部”是前一個“整體”中給出的研究方案的具體化，即對具體的每個知識進行研究；后一個“整體”是在分課時學習基礎上的歸納、總結，不僅要完善本單元的知識結構，更要建立與相關知識的聯系，從而使學生形成結構功能良好、遷移能力強的認知結構［1］.在日常教學實踐中，教師往往對中間“局部”階段的課時教學比較重視、擅長，對前后兩個“整體”階段的教學比較吃力，感到“實力不足”“底氣不夠”.本文以“圓錐曲線的方程”一章的教學為例，談談如何發揮“核心概念”“基本套路”“思想方法”等數學的內在力量，引導學生增強思考力的“大小”“方向”和“作用點”.

一、發揮“核心概念”的力量聯通知識，在知識發展的內在邏輯中增強思考力的大小

思考力的大小取決于思考者掌握的關于思考對象的知識量和信息量的大小，如果沒有相關的知識和信息，就不可能產生相關的思考活動.一般情況下，知識量和信息量越大，思考的維度就越加具體、全面和完整［4］.按“整體—局部—整體”的方式進行單元教學，中間的“局部”是前一個“整體”的細化，是“由薄到厚”的過程，即循序漸進地對數學對象的內涵與要素、概念的定義和表示、分類、性質、特例等展開研究，通過“如何歸納、抽象概念”“如何發現值得研究的問題”“如何研究性質”“如何找到證明的方法”等引導，使學生學習數學地認識和解決問題的具體方法［1］.后一個“整體”教學是在“局部”學習之后，更深入地揭示知識的聯系與融合，是“由厚到薄”的過程.在后一個“整體”教學過程中，教師要立足系統思維，發揮核心概念（即大概念：是人們在探究物質及其變化本質的過程中所形成的高度抽象的思維產物，它具有統領具體概念和事實概念的作用［5］）的力量架設知識聯結、融合的通道，將習得的知識形成網絡，構建功能良好、遷移能力強的認知結構.利用核心概念的統領、紐帶、橋梁、延展作用，在知識發展的內在邏輯中，自然地增強學生思考力的大小.

在“圓錐曲線的方程”單元教學中，利用“運算”“距離”“角度”“斜率”等核心概念得到了大量的結論，在這些“局部”的具體研究基礎上，還需用系統論的方法對教材中具有內在邏輯關聯性的內容進一步地提煉概括，建立聯系方式，打通融合渠道，在形成整體認識，建構結構化、系統化的知識體系過程中，引導學生學會思考.［6］下面以聯通橢圓定義教學設計為例：

（一）用“距離”聯系，以“運算”區分

1.“距離之和”定義：課本對平面內到兩個定點的距離之和、距離之差為常數的點的軌跡作了重點研究，詳細探究了平面內兩個定點F1，F2，一個動點M，若常數，則動點M的軌跡是什么曲線？若為常數，則動點的軌跡是什么曲線？還可以引導學生與“距離之商”“距離之積”為常數時，動點M的軌跡進行比較區別.

在推導橢圓標準方程的過程中，通過代數恒等變形，變換距離類型，實現距離轉化，將橢圓的“距離之和”定義與“距離之比”定義建立聯系，打通融合渠道.

（二）用“斜率”聯系，以“運算”區分

1.“斜率之積”定義：課本第108頁例3，如圖1，設A，B兩點的坐標分別為(-5，0)，(5，0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程.

第116頁第11題，如圖2，矩形ABCD中，|AB|=2a，|BC|=2b(a＞b＞0).E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，R′，S′，T′是線段CF的四等分點.

證明直線ER與GR′、ES與GS′、ET與GT′的交點L，M，N都在橢圓上.

圖1

圖2

第146頁第11題，已知△ABC的兩個頂點A(-5，0)，B(5，0)，且AC，BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0)，試探求頂點C的軌跡.同時，課本還與斜率之和、斜率之差、斜率之商的軌跡作比較（課本第146頁習題第9題，第139頁習題第11題，第109頁練習第4題）.

在推導橢圓標準方程的過程中，通過代數恒等變形，把“距離”向“斜率”轉化，實現橢圓的“距離定義”與“斜率定義”相聯系，建立融合通道.

（三）用“圓”聯系，以“伸縮、相切”區分

1.壓縮圓：課本第108頁例2，如圖3，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？

2.拉伸圓:課本第115頁習題第9題，如圖4，DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且當點P在圓x2+y2=4上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀.與例2相比，你有什么發現？

3.同心圓:如圖5，平面上有兩個同心圓，半徑分別為a，b(a＞b＞0)，大圓上有動點A，半徑OA與小圓交于B，AN⊥x于N，BM⊥AN于M，則M的軌跡是什么？并與用“壓縮圓”的方式得到橢圓作比較.

4.圓+中垂線：課本第115頁習題第6題，如圖6，圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓O上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

5.過定點的動圓+定圓+內切：如圖7，平面內過半徑為2a的定圓F1內一定點F2且與定圓F1相切的動圓圓心M的軌跡是什么？

6.動圓+兩內含定圓+內外切：課本第115頁習題第10題，一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

（四）用“圓錐”“圓柱”聯系，以“截口”區分

1.截圓錐：再讀課本章前語，如圖8，用平面去截圓錐，截口曲線什么時候是橢圓、雙曲線、拋物線？

2.截圓柱:如圖9，用一個與圓柱母線斜交的平面截圓柱，截口曲線是橢圓.

圖8

3.拓展學習：比利時數學家Dandelin用雙球把“截口曲線定義”，如圖9、圖10，與“距離定義”建立聯系，統一了橢圓的定義.

上述教學立足系統思維，通過“距離”“斜率”等解析幾何學科核心概念，以及“圓”“圓錐”“圓柱”等基本圖形，結合“運算”“伸縮”“垂直”“相切”“截口”等具體方法，借助“核心概念”的強大力量將教材中出現的各種橢圓定義之間建立通道聯系，并通過對比區別不同，在橢圓定義發展的道路上，引導學生從“見木”到“見林”的過程中，構建知識體系、積累可以遷移的研究經驗，并能用類比的方法學習結構相似的其他圓錐曲線，進而在圓錐曲線定義發展的內在邏輯中，增強思考力的大小.

圖9

圖10

二、發揮“基本套路”的力量設計思路，在問題研究的邏輯思維中增強思考力的方向性

思考是一種有目的性、有計劃性的思維活動，漫無目的地思考難以發揮強有力的思考力，常常會把思考引進死胡同，無果而終.因此，思考需要具有價值導向的思路引領，使思考更有目的性、方向性和一致性.所以，目的性、方向性、一致性和價值導向，決定著思考的角度和向度［4］.所謂的“套路”是指精心策劃的應對某種情況的方式方法，使用該方式方法的人，往往已經對該方式方法熟練掌握，并且形成條件反射，邏輯上傾向于慣性使用這種應對方法以應對復雜的情況，心理上往往產生對此方法的依賴性［7］.以“問題引導學習”已成為數學教學的基本原則，教師如何通過“問題研究”讓學生發展邏輯思維能力，學會思考呢？章建躍博士指出：依靠研究問題的“基本套路”.研究問題的“基本套路”的邏輯圖，如圖11，這就是“基本套路”.在教學中，如果一有機會就引導學生以這個邏輯圖為指導展開思考活動，那么經過長期熏陶，就能使學生在潛移默化中養成一種思考習慣［8］.因此，教師要立足系統思維，善于發揮“基本套路”的力量，設計思考脈絡，在問題研究的邏輯思維中，引導學生增強思考力的方向性.

在“圓錐曲線的方程”單元學習中，有許許多多的“二級結論”，如何發現這些結論呢？波利亞指出：“一個專心認真備課的教師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個側面，通過這道試題就好比通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”.發揮“基本套路”的力量，設計研究問題的思路，是引領學生進入“這個完整的理論領域”的有效途徑.

圖11

圖12

在“聯通橢圓定義”教學中，不論是從“距離”“斜率”等核心概念角度，還是從“圓”“圓錐”“圓柱”等基本圖形角度研究橢圓定義，都充分發揮了“基本套路”的力量設計思路，使得研究方向明確.如在探究橢圓的幾何特征時，首先，類比圓的幾何特征，把“圓心”F這一個定點一分為二成“兩個定點”F1，F2，設計探究問題：動點M到兩定點F1，F2的距離之和是一個常數（大于|F1F2|）的點的軌跡是什么曲線？接著特殊化，設計探究問題：動點M到兩定點F1，F2的距離之和等于|F1F2|這個常數的點的軌跡是什么曲線？然后，再類比“距離之和”的軌跡，自然生成“距離之差”的軌跡，設計問題：平面內與兩個定點的距離之差等于常數的點的軌跡是什么？再進行平行類比，設計問題：比較平面內動點到兩定點“距離之和”“距離之差”“距離之商”“距離之積”等于常數的點的軌跡.因為“距離”“斜率”都是解析幾何的核心概念，把“距離”換成“斜率”，繼續按上面設計問題的套路，設計探究“斜率之積”“斜率之商”“斜率之和”“斜率之差”的軌跡問題；最后，再一般化，設計探究這些圓錐曲線共同的幾何特征.所以，在教學過程中，教師要注意發揮“基本套路”的力量，在圓錐曲線問題研究的邏輯思維發展過程中，如圖12，增強思考力的方向性，找到更多的“好問題”.正如波利亞說：“好問題如同某種蘑菇，有些相似，它們大都成堆地生長.找到一個以后，你應當在周圍再找找，很可能在附近就有幾個.”所以用“問題引導學習”的關鍵是：引導學生“怎么找到好問題”.教學中要善于發揮“基本套路”的力量，通過類比、推廣、一般化、特殊化、具體化、轉化與化歸等方法構建思考路徑，從不同的視角、不同的層面進行改編、拓展、引申，在問題研究的邏輯思維中，引導學生增強思考力的方向性，在發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程中，培養系統思維能力.

三、發揮“思想方法”的力量抓住本質，在著力點尋找的過程中增強思考力的聚焦性

思考力的作用點是指必須把思考集中在特定的對象上，并把握其中的關鍵點.如果找不準思考的著力點，就會精力分散、思維紊亂、胡思亂想，出現東一榔頭西一棒槌的現象，使得思考停留在事物的表面上，浮光掠影，無法深入內核，更無法深刻認識事物的本質.思考在作用點上的集中性程度，決定著思考的強度和力度［4］.數學思想是對數學對象的本質認識，是認識具體數學概念、命題、規律、方法等過程中提煉概括的基本觀點和根本想法，對數學活動具有普遍的指導意義，是數學活動的指導思想；數學方法是指數學活動中所采用的途徑、方式、手段、策略等，是思想轉化而來的具體操作方法，可以提高效果和效率.［9］在教學中，教師要善于發揮數學思想方法的力量抓住本質規律，在尋找著力點的過程中，引導學生增強思考力的聚焦性.

解析幾何是用代數的方法研究幾何問題，“坐標法”是解析幾何的核心思想，也是解析幾何的根本大法.教學中，既要善于借助坐標、方程、運算等思想方法的引領聚焦作用，還要兼顧幾何圖形的特征和性質，抓住問題的本質規律，在“坐標法”“幾何特征”等關鍵點處著力思考.如在“聯通橢圓定義”教學中，推導橢圓的標準方程時，得到移項，整理得此時，若將思考的著力點放在的幾何意義上，設點A，B的坐標分別為(-1，0)，(a，0)，動點M(x，y)，則直線AM，BM的斜率之積是，特別地，當a=b時，kAM·kBM=-1，此時，動點M(x，y)的軌跡是以Ab為直徑的圓，反之，直徑所對的圓周角是直角，稱為圓周角定理，類似地，若AB為橢圓直徑（即過橢圓中心的弦），由點差法可證得稱為橢圓周角定理.再將思考的著力點放在圓周角定理、垂徑定理、平行弦中點性質、切線定理等圓的幾何性質之間的邏輯關系上，把橢圓與圓類比，就可以得到橢圓非常多的“類圓性質”，即橢圓周角定理、垂徑定理、平行弦中點性質、切線定理、以及它們之間的聯系［6］，如圖13.

圖13

（1）這組直線何時與橢圓相交？

（2）當它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.

拓展應用：已知中心在原點的橢圓C的右焦點坐標為(1，0)，離心率等于

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）證明：斜率為1的所有直線與橢圓C相交得到的弦的中點共線；

（3）圖14中的曲線為某橢圓E的一部分，試作出橢圓E的中心，并寫出作圖步驟.

圖14

在“聯通橢圓定義”的教學基礎上，把思考的著力點聚焦在圓周角定理，類比得到橢圓周角定理，繼續把思考的著力點聚焦在圓的垂徑定理、平行弦中點性質、切線定理等圓的幾何性質之間的邏輯關系上，進一步類比可以得到橢圓的許多“類圓性質”，這些性質還可以繼續類比、遷移、拓展到雙曲線中，統一歸納為有心圓錐曲線的“類圓性質”.在“坐標法”思想指引下，著力在“坐標”“方程”“運算”“幾何特征”等關鍵處思考，抓住了本質規律，所以，思如泉涌、威力無比、勢不可擋.

四、結語

當前，學科核心素養的培養已成為教育熱點.《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確提出了數學學科的六大核心素養，而其本質就是數學思考.“思考”的核心是“思考力”.“核心概念”力量大，“基本套路”方向明，“思想方法”把脈準.教學中，應充發揮數學的內在力量，引導學生增強思考力的大小、方向、作用點，提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界［10］.