長方體在培育直觀想象素養中的實踐與價值

張潔 林晴嵐 陳柳娟

（福建教育學院數學教育研究所，福建福州 350025）

高中數學立體幾何單元的學習內容安排重點是圍繞發展學生的數學核心素養，遵循對事物的認識從具體到抽象、從整體到局部的原則，通過豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現空間幾何體，有效地幫助學生認識空間幾何體的結構特征，掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，促進學生逐步形成空間觀念.引導學生通過對圖形的觀察和操作，發現和提出描述基本圖形平行、垂直關系的命題；學會用準確的數學符號語言表達相關命題，借助幾何圖形的直觀解釋命題的含義和表述證明的思路；［1］借助特定的、情境化的、綜合性的數學活動提出針對性的數學問題，指導學生開展對立體幾何問題的探究活動，促進學生學會從多角度、用聯系的觀點看待事物，更清晰地認識數學的科學價值、應用價值、人文價值和審美價值，提升學生的學習能力和綜合素養.

學校的每一間教室建筑結構基本都以長方體為模型，把長方體作為學生認識與研究空間幾何體的實景載體，有助于幫助學生直觀地認識事物的位置關系，建立形與數的聯系，掌握構建立體幾何模型，開拓對空間幾何相關問題的探究活動思路［2］，培育學生直觀想象素養.

一、理解空間基本元素間的位置關系

長方體作為學生生活中最熟悉的立體幾何圖形，借助長方體來研究抽象的空間點、線、面間的位置關系，這是最自然、最容易接受的方式.如，研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系.

［案例1］如圖，借助長方體ABCD-A1B1C1D1研究空間線、面之間的位置關系

圖1

如：1）直線AB與直線CD的位置關系；（直線AB與CD共面且平行即AB∥CD）

2）直線AB與直線B1C1的位置關系；（直線AB與B1C1異面且垂直即AB⊥B1C1）

3）直線AB與直線C1D1的位置關系；（直線AB與C1D1共面且平行即AB∥C1D1）

4）直線AB與平面AC的位置關系；（直線AB在平面AC內即AB?平面AC）

5）直線AB與平面B1D1的位置關系；（直線AB與平面B1D1平行即直線AB∥面B1D1）

6）直線AB與平面BC1的位置關系；（直線AB與平面BC1垂直即AB⊥面BC1）

7）平面AC與平面B1D1的位置關系；（平面AC與平面B1D1平行即面AC∥面B1D1）

8）平面AC與平面BC1的位置關系；（平面AC與平面BC1垂直即面AC⊥面B1D1）

從以上對長方體中的棱、面間的位置關系，直觀理解抽象的空間線與線、線與面、面與面間的位置關系，學會用數學的圖形語言、符號語言準確刻畫出抽象的空間線、面之間位置關系：

1.直線與直線之間

共面關系：平行（a?α，b?α，a∥b）、相交（a?α，b?α，a∩b=P）；

異面關系：不在任何一個平面內（a?α，b?α，a∩b=?）

2.直線與平面之間

線與面有公共點：線在面內（a?α）或線與面相交（a?α，a∩α=P）；

線與面無公共點：線與面平行（a∥α）

3.平面與平面之間

通過對空間位置關系的學習過程體會到：從已有的成熟基礎模型出發建構新的知識體系，自然合理降低學生對新知識的理解難度；對抽象幾何圖形基于基礎模型，合理將為問題轉化，為問題解決提供了一個通性通法；借助基礎模型的“固定形”為抽象圖形的“變化形”提供一個“變”轉“定”的基本解決問題路徑，既為培養學生的空間想象能力搭建一個落地又扎實的腳手架，又為培育學生的直觀想象素養奠定良好的基礎.

二、理解空間線、面平行與垂直的有關定理

以長方體為空間幾何體的基本研究載體，運用幾何直觀、空間想象，抽象出實物的幾何圖形位置關系（如線線平行、線面平行、線面垂直、面面垂直等）、運動規律、形態變化，認識和探索空間圖形的性質，會用圖形與集合符號語言精準表達空間點、線、面之間的位置關系.

［案例2］面面平行的判定定理如圖2：若有一平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行，那么這兩平面平行.即用數學的符號語言表述為：如圖3，a?β，b?β，a∩b=P，a∥α，b∥α?β∥α.

圖2

借助長方體ABCD-A1B1C1D1的面、棱、面的對角線等，直觀理解面面平行判定定理，如圖3，直線A1D1?平面A1C1，直線A1B1?平面A1C1，直線A1D1∩直線A1B1=A1，直線A1D1∥平面AC，直線A1B1∥平面AC，即可直觀得到：面AC∥面A1C1；理解直線A1D1?平面A1C，直線EF?平面A1C，直線A1D1∥平面AC，直線EF∥平面AC，也直觀得到：平面A1C與平面A1C1相交，平面A1C與平面AC相交；更深入理解了面面平行的判定方法需借助兩條相交直線而不是兩條平行直線的合理性與嚴謹性.

圖3

［案例3］面面平行的性質定理：若兩平面平行，有一個平面與兩個平行平面都相交，那么這兩條交線平行.即用數學的符號語言表述為：如圖4，α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b，?a∥b.

圖4

借助長方體ABCD-A1B1C1D1直觀理解面面平行性質定理，如圖1，若兩平行平面即可看成長方體中的面AC∥面A1C1，面A1D∩面A1C1=直線A1D1，面AC∩面A1D=直線AD，則直線A1D1∥直線AD，即長方體中棱A1D1所在直線A1D1與棱AD所在直線AD平行.

［案例4］直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線垂直此平面.即用數學的符號語言表述為：如圖5，c⊥a，c⊥b，a?β，b?β，a∩b=P?c⊥β.

圖5

借助長方體ABCD-A1B1C1D1直觀理解直線與平面垂直判定定理，如圖1，AA1⊥AB，AA1⊥AD，直線AB?面AC，直線AD?面AC，直線AB∩直線AD=A點，則直線AA1⊥平面AC.

由于空間線面平行與垂直關系有其嚴格的定義、判定、性質，掌握其定義、性質、判定是高中數學學習必修內容，厘清空間線面平行與垂直關系是后續進一步深入學習研究數學的基本要求.借助研究空間幾何體的線面關系，特別是長方體中所呈現的線面關系，合理又嚴謹地把面間的平行與垂直的判定轉換成線間的平行與垂直的判定，讓學生體會合理“降維轉化思想”，正確理解嚴謹地將空間問題與平面問題之間的轉化基本要求，既能有效提高學生的空間想象能力和邏輯推理能力，又將培育學生的直觀想象、邏輯推理素養落到實處.

三、理解空間圖形的度量關系

高中數學研究空間圖形的度量關系有：距離、角度、面積、體積等，度量關系的研究能有機融合“直觀想象”與“數學運算”.通過研究空間的點到線、點到面、線與線間、線與面間、面與面間的距離，以及線線間、線面間、面面間的夾角，在此基礎上進一步研究空間形與體的面積、體積等.借助長方體研究從現實世界中物體的形狀、大小與位置中抽象出數學基本圖形，直觀理解空間圖形的度量關系，幫助學生更好地掌握圖形研究的基本思想方法.

［案例5］如圖6，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，

1）求直線CC1與平面BDD1B1的距離；2）求四棱錐ABDD1B1的體積.

圖6

問題分析：1）求直線CC1與平面BDD1B1的距離需借助長方體的結構特征，將所求距離轉化為尋找同時與直線CC1、平面BDD1B1垂直的垂線段CH（如圖7），進而求垂線段CH的長度達到解決問題的目的；2）求四棱錐A-BDD1B1的體積也同樣需借助對長方體的結構特征研究，得到可從長方體ABCD-A1B1C1D1中切除相關柱體 BCD-B1C1D1與錐體 AA1D1B1，將所求問題轉化，達到求四棱錐A-BDD1B1的體積的目標.

圖7

此類問題的研究有助于評價學生對長方體的結構特征掌握程度，以及評價學生對線面間距離的求法、簡單幾何體的體積求法中運用數學基本思想方法解決問題的能力，有機融合“直觀想象”與“數學運算”素養的培育.

四、解決實際問題中的應用價值

以長方體為基本模型，通過對“幾何圖形”的直觀想象與“數學運算”的有機融合，自然將“形”和“數”聯.以基本幾何圖形為基礎，學會從“基本圖形”研究，到“變形圖形”研究，再到“綜合圖形”的研究.

［案例6］如圖8，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，且在棱CC1上存在點M，使MD1+MA取得最小值10，此時長方體的對角線DB1與平面ADD1A1、ABCD、DCC1D1所成的角分別為α、β、θ，則sinα+sinβ+sinθ=.

圖8

問題分析：要使MD1+MA取得最小值10，需將MD1+MA放在同一平面進行思考，即將平面ACC1A1與平面DCC1D1沿C1C翻折打開，使得平面A1ACC1與平面D1DCC1在同一平面內，如圖9，當A，M，D1在同一條直線上時，MD1+MA取得最小值，即為AD1的長，易 知 AC=5，CD=3，DD1=-82=6，在長方體中，由長方體的性質可知，∠A1DB1=α，∠BDB1=β，∠C1DB1=θ，

圖9

長方體是一個空間基礎的、穩定的、可靠的、有效的模型，借助長方體模型將復雜空間圖形的問題通過合理、嚴謹的方式轉化成平面圖形的問題進行研究，這是一個行之有效的常規方法.處理平面問題是將學生已熟悉的、有把握能解決的，轉化為平面問題，這對學生會產生心理上的踏實感.轉化過程讓學生進一步厘清了直觀與想象的關系，體會實物的位置關系、對稱特性、運動規律和形態變化［2］，更好地把握利用圖形描述、分析數學問題，通過合理方式探索解決問題的思路［2］，掌握對空間幾何體進行加工、改造，創造新的幾何體進行研究的技術手段，培育學生的直觀想象素養.

借助長方體能將復雜圖形和背景轉換到具體的直觀的模型上，是一個轉換思想的具體體現，在立體幾何學習中，是一個基礎的、有效的、有力的解決空間問題的轉換思路之一.在轉換的過程中，對空間幾何圖形的直觀想象將以更直觀的形式逐層展開，從體的直觀合理轉化到平面的直觀，再從線的直觀回到面的直觀和體的直觀，循環往復，加深理解，提高素養.在高中數學選擇性必修課程內容中，學生將學習空間直角坐標系，進一步深入理解空間幾何基本要素，掌握形與數間的一一對應關系，拓展探索空間問題解決的思路，領會到直觀想象在數學解決問題活動中是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎［2］.