淺析曲線變換在函數圖象變換中的應用策略

曹明寬

摘 要：高中數學中的曲線變換和函數圖象變換，主要有平移、伸縮和對稱變換。廣義上的函數圖象變換就是曲線的變換，但曲線變換的適用范圍更廣闊，不僅能使函數的圖象變換更簡單，判斷函數的奇偶性，求函數的反函數，還能解決函數圖象變換不能應用于曲線變換的弊端。

關鍵詞：曲線變換;函數圖象;圖像變換

一、 引言

在近年的高考試題中，函數圖象變換是高頻考點，主要考查學生的數形結合能力與邏輯推理能力。函數圖象的變換主要從三角函數圖象的平移和伸縮變換開始，又引入了函數圖象的對稱變換和翻折變換。在解析幾何中又引入了曲線的中心對稱變換和軸對稱變換，由于引入的時間節點不同，導致學生不能把函數圖象變換與曲線變換完美地融合，造成了解題時的困惑。為了解決這一問題，文章主要從曲線變換入手，把曲線變換與函數圖象變換融合起來，使曲線變換的規律能廣泛應用于函數圖象變換，同時也能解決解析幾何中的變換問題。

二、 研究曲線變換與函數圖象變換的意義

在學習函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質時，主要是學習函數圖象的平移與伸縮變換，教材中的平移伸縮變換規律是針對函數y=f（x）而言的，而且僅限于解決三角函數的圖象變換問題，并不能延伸應用到其他函數的圖象變換。在學習圓錐曲線的對稱變換后只是掌握了“把方程中的x換成-x方程不變，則曲線關于y對稱，把方程中的y換成-y方程不變，則曲線關于x對稱，把方程中的x，y分別換成-x，-y方程不變，則曲線關于坐標原點對稱”，不能從本質上認清變換的實質，把知識融為一體，給解決變換問題帶來困惑。

從方程的曲線和函數的圖象看，函數的解析式y=f（x）就是曲線的方程，所以曲線的變換能完全適用于函數圖象的變換，從函數概念看，曲線的方程不都是函數的解析式，所以函數圖象的變換規律并不都適用于曲線的變換。如果把函數的解析式y=f（x）變形為y-f（x）=0，令F（x，y）=y-f（x），則函數的解析式就是方程F（x，y）=0。在函數圖象變換的教學中引入曲線的變換，把曲線變換與函數的圖象變換深度融合，就能從本質上讓學生理解變換的實質，提高數學的解題能力。

三、 曲線變換的規律

（一）曲線在水平方向上的平移變換

設點（x′，y′）是曲線F（x，y）=0上的任一點，則F（x′，y′）=0，把曲線F（x，y）=0水平向右平移a（a>0）個單位后，點（x′，y′）對應的點為（x，y），則x′=x-a，y=y′，所以把曲線F（x，y）=0水平向右平移a（a>0）個單位后所得曲線的方程為F（x-a，y）=0，同理可得，向左平移a（a>0）個單位后得到的曲線方程為F（x+a，y）=0。

（二）曲線在豎直方向上的平移變換

設點（x′，y′）是曲線F（x，y）=0上的任意一點（x′，y′），把曲線豎直向上平移b（b>0）個單位后，點（x′，y′）的對應點為（x，y），則x′=x，y′=y-b，又因為點（x′，y′）在曲線F（x，y）=0上，所以把曲線豎直向上平移b（b>0）個單位后所得的曲線方程為F（x，y-b）=0，同理可得，曲線F（x，y）=0沿豎直向下的方向平移b（b>0）個單位后得到的曲線的方程為F（x，y+b）=0。

（三）曲線在水平方向上的伸縮變換

設點（x′，y′）是曲線F（x，y）=0上的任一點，則F（x′，y′）=0，把曲線F（x，y）=0上每一點的橫坐標擴大ω（ω>1）倍或縮小ω（0<ω<1），縱坐標不變，設點（x′，y′）在所得曲線上的對應點為（x，y），則ωx′=x，又因為縱坐標不變，所以y=y′，所以把曲線F（x，y）=0上的每一點的橫坐標擴大ω（ω>1）倍或縮小ω（0<ω<1），縱坐標不變，得到的曲線的方程為F1ωx，y=0。

（四）曲線在豎直方向上的伸縮變換

設點（x′，y′）是曲線F（x，y）=0上的任一點，則F（x′，y′）=0，把曲線F（x，y）=0上每一點的縱坐標擴大ω（ω>1）倍或縮小ω（0<ω<1），橫坐標不變，設點（x′，y′）在變換后所得曲線上的對應點為（x，y），則ωy′=y，又因為橫坐標不變，所以x=x′，所以把曲線F（x，y）=0上的每一點的縱坐標擴大ω（ω>1）倍或縮小ω（0<ω<1），橫坐標不變，得到的曲線的方程為Fx，1ωy=0。

四、 曲線變換的應用

曲線變換在數學中的應用非常廣泛，主要有平移伸縮變換和對稱變換的應用。除此之外，曲線的變換在解析幾何中的應用也很多，延伸探究就會發現，曲線的變換還和函數的奇偶性及函數的反函數有關，可以用曲線變換判斷函數奇偶性，求函數的反函數，下面來談談曲線變換的應用。

（一）曲線變換在函數圖象變換中的應用

曲線變換在函數圖象變換中，主要有平移與伸縮變換，對應的題型主要有三種，一是已知函數與變換求變換后的函數，二是已知變換和變換后的函數，求變換前的函數，三是知道變換前和變換后的函數，求變換。

例1 把函數y=sin2x的圖象沿水平方向向右平移π3個單位后，豎直向上平移3個單位，再把所得圖象上每一點的橫坐標擴大2倍，縱坐標縮小12，求變換后所得圖象對應的函數的解析式。

解析：根據曲線變換的規律，經過水平和豎直方向上的平移變換后，只需把函數y=sin2x中的x和y分別換成x+π3和y-3就得到y-3=sin2x-π3，再經過水平和豎直方向上的伸縮變后，只需把y-3=sin2x-π3中的x和y分別換成12x和2y就得到2y-3=sin212x-π3，化簡得所求函數的解析式為y=12sinx-2π3+32。

例2 把函數y=f（x）圖象上每一個點的縱坐標擴大3倍，橫坐標不變，再向上平移2個單位就得到函數y=x2的圖象，求函數y=f（x）的解析式。