行之有效 有的放矢
——例談小學數學教學中如何滲透模型思想

劉輝（江蘇常州市金壇區建昌小學）

課標（2011版）在課程內容部分明確提出了初步形成模型思想。模型思想是解決數學問題的有效形式，讓學生經歷數學模型和運用模型是解決生活中的實際問題的過程，對發展學生的邏輯思維能力、抽象能力以及應用意識都有著重要的作用。因此，教師在教學中要重視數學模型思想的滲透，幫助學生初步形成模型思想，提高數學基本素養。

一、模型思想的深刻內涵

（一）數學模型含義

數學模型是采用各種各樣的數學語言來概括和描述現實世界客觀事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。數學模型是數學抽象的產物，是從簡化到抽象的結果，它不同于實際對象的本身，必須放棄實際對象質的規定性，而從數量關系上對實際對象作形式化的描述和刻畫。由此可見，數學模型是概括的、近似地反映現實世界的客觀事物。從廣義上來說，數學模型是一個內涵比較豐富的概念，數學中的每一個概念、性質、定理、定律、法則、公式、數量關系等，都是直接或間接地以各自的現實原型為背景抽象出來的，因此，它們都可看作數學模型。從狹義的角度來看，只有反映特定問題或特定事物系統的數學結構關系，才叫作數學模型。例如，把物體平均分的數學模型是分數；366人的學校里一定有兩個學生是同一天的生日，數學模型就應該是抽屜原理。

（二）數學模型思想

數學模型思想不等同于數學模型，它們是兩個不同概念。所謂數學模型思想，就是將實際問題轉化成數學問題，并經過對問題中的數量和其關系的構建數學模型，并通過各種方法求解、驗證或拓展數學模型等活動而實現問題解決的思想?？梢钥闯觯瑪祵W模型思想不僅包括數學模型的構建，也包括使用構建出來的數學模型解決生活中的實際問題。模型思想的本質是從解決一個問題到解決一類問題的思路或方法。

二、模型思想的教育價值

數學模型作為一種最基本的數學思想，無論是對提升學生對數學的理解，還是提高學生的數學能力，特別是培養學生的解決問題的能力等都具有十分重要的教育意義。

學習數學的模型思想，能夠幫助學生感知數學內部知識之間的關系、其他學科與數學的關系，現實生活與數學的聯系，體會數學應用的價值，培養學生應用數學的意識和數學學習的興趣。例如，通過數學模型“工作總量＝工作效率×工作時間”的構建，有利于學生感受到乘法問題與現實生活的聯系，激發學習乘法的興趣。

學習數學模型思想的過程實際上就是讓學生體驗、感知數學建模的過程。在這一過程中，學生不但可以感知解決問題的過程，探索解決問題的策略、方法，還可以解決問題積累的經驗，提高學生解決問題的能力。

數學模型思想讓學生歷經從復雜問題情境和具體事物中放棄不是本質因素，發現本質因素和數量關系，并加以概括構建抽象數學模型的過程，有助于提高學生的抽象概括能力和思維能力。

三、模型思想內容的體現

數學模型思想在小學數學學習中大量存在并被廣泛運用。具體來講，大致體現在以下六個方面。

四則運算中，如加、減、乘、除四則運算分別就是四種不同的數學模型，用符號表示是：a+b=c，c－a=b、cb=a，ab=c，c÷a=b、c÷b=a(a≠0，b≠0)。

在加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律等運算定律中，都反映了運算形式變化但運算結果不變的數學結構。因此，分別表現出五種數學模型，用字母表示分別是：a+b=b+a，a+b+c=a+(b+c)，ab=ba，abc=a(bc)，（a+b）c=ac+bc。

根據四則運算意義建構的基本數量關系與一些典型的現實問題結合，構建出一些典型的數學模型。如購物中的單價、數量與總價之間的關系結構：單價×數量＝總價(y=ax)，行程問題中速度、時間與路程之間的關系結構：速度×時間＝路程(s=vt)，正比例關系=k（k一定），反比例關系xy=k（k一定）等都是四則運算意義與具體情境相結合構建的典型數學模型，體現了數學模型思想。

方程也是一種數學模型。方程表示兩個數學式（如兩個數、量、運算等）之間的相等關系，因此，方程中不但滲透有方程思想，也蘊含著數學模型思想。

幾何圖形的周長、面積、體積計算公式，反映出圖形周長、面積、體積分別與其圖形的長、寬（或高、底面半徑等）的數量關系結構，自然也是一類數學模型。

用統計圖、表來描述和分析各種信息是統計的模型，用分數表示可能性的大小也是一種計算模型。

四、模型思想的教學策略

培養學生的模型思想必須從問題背景或生活中的例子出發，讓學生通過各種各樣的分析學習方法，用數學符號或者數學語言表達出數學模型，再運用數學模型解決一些生活中的實際問題。教師要帶領學生歷經建模的整個過程，幫助學生在小學階段形成一定的模型思想。

（一）典型的素材

建立模型思想的本質就是要讓學生理解和體會數學與外面世界的關系。為了實現這個目的，教師要為學生提供典型的素材。簡單地說，就是提供的材料和要建立的數學模型保持高度相同，這樣便于學生更好地觀察現實情況，獲取有用的信息，抽象出數學模型。

例如，用植樹的素材講間隔計數問題就比較恰當，因為植樹的素材中清晰地蘊含著點和段，很好地體現了點和段之間的關系。教學中，可以讓學生模擬植樹，在操作的過程中，學生就會發現不同情況下棵數與段數之間的關系。這種舍去植樹問題的一些非本質屬性，形成純數學的間隔計數問題的關系結構，并用文字語言進行表達（如下圖），從而滲透模型思想。

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（二）熟悉的素材

弗賴登塔爾認為，數學化的對象就是學生熟悉的現實，而不是成人熟悉的現實。因此，在教學中要盡可能選擇學生熟悉的素材，幫助學生建立數學模型。

例如，建立加法運算這個模型時，教師可按順序展示多個生活實例。

1.學生們在做千紙鶴，李明做了5只紅色的，王紅做了3只黃色的，兩人一共做了多少只千紙鶴？

2.草地上有3只白兔，2只黑兔，一共有多少只兔？

……

這些問題都是學生熟悉的素材，在解決這類問題的時候，讓學生感到不管是求“一共做了多少只千紙鶴”，還是求“一共有多少只兔”……其相同的方法都是將兩部分合并起來。教師適時引導學生歸納：把兩個數合并成一個數都可以用加法計算。

總之，模型思想是解決問題的脊梁。教師在教學實踐中要有滲透模型思想的意識，讓學生在建立數學模型的過程中，理解數學模型的價值與作用，能夠解釋和應用數學模型，提高創新能力和解決實際問題的能力。