行之有效 有的放矢
——例談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透模型思想

劉輝（江蘇常州市金壇區(qū)建昌小學(xué)）

課標(biāo)（2011版）在課程內(nèi)容部分明確提出了初步形成模型思想。模型思想是解決數(shù)學(xué)問題的有效形式，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用模型是解決生活中的實(shí)際問題的過程，對發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力、抽象能力以及應(yīng)用意識都有著重要的作用。因此，教師在教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)模型思想的滲透，幫助學(xué)生初步形成模型思想，提高數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)。

一、模型思想的深刻內(nèi)涵

（一）數(shù)學(xué)模型含義

數(shù)學(xué)模型是采用各種各樣的數(shù)學(xué)語言來概括和描述現(xiàn)實(shí)世界客觀事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，是從簡化到抽象的結(jié)果，它不同于實(shí)際對象的本身，必須放棄實(shí)際對象質(zhì)的規(guī)定性，而從數(shù)量關(guān)系上對實(shí)際對象作形式化的描述和刻畫。由此可見，數(shù)學(xué)模型是概括的、近似地反映現(xiàn)實(shí)世界的客觀事物。從廣義上來說，數(shù)學(xué)模型是一個內(nèi)涵比較豐富的概念，數(shù)學(xué)中的每一個概念、性質(zhì)、定理、定律、法則、公式、數(shù)量關(guān)系等，都是直接或間接地以各自的現(xiàn)實(shí)原型為背景抽象出來的，因此，它們都可看作數(shù)學(xué)模型。從狹義的角度來看，只有反映特定問題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)系，才叫作數(shù)學(xué)模型。例如，把物體平均分的數(shù)學(xué)模型是分?jǐn)?shù)；366人的學(xué)校里一定有兩個學(xué)生是同一天的生日，數(shù)學(xué)模型就應(yīng)該是抽屜原理。

（二）數(shù)學(xué)模型思想

數(shù)學(xué)模型思想不等同于數(shù)學(xué)模型，它們是兩個不同概念。所謂數(shù)學(xué)模型思想，就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，并經(jīng)過對問題中的數(shù)量和其關(guān)系的構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并通過各種方法求解、驗(yàn)證或拓展數(shù)學(xué)模型等活動而實(shí)現(xiàn)問題解決的思想。可以看出，數(shù)學(xué)模型思想不僅包括數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，也包括使用構(gòu)建出來的數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問題。模型思想的本質(zhì)是從解決一個問題到解決一類問題的思路或方法。

二、模型思想的教育價值

數(shù)學(xué)模型作為一種最基本的數(shù)學(xué)思想，無論是對提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，還是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，特別是培養(yǎng)學(xué)生的解決問題的能力等都具有十分重要的教育意義。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的模型思想，能夠幫助學(xué)生感知數(shù)學(xué)內(nèi)部知識之間的關(guān)系、其他學(xué)科與數(shù)學(xué)的關(guān)系，現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。例如，通過數(shù)學(xué)模型“工作總量＝工作效率×工作時間”的構(gòu)建，有利于學(xué)生感受到乘法問題與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)乘法的興趣。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型思想的過程實(shí)際上就是讓學(xué)生體驗(yàn)、感知數(shù)學(xué)建模的過程。在這一過程中，學(xué)生不但可以感知解決問題的過程，探索解決問題的策略、方法，還可以解決問題積累的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決問題的能力。

數(shù)學(xué)模型思想讓學(xué)生歷經(jīng)從復(fù)雜問題情境和具體事物中放棄不是本質(zhì)因素，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)因素和數(shù)量關(guān)系，并加以概括構(gòu)建抽象數(shù)學(xué)模型的過程，有助于提高學(xué)生的抽象概括能力和思維能力。

三、模型思想內(nèi)容的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中大量存在并被廣泛運(yùn)用。具體來講，大致體現(xiàn)在以下六個方面。

四則運(yùn)算中，如加、減、乘、除四則運(yùn)算分別就是四種不同的數(shù)學(xué)模型，用符號表示是：a+b=c，c－a=b、cb=a，ab=c，c÷a=b、c÷b=a(a≠0，b≠0)。

在加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律等運(yùn)算定律中，都反映了運(yùn)算形式變化但運(yùn)算結(jié)果不變的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。因此，分別表現(xiàn)出五種數(shù)學(xué)模型，用字母表示分別是：a+b=b+a，a+b+c=a+(b+c)，ab=ba，abc=a(bc)，（a+b）c=ac+bc。

根據(jù)四則運(yùn)算意義建構(gòu)的基本數(shù)量關(guān)系與一些典型的現(xiàn)實(shí)問題結(jié)合，構(gòu)建出一些典型的數(shù)學(xué)模型。如購物中的單價、數(shù)量與總價之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)：單價×數(shù)量＝總價(y=ax)，行程問題中速度、時間與路程之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)：速度×?xí)r間＝路程(s=vt)，正比例關(guān)系=k（k一定），反比例關(guān)系xy=k（k一定）等都是四則運(yùn)算意義與具體情境相結(jié)合構(gòu)建的典型數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型思想。

方程也是一種數(shù)學(xué)模型。方程表示兩個數(shù)學(xué)式（如兩個數(shù)、量、運(yùn)算等）之間的相等關(guān)系，因此，方程中不但滲透有方程思想，也蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)模型思想。

幾何圖形的周長、面積、體積計(jì)算公式，反映出圖形周長、面積、體積分別與其圖形的長、寬（或高、底面半徑等）的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，自然也是一類數(shù)學(xué)模型。

用統(tǒng)計(jì)圖、表來描述和分析各種信息是統(tǒng)計(jì)的模型，用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小也是一種計(jì)算模型。

四、模型思想的教學(xué)策略

培養(yǎng)學(xué)生的模型思想必須從問題背景或生活中的例子出發(fā)，讓學(xué)生通過各種各樣的分析學(xué)習(xí)方法，用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)語言表達(dá)出數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決一些生活中的實(shí)際問題。教師要帶領(lǐng)學(xué)生歷經(jīng)建模的整個過程，幫助學(xué)生在小學(xué)階段形成一定的模型思想。

（一）典型的素材

建立模型思想的本質(zhì)就是要讓學(xué)生理解和體會數(shù)學(xué)與外面世界的關(guān)系。為了實(shí)現(xiàn)這個目的，教師要為學(xué)生提供典型的素材。簡單地說，就是提供的材料和要建立的數(shù)學(xué)模型保持高度相同，這樣便于學(xué)生更好地觀察現(xiàn)實(shí)情況，獲取有用的信息，抽象出數(shù)學(xué)模型。

例如，用植樹的素材講間隔計(jì)數(shù)問題就比較恰當(dāng)，因?yàn)橹矘涞乃夭闹星逦靥N(yùn)含著點(diǎn)和段，很好地體現(xiàn)了點(diǎn)和段之間的關(guān)系。教學(xué)中，可以讓學(xué)生模擬植樹，在操作的過程中，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)不同情況下棵數(shù)與段數(shù)之間的關(guān)系。這種舍去植樹問題的一些非本質(zhì)屬性，形成純數(shù)學(xué)的間隔計(jì)數(shù)問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，并用文字語言進(jìn)行表達(dá)（如下圖），從而滲透模型思想。

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（二）熟悉的素材

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)化的對象就是學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)，而不是成人熟悉的現(xiàn)實(shí)。因此，在教學(xué)中要盡可能選擇學(xué)生熟悉的素材，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。

例如，建立加法運(yùn)算這個模型時，教師可按順序展示多個生活實(shí)例。

1.學(xué)生們在做千紙鶴，李明做了5只紅色的，王紅做了3只黃色的，兩人一共做了多少只千紙鶴？

2.草地上有3只白兔，2只黑兔，一共有多少只兔？

……

這些問題都是學(xué)生熟悉的素材，在解決這類問題的時候，讓學(xué)生感到不管是求“一共做了多少只千紙鶴”，還是求“一共有多少只兔”……其相同的方法都是將兩部分合并起來。教師適時引導(dǎo)學(xué)生歸納：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)都可以用加法計(jì)算。

總之，模型思想是解決問題的脊梁。教師在教學(xué)實(shí)踐中要有滲透模型思想的意識，讓學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，理解數(shù)學(xué)模型的價值與作用，能夠解釋和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，提高創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力。