局域共振型聲子晶體板缺陷態帶隙及其俘能特性研究1)

盧一銘 曹東興,2) 申永軍 陳許敏

?(北京工業大學材料與制造學部,北京 100124)

?(機械結構非線性振動與強度北京市重點實驗室,北京 100124)

??(石家莊鐵道大學省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

??(杭州電子科技大學物理系,杭州 310018)

引言

類似于光子晶體的概念,聲子晶體是具有彈性波帶隙的周期性結構功能材料,在聲子晶體帶隙頻率范圍內的彈性波不能夠在其內部傳播,并且隨著材料成分以及周期性排列方式的不同,聲子晶體的彈性波帶隙特征(如帶隙范圍、帶寬等)也會發生改變[1-2].Liu 等[3-4]提出局域共振型聲子晶體的概念,從而開拓了聲子晶體研究的新領域.其顯著特征是由小尺寸控制大波長,帶結構中存在平直帶,內部波場具有局域化共振現象[5-7].Ei-Borgi 等[8]分析了局域共振線性超材料梁的多重帶隙形成.王剛等[9]推導了一維黏彈性聲子晶體的色散與耗散關系.當聲子晶體的完美周期性被破壞時,就會在原本的帶隙內產生缺陷帶,研究表明帶隙內的彈性波只能被局限在缺陷處或者沿著缺陷傳播[10].

基于聲子晶體結構的波調控特性以及局域共振聲子晶體的能量集中特性,本文提出設計一種局域共振型聲子晶體板結構并用于振動能量采集.近年來,隨著微電子技術的發展,低功耗元器件在無線傳感、植入式醫療、柔性器件等領域被廣泛應用,其無源供電技術也引起科學家的研究興趣,環境振動能量采集則是研究熱點之一[11-13].

目前,將周圍環境中的振動能轉換為電能主要包括靜電式、電磁式和壓電式三種機電轉換方式,其中壓電式振動能量采集技術具有能量密度高、響應快、壽命長、無污染、結構簡單且易于集成到微電子系統等優點,成為近年來該領域的研究熱點.壓電式振動能量采集器的動力學設計重點在于如何實現低頻、寬頻帶的特性,許多學者設計了多種多樣的采集器結構進行了深入研究[14-19],這些結構主要還是傳統的梁、板結構.另外,也有一些學者利用聲子晶體結構的帶隙特性設計振動能量采集器,Chen 等[20]闡述了利用超材料進行振動能、聲能和電磁能收集的研究進展.Shin 等[21]研究了用于增強壓電能量收集的四分之一波電堆的聲子帶隙.Soo 等[22]設計了一種具有缺陷態的聲子晶體進行能量的定位及采集.Wang 等[23]對具有狹縫管缺陷二維聲子晶體的聲波定位特性進行了理論和實驗研究.Lv 等[24]通過在一個完美的聲子晶體移除一個棒,利用點缺陷聲子晶體和壓電材料構成振動能量采集裝置.孫偉彬等[25]通過改變聲子晶體某處壓電散射體的電邊界條件引入缺陷態進行壓電能量采集.Chen 等[26]創新指出一維聲子晶體壓電懸臂梁(PPCB) 的振動帶隙可以看作是振動能量采集器的帶寬,即帶隙內的波能量完全集中于結構的前幾個單元并在此處進行能量采集.Wang 等[27]介紹了一種由聲子晶體和壓電屈曲梁組合而成的聲能采集發生器,利用聲子晶體的諧振腔來定義聲波并將壓電梁置于缺陷點處進行能量采集.Assouar 等[28]研究了一個超材料缺陷薄板的聲能采集特性.Wu 等[29]介紹了一種利用聲波晶體和壓電材料研制而成的聲波能量采集器.Ma 等[30]研究了一種二維局域共振型超材料能量采集器,利用局域共振超材料的缺陷模增強電壓輸出.上述文獻聲子晶體俘能器多用于聲能采集,而針對環境振動能的采集相對較少.因此,本文提出設計一種針對環境振動能量采集的局域共振型聲子晶體板結構并對其能帶特性和俘能特性進行分析.

本文首先設計一種由四棱柱環氧樹脂基體內部嵌入圓柱形散射體的新型局域共振聲子晶體板結構,并分析其元胞結構平直帶區域及缺陷態的能量集中特性;然后利用有限元方法分析5×5 聲子晶體結構的能帶結構以及能量傳輸特性;進一步將3 個引入不同點缺陷的5×5 超胞結構組合形成一種新型局域共振型聲子晶體板結構并用于環境振動能量采集,使其具有寬頻帶響應特性.

1 模型及仿真分析

1.1 有限元模型

局域共振結構通常有兩種構成方式:一種是三組元結構,即用軟橡膠包覆重金屬球(柱) 后周期性埋沒在基體材料中,另一種是二組元結構,即軟橡膠柱周期性埋沒在硬基體材料中.這兩種局域共振結構的構成方式均可以產生低頻的局域共振帶隙.本文選用二維三組元結構形式,圖1 所示為5×5 超原胞聲子晶體板以及其單胞示意圖,其中圖1(a)～圖1(d)分別為超原胞平面結構、單胞立體結構、單胞平面示意圖和單胞第一布里淵區以及不可約布里淵區.該單胞結構由包裹著軟硅膠的金屬芯體按照正方形晶格排列在基體材料中,晶格常數為0.03 m,中間的芯柱體半徑為0.01 m,橡膠層的外半徑為0.014 m,芯體材料為重金屬材料金(材料參數見表1).

圖1 5×5 超胞聲子晶體板及單胞示意圖Fig.1 5×5 2D phononic crystal plate and its protocell structure

表1 材料參數[29]Table 1 Material parameters[29]

1.2 能帶結構

對于給定的波矢,通過有限元軟件求解特征值得到相應的一系列特征頻率,從而最終得到該二維聲子晶體的能帶結構如圖2 所示.

圖2 單胞能帶曲線及平直帶振動模式Fig.2 Band structure of the unit and the vibration mode of flat strip

圖中0-1-2-3 分別對應簡約布里淵區的M?Γ ?X?M的方向,通過圖示能帶曲線可知:(1) 局域共振型聲子晶體其帶隙頻率遠遠低于相同晶格尺寸的Bragg 帶隙,實現了“小尺寸控制大波長”.(2)局域共振型聲子晶體帶隙的邊沿,都存在一個平直帶,其意味著在絕大多數波矢方向上,不同的波矢對應著相同的特征頻率.也就是說不同方向、不同大小的波場對應著相同的振動模式.

1.3 應力云圖

從二維三組元局域共振型聲子晶體帶隙邊緣平直帶對應的振動模式可看出,芯體的振動幅度遠大于橡膠包覆層以及基體層,此時振動主要集中在金屬球,即該平直帶對應著金屬球的局域化共振模式.沿Γ ?X和X?M方向分別給單胞局域共振型聲子晶體施加z向和y向的單位加速度激勵,可得激勵情況下的應力云圖如圖3 所示.圖示可知,局域共振型聲子晶體帶結構中存在平直帶,其對應振動模式為重金屬芯體的局域共振,此時內部波場存在局域共振現象.且從任何方向輸入的彈性波在平直帶對應頻率處均可以引起散射體的局域共振.這一現象在超元胞結構中也同樣存在,可以應用于聲子晶體能量采集相關研究.

圖3 共振頻率激勵應力云圖Fig.3 Stress cloud map with resonant frequency

2 缺陷態結構

聲子晶體內部結構的周期性直接導致了帶隙的產生,如果在某一個局部破壞原有晶格結構的平移周期性以及對稱性,既引入一個缺陷,則會改變原晶格結構的能帶結構.按照空間結構的不同,通常將孤立的缺陷稱為點缺陷;一維連續分布的缺陷稱為線缺陷;二維連續分布的缺陷稱為面缺陷.研究表明[2,9],引入缺陷后,在完美聲子晶體色散曲線圖上會產生反映缺陷結構的新能帶曲線,部分缺陷結構的能帶曲線進入無缺陷聲子晶體帶隙的頻率范圍,這些帶隙內的新能帶通常被稱為缺陷態,相應的本征模被稱為缺陷模.當彈性波以缺陷帶頻率入射到聲子晶體時,會在聲子晶體缺陷處周圍出現安德森局域化效應,使能量局域到缺陷處.

2.1 超胞結構有限元模型

完美聲子晶體一般可以通過移除局域共振型聲子晶體中的散射體單元、改變散射體形狀、材料等方式來形成點缺陷.如圖4 所示,本文選擇5×5 完美聲子晶體板作為引入缺陷的超原胞結構,利用超晶胞法結合有限元的方法來模擬聲子晶體彈性波波導并計算能帶結構.通過在超晶胞的x,y方向施加Bloch周期邊界條件,在5×5 完美聲子晶體中心位置改變散射體材料(散射體材料選用聚偏氟乙烯-PVDF)來形成點缺陷.

圖4 中心點缺陷超胞結構Fig.4 Supercell structure of central point defect

圖5(a)和圖5(b)分別展示了完美聲子晶體超胞結構和點缺陷超胞結構的能帶曲線,對比可知,在完全帶隙中出現了147.83 Hz 的缺陷帶,方向帶隙內出現了250.33 Hz 的缺陷帶.圖5(c)和圖5(d)則展示了缺陷點周圍的彈性波聚焦現象.

圖5 完美及中心點缺陷結構能帶曲線及缺陷態模式Fig.5 Band structures of perfect and central point defect structure and the defect patterns

2.2 缺陷態傳輸特性

通過對比完美板結構以及缺陷態結構的能帶結構圖可以發現,在107 ～202 Hz 的完全帶隙內,因為缺陷態的引入而出現一條新的能帶曲線其頻率為147.83 Hz,對應缺陷模中彈性波聚焦在缺陷點處.同樣的,缺陷態能帶結構中頻率250.33 Hz 處亦出現新的能帶曲線且其對應缺陷模亦表現出缺陷態特性.為了更為完整的說明缺陷態特性,本文選擇在板結構左側引入z向激勵,即彈性波沿著Γ ?X方向傳播,通過穩態激勵下的真實位移變形圖來反映聲子晶體板結構的傳輸特性.

圖6 分別展示了2 個缺陷態頻率處以及帶隙內和通帶傳輸曲線共振頻率所對應的穩態位移振型圖.

從圖6 的位移振型圖可以看出,帶隙內激勵處的位移最大,沿著彈性波的傳播方向逐步衰減,另外一邊的接收端基本上衰減至零即彈性波沒有沿著點缺陷超胞結構傳播.而通帶內頻率激勵下的位移振型圖中顯示,在接收端的共振位移遠遠大于結構其他部位的振幅,說明通帶頻率下的波可以在聲子晶體中傳播,且傳播效率較高.從缺陷態頻率激勵位移云圖可發現,點缺陷超胞結構中缺陷點處的振動幅度最大,相比而言其他部位振幅基本趨近于零,這正反映出彈性波在缺陷態超胞結構中傳播的能量局域化現象,為聲子晶體周期性結構的能量采集研究奠定了理論基礎.

圖6 穩態位移振型Fig.6 Steady displacement results

3 振動俘能特性分析

壓電材料的壓電性能集中體現為材料具有的彈性應變以及電極化之間的耦合效應,聲子晶體缺陷態在點缺陷頻率處的能量局限特性會使得點輸出電壓,因此利用壓電材料的壓電效應來采集聲子晶體缺陷處的這部分能量可以作為聲子晶體應用于俘能領域的指導.

考慮將完美聲子晶體板的某一處散射體材料改為PVDF 壓電材料,從而形成缺陷以達到能量集中的目的.通過將二維聲子晶體板中心左側散射體材料替換為PVDF 材料來引入缺陷態,并利用超原胞以及有限元方法計算其能帶結構如圖7 所示.

圖7 點缺陷超胞結構及能帶曲線Fig.7 Point defective supercell and its band structure

相比于原超胞結構的能帶曲線,很容易發現在頻率148 Hz/225 Hz/260 hz/330 Hz 等出現新的色散曲線.在聲子晶體板下邊緣施加幅值為1 mm 的z向位移激勵,設置瑞利阻尼為α=7,β=10?5,外接負載電阻為1.0×109?,同時使彈性波沿著X?M方向傳播,則可得到電壓的幅頻響應輸出如圖8 所示,圖示可知電壓在缺陷態共振頻率處達到峰值,缺陷態225 Hz 頻率對應電勢云圖表明在缺陷模對應頻率處存在能量集中現象.

圖8 電壓幅頻響應曲線及225Hz 電勢云圖Fig.8 Voltage amplitude-frequency response curve and the voltage cloud map of 225 Hz

根據電壓幅頻曲線可知,電壓在上述幾個缺陷態頻率處取得峰值,體現了缺陷態能量集中的特性,說明缺陷態頻率對應的輸出電壓優于一般的通帶共振頻率從而適合作為該聲子晶體板結構的能量采集頻率.對缺陷態225 Hz 對應的輸出電壓與外接負載電阻之間的關系進行有限元仿真分析,結果如圖9 所示,可得最優外接負載電阻為0.9×108?.

圖9 電壓隨負載電阻的變化曲線Fig.9 Variation curve of voltage with load resistance

上述結果證明通過引入缺陷態以及壓電材料可將壓電聲子晶體振動的機械能集中到點缺陷處,并且當外激勵與點缺陷處的共振頻率相一致時候可以得到較高電壓輸出,然而其缺點在于峰值電壓對應頻帶較窄,而環境振動的頻率是分散的,因此如何擴展點缺陷聲子晶體板的響應頻帶需要進一步優化.考慮引入雙點缺陷來構造出更多的缺陷模,以更好地匹配環境中的頻率范圍.如圖10 所示,構建兩種點缺陷聲子晶體超胞結構,分別對應模式A 和模式B.

圖10 兩種點缺陷聲子晶體超胞結構及其帶隙特性Fig.10 Two kinds of supercell structure and its bandgaps

通過對比模式A 的能帶曲線與完美聲子晶體能帶曲線可以發現,完全帶隙內缺陷模對應頻率為140 Hz,153 Hz,2-3 (X?M) 方向帶隙內出現新的色散曲線頻率為:213 Hz,260 Hz,270 Hz,318 Hz 等;模式B 所對應完全帶隙內缺陷模對應頻率為147 Hz,151 Hz,2-3(X?M)方向帶隙內新的色散曲線對應頻率為:235 Hz,275 Hz,330 Hz.綜合考慮,本文構造一種新型聲子晶體板結構如圖11 所示,其結構由3 塊具有不同點缺陷形式的5×5 超胞元結構通過橫向排列組合而成一塊5×15 的薄板結構.

圖11 新型聲子晶體板缺陷態結構Fig.11 New defective phononic crystal plate

對缺陷態聲子晶體板進行激勵,其諧響應分析結果如圖12 所示.由圖示可知,電壓峰值對應頻率與各個聲子晶體缺陷態結構的缺陷態頻率可以較好的對應,且該結構得到的電壓峰值頻響區間較寬.基于頻響曲線,分別在頻率為153 Hz,235 Hz,260 Hz 以及387 Hz 處對板結構施加幅值為1mm 的位移激勵,阻尼同上,外接負載電阻為0.9×108?,分析其俘能特性,結果如圖13 所示.結果表明,通過在不同區域引入不同缺陷態得到不同的共振頻率以及缺陷模,可以克服單個超胞結構的峰值電壓對應頻帶過窄的問題,能夠實現多缺陷態缺陷模對應的頻率響應,即拓寬了俘能器的工作頻帶,從而適應振動環境中較寬的頻率范圍.

圖12 新型板結構電壓幅頻響應曲線Fig.12 Voltage response curve of new plate structure

圖13 新型板結構時域分析Fig.13 Transient analysis of new plate structure

前面證明了所設計的新型板結構可以實現不同缺陷態頻率之間的耦合,拓寬共振頻帶.為了對比在同樣外激勵下新型板結構相較于單個聲子晶體超胞結構的優勢,圖14 所示為在225 Hz 情況下施加幅值為1 mm 的位移激勵時兩種板結構的對比.結果表明,在同樣位移激勵下,新型板結構幅值穩定在1.6 V 左右,而聲子晶體缺陷態超胞結構(中心左側型缺陷態結構)輸出電壓為0.5 V,輸出電壓提高了3.2 倍.因此上述所提出的新型板結構具有低頻、寬頻帶、高效率的俘能特性.

圖14 新型板結構和單點缺陷態結構電壓輸出對比Fig.14 Comparison of voltage output of new plate structure and single point defective structure

為了闡明點缺陷構型對前述所提出的并聯板結構俘能器能量采集的影響,進一步將具有更多缺陷態的超胞結構進行耦合并聯,構造出如圖15 所示的II型板結構.對其施加同樣位移激勵得到電壓幅頻響應曲線如圖16 所示,對比圖12 可以看出,引入不同的缺陷態數量和構型,可以進一步拓寬俘能帶寬,實現更好的俘能效果.

圖15 II 型缺陷態聲子晶體板結構Fig.15 Defective phononic crystal plate of type II

圖16 II 型板結構電壓幅頻響應曲線Fig.16 Voltage response curve of type II plate structure

4 結論

本文設計了一種由圓柱形散射體嵌入環氧樹脂基體而組成的5×5 聲子晶體超胞結構,利用有限元方法計算了完美聲子晶體結構和缺陷態聲子晶體結構的能帶曲線、傳輸特性以及電壓響應.最終提出兩種二維三組元局域共振型聲子晶體板結構,將不同缺陷態下的電壓峰值區域并聯在一起以達到拓寬共振頻率的效果,使得環境中所存在的低頻寬帶能量得以充分的利用.主要得到以下幾點結論:

(1)通過對比不同頻率(帶隙內頻率、通帶內頻率、缺陷態頻率)下中心點缺陷超胞結構的穩態位移振型,結果表明:缺陷態頻率激勵作用下結構存在能量局域化現象,且集中在點缺陷處,為能量采集研究奠定了理論基礎.

(2) 由不同點缺陷構型的5×5 超胞結構組合而成的并聯板結構,能夠克服單個超胞結構頻帶過窄的缺點,實現拓寬頻帶的目的,從而更加適應較寬頻帶的振動環境.

(3)基于兩種不同點缺陷構型的聲子晶體超胞并聯板結構的分析結果,引入不同的缺陷態數量和構型,可以進一步拓寬俘能帶寬,實現更好的俘能效果.